人教A版高中数学必修二同步学习课件:第三章直线与方程3.1.1_图文

第三章 §3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线 的斜率. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 直线的倾斜角 思考1 在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条 直线呢? 答案 不能. 答案 思考2 在平面直角坐标系中,过定点 P的四条直线如图所示,每条直线 与x轴的相对倾斜程度是否相同? 答案 不同. 答案 梳理 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴 正向 与直线l向上方向之间 所成的角α叫做直线l的倾斜角. ②当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°. (3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个 定点 以及它的倾斜角 ,二者缺一不可. 知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系 思考1 升高量 在日常生活中,我们常用“ ”表示“坡度”,图(1)(2)中的 前进量 坡度相同吗? 3 2 答案 不同,因为2≠2. 答案 思考2 思考1中图的“坡度”与角α,β存在等量关系吗? 答案 存在,图(1)中,坡度=tan α,图(2)中,坡度=tan β. 答案 梳理 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字 母k表示,即k= tan α . (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率(范围) k=0 k>0 不存在 k<0 知识点三 过两点的直线的斜率公式 y 2- y 1 x2-x1 (x1≠x2). 直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率k=________ 题型探究 类型一 直线的倾斜角 例1 设直线l过原点,其倾斜角为 α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向 旋转40°,得直线l1,则直线l1的倾斜角为 A.α+40° B.α-140° C.140°-α D.当0°≤α<140°时为α+40°,当140°≤α<180°时为α-140° 解析 答案 反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找 准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. 跟踪训练 1 已知直线 l 向上方向与 y轴正向所成的角为 30°,则直线 l 的 60°或120° 倾斜角为___________. 解析 有两种情况:①如图 (1) ,直线 l 向上方 向与 x 轴正向所成的角为 60°,即直线 l 的倾斜 角为60°. ②如图(2) ,直线l向上方向与 x轴正向所成的角 为120°,即直线l的倾斜角为120°. 解析 答案 类型二 直线的斜率 例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确 定直线的倾斜角α. (1)A(2,3),B(4,5); 5-3 解 存在.直线 AB 的斜率 kAB= =1,即 tan α=1, 4-2 又0°≤α<180°,所以倾斜角α=45°. (2)C(-2,3),D(2,-1); -1-3 解 存在.直线 CD 的斜率 kCD= =-1, 即 tan α=-1, 2-?-2? 又0°≤α<180°,所以倾斜角α=135°. 解答 (3)P(-3,1),Q(-3,10). 解 不存在. 因为xP=xQ=-3, 所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°. 解答 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 与x轴垂直时,斜率是不存在的; 反思与感悟 ①运用公式的前提条件是 “x1≠x2” ,即直线不与 x轴垂直,因为当直线 ②斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1 与y2可以同时交换位置. (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 k 0 3 3 1 3 - 3 - 1 3 - 3 跟踪训练 2 如图所示,直线 l1 , l2, l3 都经过点 P(3,2) , 又 l1 , l2 , l3 分别经过点 Q1( - 2 ,- 1) , Q2(4 ,- 2) , Q3( - 3,2) ,计算直线 l1 , l2 , l3 的斜率,并判断这些直 线的倾斜角是锐角还是钝角. 解 设k1,k2,k3分别表示直线l1,l2,l3的斜率. 由于Q1,Q2,Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等, -1-2 3 -2-2 2-2 所以 k1= =5,k2= =-4,k3= =0. -2-3 4-3 -3-3 由k1>0知,直线l1的倾斜角为锐角; 由k2<0知,直线l2的倾斜角为钝角; 由k3=0知,直线l3的倾斜角为0°. 解答 类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题 例3 如果三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一条直线上,求m的值. m-1 1-m 8-1 7 解 kAB= = 4 ,kAC= =4, -2-2 6-2 ∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC, 1-m 7 即 4 =4,∴m=-6. 解答 反思与感悟 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定 的方向不变,即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等,这正 是利用斜率相等可证点共线的原因. 跟踪训练3 的值为 A.0 已知倾斜角为 90°的直线经过点 A(2m,3),B(2,-1),则m B.1 C.2 D.3 解析 由题意可得2m=2,解得m

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