浙江省温州中学2014-2015学年高一上学期期末数学练习试卷 Word版含解析

浙江省温州中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学练习试卷
一、单选题(共 10 题) 1. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=() A. B. C.
2 2

D.

2. (3 分)函数 f(x)=ln(x ﹣x)的定义域为() A. (0,1) B. C. (﹣∞,0)∪(1,+∞) D. (﹣∞,0]∪的值域为() A. B. C. D. 4. (3 分)函数 f(x)=log2x 在区间上的最小值是() A.﹣1 B.0 C .1
2

D.2

5. (3 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=() A.2 B.1 C .0 D.﹣2

6. (3 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B.( , )
m

C.( ,1)

D.(1,2)

7. (3 分)已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点(4,2) ,则 f(16)=() A.2 B.4 C .4
x﹣1

D.8

8. (3 分)函数 f(x)=a +4(a>0,且 a≠1)的图象过一个定点,则这个定点坐标是() A.(5,1) B.(1,5) C.(1,4) D.(4,1) 9. (3 分)函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为() A. B. C. D.
x

10. (3 分)已知 x,y 为正实数,则() A.2 =2 +2 lgx?lgy lgx lgy C. 2 =2 +2
lgx+lgy lgx lgy

B. 2 =2 ?2 lg(xy) lgx lgy D.2 =2 ?2

lg(x+y)

lgx

lgy

二、填空题(共 10 题) 2 11. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣2x>0},B={x|﹣ 12. (3 分)函数 的定义域为.

<x<

},则 A∪B=.

13. (3 分)已知函数

,则函数 f(x)的值域为.

14. (3 分)若 f(x)=(x+a) (x﹣4)为偶函数,则实数 a=. 15. (3 分)方程 10 +x﹣2=0 解的个数为. 16. (3 分)如果二次函数 f(x)=x ﹣(a﹣1)x+5 在区间( ,1)上为增函数,则 f(2)的取值范围是.
2 x

17. (3 分)函数 y=( )x 的值域是.

2

18. (3 分)计算:log318﹣log32=. 19. (3 分)不等式 log3(2x﹣1)≤1 的解集为. 20. (3 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=log2(x+1)+m+1,则 f(﹣3)=.

三、解答题(共 4 题) 2 2 21.设全集是实数集 R,A={x|x ﹣4x+3≤0},B={x|x ﹣a<0}. (1)当 a=4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若 B??RA,求实数 a 的取值范围. 22.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方,试确 定实数 m 的取值范围. 23.设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) , ≤x≤9. (Ⅰ)若 m=log3x,求 m 取值范围; (Ⅱ)求 f(x )的最值,并给出最值时对应的 x 的值. 24.已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,a,b∈R. (Ⅰ)若 a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b) ; (Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.

浙江省温州中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学练习试卷
参考答案与试题解析

一、单选题(共 10 题)

1. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=() A. B. C. D. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,再由 B,求出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x+1) (x﹣2)≥0, 解得:x≤﹣1 或 x≥2,即 A=(﹣∞,﹣1]∪. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (3 分)函数 f(x)=ln(x ﹣x)的定义域为() A. (0,1) B. C. (﹣∞,0)∪(1,+∞) D. (﹣∞,0]∪的值域为() A. B. C. D. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈可得,当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函 数取得最大值 3,由此求得函数的值域. 2 2 解答: 解:∵函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈, 故当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3, 故函数的值域为, 故选 C. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,属于中档题. 4. (3 分)函数 f(x)=log2x 在区间上的最小值是() A.﹣1 B. 0 C. 1
2

2

D.2

考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先分析函数 f(x)=log2x 的单调性,进而可得函数 f(x)=log2x 在区间上的最小值. 解答: 解:∵函数 f(x)=log2x 在区间上为增函数, ∴当 x=1 时,函数 f(x)取最小值 0, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解 答的关键.
2

5. (3 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=() A.2 B. 1 C. 0 D.﹣2

考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,运算求得结果.

解答: 解:∵已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1+1) =﹣2, 故选 D. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题. 6. (3 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)

2

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 要判断函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点位置,我们可以根据零点存在定理,依次判断 , , , 1,2 的函数值,然后根据连续函数在区间(a,b)上零点,则 f(a)与 f(b)异号进行判断. 解答: 解:∵f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣4<0 f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣3<0 f( )=log2\frac{1}{2}+2× ﹣1=1﹣2<0 f(1 )=log21+2×1﹣1=2﹣1>0 f(2)=log22+2×2﹣1=5﹣1>0 故函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间( ,1) 故选 C 点评: 本题查察的知识点是函数的零点,解答的关键是零点存在定理:即连续函数在区间(a,b)上零 点,则 f(a)与 f(b)异号. 7. (3 分)已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点(4,2) ,则 f(16)=() A.2 B. 4 C. 4 D.8 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 4 =2,解得 m= ,可得 f(16)=
m m

,运算求得结果.

解答: 解:由于知幂函数 f(x)=x 的图象 经过点(4,2) ,则有 4 =2,解得 m= ,故 f(16)= 故选 B. 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,求函数的值,属于基础题. 8. (3 分)函数 f(x)=a +4(a>0,且 a≠1)的图象过一个定点,则这个定点坐标是() A.(5,1) B.(1,5) C.(1,4) D.(4,1)
x﹣1

m

m

=4,

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由题意令 x﹣1=0,解得 x=1,再代入函数解析式求出 y 的值为 5,故所求的定点是(1,5) . 0 解答: 解:令 x﹣1=0,解得 x=1,则 x=1 时,函数 y=a +4=5, 即函数图象恒过一个定点(1,5) . 故选 B. 点评: 本题考查了指数函数图象过定点(0,1) ,即令指数为零求对应的 x 和 y,则是所求函数过定点的 坐标.
x

9. (3 分)函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为() A. B. C. D.

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数为单调函数,故函数 f(x)=a (0<a<1)在区间在区间上的最大值与最小值的差 是 ,由此构造方程,解方程可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上为单调递减函数, 2 ∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=a , ∵最大值比最小值大 , ∴1﹣a = , 解得 a= 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是指数函数单调性的应用,熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键 10. (3 分)已知 x,y 为正实数,则() A.2 =2 +2 lgx?lgy lgx lgy C. 2 =2 +2
lgx+lgy lgx lgy 2 x x

B. 2 =2 ?2 lg(xy) lgx lgy D.2 =2 ?2

lg(x+y)

lgx

lgy

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用指数与对数的运算性质,判断选项即可. s+t s t 解答: 解:因为 a =a ?a ,lg(xy)=lgx+lgy(x,y 为正实数) , ( ) lg xy lgx+lgy lgx lgy 所以 2 =2 =2 ?2 ,满足上述两个公式, 故选 D. 点评: 本题考查指数与对数的运算性质,基本知识的考查. 二、填空题(共 10 题) 2 11. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣2x>0},B={x|﹣ 考点: 并集及其运算.

<x<

},则 A∪B=R.

专题: 集合. 分析: 求解一元二次不等式化简 A,然后直接利用并集运算得答案. 解答: 解:由 x ﹣2x>0,得 x<0 或 x>2. 2 ∴A={x|x ﹣2x>0}={x|x<0 或 x>2}, 又 B={x|﹣ <x< }, ∴A∪B=R. 故答案为:R. 点评: 本题考查了并集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.
2

12. (3 分)函数

的定义域为.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 0<2x﹣1≤3,即可求得不等式 log3(2x﹣1)<1 的解集. 解答: 解:∵log3(2x﹣1)≤1, 1 ∴0<2x﹣1≤3 =3, ∴ <x≤2, ∴不等式 log3(2x﹣1)≤1 的解集为( ,2], 故答案为: ( ,2]. 点评: 本题考查对数不等式的解法,掌握对数函数的性质是关键,属于基础题. 20. (3 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=log2(x+1)+m+1,则 f(﹣3)=﹣2. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数性质 f(0)=0 求得 m 的值,由 f(﹣3)=﹣f(3) ,再由已知表达式即可求得 f(3) . 解答: 解:f(x)为定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=m+1=0, ∴m=﹣1, f(﹣3)=﹣f(3)=﹣log2(3+1)=﹣log24=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查利用奇函数性质求函数值,考查学生计算能力,属基础题. 三、解答题(共 4 题) 2 2 21.设全集是实数集 R,A={x|x ﹣4x+3≤0},B={x|x ﹣a<0}. (1)当 a=4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若 B??RA,求实数 a 的取值范围. 考点: 子集与交集、并集运算的转换;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题;探究型. 分析: (1)先化简集合 A,B,然后利用集合的运算求 A∩B 和 A∪B. (2)利用 B??RA,求实数 a 的取值范围.

解答: 解(1)根据题意,由于 A={x|x ﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3},B={x|x ﹣a<0}. 当 a=4 时,B=(﹣2,2) ,而 A=, 所以 A∩B=. (2)∵B??RA,若 B=?,则 a≤0, 若 B≠?,则 B=(﹣ )??RA=(﹣∞,1)∪(3,+∞) , ∴ ,∴0<a≤1, 综上,a≤1. 点评: 主要是考查了集合的基本运算,属于基础题. 22.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方,试确定实数 m 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)用待定系数法先设函数 f(x)的解析式,再由已知条件求解未知量即可 (2)只需保证对称轴落在区间内部即可 (3)转化为函数求最值问题,即可得到个关于变量 m 的不等式,解不等式即可 解答: 解: (1)由已知∵f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2) ∴对称轴为 x=1 又最小值为 1 2 设 f(x)=a(x﹣1) +1 又 f(0)=3 ∴a=2 ∴f(x)=2(x﹣1) +1=2x ﹣4x+3 (2)要使 f(x)在区间上不单调,则 2a<1<a+1 ∴ (3)由已知 2x ﹣4x+3>2x+2m+1 在上恒成立 2 化简得 m<x ﹣3x+1 2 设 g(x)=x ﹣3x+1 则 g(x)在区间上单调递减 ∴g(x)在区间上的最小值为 g(1)=﹣1 ∴m<﹣1 点评: 本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值,须注意恒成立问题的转化.属简单题
2 2 2

2

2

23.设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) , ≤x≤9. (Ⅰ)若 m=log3x,求 m 取值范围; (Ⅱ)求 f(x)的最值,并给出最值时对应的 x 的值. 考点: 复合函数的单调性;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据给出的函数的定义域,直接利用对数函数的单调性求 m 得取值范围;

(Ⅱ) 把 f(x)=log3(9x)?log3(3x)利用对数式的运算性质化为含有 m 的二次函数,然后利用配方法 求函数 f(x)的最值,并由此求出最值时对应的 x 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ,m=log3x 为增函数,

∴﹣2≤log3x≤2,即 m 取值范围是; (Ⅱ)由 m=log3x 得:f(x)=log3(9x)?log3(3x) =(2+log3x)?(1+log3x) = 又﹣2≤m≤2,∴当 , ,即 时 f(x)取得最小值 ,

当 m=log3x=2,即 x=9 时 f(x)取得最大值 12. 点评: 本题考查了复合函数的单调性, 考查了换元法, 训练了利用配方法求二次函数的最值, 是中档题. 24.已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,a,b∈R. (Ⅰ)若 a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b) ; (Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论. 考点: 函数单调性的性质;命题的真假判断与应用. 专题: 证明题. 分析: (I)由已知中函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,根据 a+b≥0,易得 a≥﹣b,且 b≥﹣a,进 而根据 单调性的性质和不等式的性质,即可得到答案. (II) (I)中命题的逆命题为若 f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b) ,则 a+b≥0,根据正“难”则“反”的原则, 我们可以用反证法判定结论的真假. 解答: 证明: (Ⅰ)因为 a+b≥0,所以 a≥﹣b. 由于函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数, 所以 f(a)≥f(﹣b) . 同理,f(b)≥f(﹣a) . 两式相加,得 f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b) .…(6 分) (Ⅱ)逆命题: 若 f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b) ,则 a+b≥0. 用反证法证明 假设 a+b<0,那么 所以 f(a)+f(b)<f(﹣a)+f(﹣b) . 这与 f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)矛盾.故只有 a+b≥0,逆命题得证. …(12 分) 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,命题的真假判断与应用,其中(1)的关键是将 a+b≥0, 变形为 a≥﹣b,且 b≥﹣a, (2)的关键是根据正“难”则“反”的原则,选用反证法进行论证.


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