hg00043.vip:数学史部分1-古埃及的数学_图文

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数学哲学与数学史
数学史部分

第一章 数学的起源和早期发展
? 数学的发源地: ? 古代非洲的尼罗河(Nile)——埃及文明; ? 西亚的底格里斯河(Tigris)和幼发拉底河
(Euphrates)——巴比伦文明; ? 中南亚的印度河(India)和恒河(Ganges)——
印度文明 ? 东亚的黄河和长江——中国文明.

? 数学产生于农业文明: 历法,测量土地,财富计算,产品交 换,观测天体,建造皇宫等
一、古埃及的数学——尼罗河

? BC4000年的古埃及文明,已有象形文字 (Hieroglyphic,意为“圣刻” ); ? BC3000年,埃及成为统一的奴隶制国家. ? 英国牛津博物馆(Oxford Museum in Britain)的古埃及第一王朝(约BC3400年 以前)一个王室的权标上象形文字.

1、记数法——以十为基数的象形文字
介于两符号之间的各数由这些符号的组合 表示. 但是,他们的符号缺乏位置上的意 义,这使得这种记数法是很麻烦的,为了 表示大数,必须用相应多个符号.

5120

特点:①、最早采用10进制的国家之一; ②、但没有采用位置计数法.
2、书写材料-纸草 papyrus
是英文 “paper” 的语源. 现今保存下来的有两卷纸草记录了古埃 及的数学资料,它们都产生于约BC1700 年左右. 它们的作者可能是政治机关或 教堂的书记(秘书),它们的内容就是 题集和解答.

古埃及纸草书卷

? ①莫斯科纸草(Moscow Papyrus) (现存于莫斯科美术博物馆,一说现
存于莫斯科普希金精细艺术博物馆)— —25个数学问题(俄国贵族戈兰尼采夫 于1893年在埃及发现),长约525cm, 宽约8cm,成书于约BC1890年.

? ②兰德纸草(Rhind Papyrus) (大英博物馆)——85个数学问题.
最初发现于埃及的底比斯古都废虚. (苏格兰人兰德 H. Rhind 于1858年购 买于埃及),长约525cm,宽约33cm.

? 零星的材料:卡呼恩(Kahun)纸草书 和柏林纸草书,阿赫姆(Akhmin)木板 书(约BC2000年左右)以及克索斯时代 的羊皮书一卷----埃及数学的补充信息.
? 注意:希腊人认为他们的数学是从埃及 来的,然而埃及数学只限于非常实用者, 古埃及人没有命题证明的思想,他们的 数学完全是实用数学,完全找不到推理 的数学痕迹,而古希腊却有.

3、古埃及的算术知识:
(1) 古埃及人的计算具有迭加的特点: ? 任何自然数都可由2的各次幂的和组成. ? 例如: 计算 27×31
27 ? 20 ? 21 ? 23 ? 24 ? 1 ? 2 ? 8 ? 16
*1 31 *2 62 4 124 *8 248 + *16 496 --------------------
837

? 例:计算745÷26,只要连续地把除数 26加倍,直到再加倍就超过745为止.

1 26

2 52 ∵ 745 = 416+329

*4 104

= 416+208+121

*8 208

= 416+208+104+17

+ *16 416 将上述带(*)号的各项相

----------- 加,得商为16+8+4=28

28

其余数为17.

(2)、 分数的记法和计算

? 单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个 重要而有趣的特色,埃及人将所有的真分 数都表示为一些单位分数(分子为1的分 数)的和的形式(2/3例外).

? 埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用

(读作ro)表示分数线,将



点的记号放在数的上方用来表示分数.

? 例如:

? 某些特殊的分数记号,如

1

2

1

2

3

4

兰德纸草书中数表:将所有分子为2而分 母从5 -101的奇数表示为单位分数之和.
2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18
...... 2/97=1/56+1/679+1/776
2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606

? 利用此表可进行分数计算 ? 例如,要用5÷21,可写成单位分数之和 ? 运算程序如下:
5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42
? 注意:加倍程序和单位分数概念

? 兰德纸草书第70题: 求100÷(7+1/2+1/4+1/8)的商. 答:12+2/3+1/42+1/126. 解:将除数逐渐加倍:
15+1/2+1/4→31+1/2→63,是除数的8倍; 另外,除数与8+4+2/3相乘得 99 3 ,
4
比被除数100小1/4.

调整:因除数的8倍是63,故 (7+1/2+1/4+1/8)×2/63=1/4
由2/n数表查得 2/63=1/42+1/126,
于是 100÷(7+1/2+1/4+1/8) = 8+4+2/3+2/63 = 12+2/3+1/42+1/126.

? 埃及人为什么对单位分数情有独钟,原 因尚不清楚.
? 这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进 一步发展,这也是古埃及算术和代数不 能发展到更高水平的原因之一.
? 但是这种方法对于解决食物分配和土地 分配问题却十分方便.
? 例如,平均分食物的7个面包8个人分.
7/8 = 1/2+1/4+1/8

(3)、完成了基本的算术四则运算 (4)、已经有了求近似平方根的方法 4、古埃及的代数: ①、有渐进的代数,但叙述方式是文词(即
文词代数阶段),很少引用符号; ②、比例的概念也已有萌芽;
三角函数观念的萌芽 ③、一元一次方程求解
即形如 x ? ax ? b 或 x ? ax ? bx ? c
某些二次方程

④、等差级数和等比级数的概念及其求和

? 例1、兰德纸草书中有一方程问题:有一数 量,它的2/3加它的1/2,加它的1/7,再加全 部共为33.

用现代的记号是:

x ? 2 x ? 1 x ? 1 x ? 33 ? x ? 14 28

327

97

只不过分数部分写为

28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388.

古埃及人把未知数称为“堆”(aha)

? 例2、兰德纸草书中的第24题:已知“堆”与 七分之一“堆”相加为19,求“堆”的值.
“假位法”(method of false position)—先假 设一个特殊的数作为“堆”的值(多半是假 值),将其代入等式左边去运算,然后比较得 数与应得的结果,再通过比例的方法算出正确 的答案.
? 在上例中,用数7作为未知数x的实验值,于是 有,左边= x ? 1/ 7 ? x ? 7 ? 1/ 7 ? 7 ? 8
而应得的结果是19,这两个结果之比为 19/8=2+1/4+1/8,将7乘以(2+1/4+1/18)即得 正确的“堆”值为16+1/2+1/8.

? 例3、算术级数问题:5个人分100个面包,要 求每个人所得的份数构成一个算术级数,并 且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和 ---下伪法(regula falsi)

解: 先令第一项最大,这使得公差是负数.

令首项和公差分别为a和d,写出了

a ? (a ? d ) ? (a ? 2d ) ? (a ? 3d ) ? (a ? 4d ) ? d ? 11 (a ? 4d )
于是公差7 为最小项的11/2倍,设最小项为2 1.

于是得级数: 1,6 1 ,12,17 1 ,23

2

2

但和为60,为满足条件,各项×5/3,

最后得:

25

11

1 ,10 ,20,29 ,38

36

63

? 例4、几何级数(等比级数).兰德纸草书第 79题:是在数字 7,49,343,2401,16807 旁边各注有图人,猫,鼠,大麦,量器等字 样,而且给出总数为19607.
? 问这个题目产生的是什么数列?总数是多少? ---有答案无解法.
? “出门望九堤,堤有九木,木有九巢,巢有九 鸟,鸟有九毛,毛有九色.”

5、古埃及的几何: 在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包
含有许多几何性质的问题,内容大都与土 地面积和谷堆体积的计算有关.
由此可知,古埃及的几何很发达. 几何 问题多是讲度量法,涉及到田地的面积, 谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名的 “金字塔之迷”就是其中的代表.

(1)、法老胡夫的金字塔(Pyramid):
兴建于齐阿斯王朝(BC2900年左右),高 146.5米,塔基宽 233米,底边长度的误差为 1.6厘米,正方程度与水平程度的平均误差 ≤1/10000,塔高与塔基之比非常近似于圆的周 长与其半径之比.用以砌塔的巨石达230万块, 重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头凿成平 均一立方英尺的小块并排列成行,其长度相 当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时间 才建成的.

N.Khufu Pyramid

(2)、阿蒙神庙(Oman Tamples): 阿蒙——埃及的太阳神.王殿总面积5000平方 米,有134根圆柱,中间最高的12根高达21米.

①、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他 几何图形近似计算. 如:任意四边形的面积

②、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况.

③、圆的面积很好的近似. a ? b ? c ? d

2

2

Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地,其面

积=边长为8的正方形土地.

由此可知,圆面积为

S

?

8 (

d

)2 ,其中

d

为直

径,相当于取π=3.1605,误9 差为0.6%.

④、体积的计算 正四棱台的体积-最高成就.
V ? 1 h(a2 ? ab ? b2 ) 直棱柱(圆柱)3的体积等于底面积乘以高.
⑤、半球表面积的计算公式. ⑥、知道相似三角形. ⑦、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分
的问题上,已经有了正确的知识.

? 结束语:
? 静止的特性---产生于约BC1700年左右的兰德 纸草书和莫斯科纸草书中的数学,在数千年漫 长的岁月中很少变化.
? 加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块, 使古埃及人的计算显得笨重繁复.
? 古埃及人的面积、体积算法对精确的公式和近 似关系往往不作明确的区分,这又使他们的实 用几何带上了粗糙的色彩.
? 公元前四世纪希腊人征服埃及以后,这一古老 的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所代替.

古埃及相关资料: 古埃及象形文字

古埃及彩色象形文字

古 埃 及 象 形 文 字 字 母 一



兰 德 草 书 中 问 题 的 解

79

? 作业 ? (1) 金字塔之谜 ? (2)普林斯顿第322号泥版 ? (3)古埃及的几何知识 注意:本作业为第四周作业,三选一,
两周之后交.


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