全国高中数学联赛模拟试题(八)

全国高中数学联赛模拟试题(八)
一、选择题
?a 2 ? a ? 2b ? 2c ? 0 1、 若△ABC 的三边长 a、b、c 满足 ? ,则它的最大内角度数是 ?a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0

(A)150°

(B)120°

(C)90°

(D)60°

2、 定长为 l( l ?

2b 2 x2 y2 )的线段 AB 的两端点都在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) ,则 a a b

AB 中点 M 的横坐标的最小值为 (A)

al 2 a ?b
2 2

(B)

a?l 2 a2 ? b2 a?l ? 2a ? 2 a2 ? b2

(C)

a?l ? 2a ? 2 a2 ? b2

(D)

3、 在复平面上,曲线 z4+z=1 与圆|z|=1 的交点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

4、 设 E={(x,y)|0 ≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x?4}是直角坐标平面上的两个
?? x ? x 2 y1 ? y 2 ? ? 点集,则集合 G= ?? 1 , ? ? x1 , y1 ? ? E , ? x 2 , y 2 ? ? F ? 所组成的图形面积是 2 ? ?? 2 ?

(A)6

(B)2?

(C)6.5

(D)7

5、 正方形纸片 ABCD,沿对角线 AC 对折,使 D 在面 ABC 外,这时 DB 与面 ABC 所成 的角一定不等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

6、 设 logab 是一个整数,且 log a
1 ? b ? a2 ; b ③0<a<b<1; 其中正确结论的个数是 (A)1 (B)2

1 ? log a b ? log b a 2 ,给出下列四个结论 b



②logab+logba=0; ④ab?1=0. (C)3 (D)4

二、填空题 7、 从{1,2,3,…,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有

种不同的选法.

8 、 已 知 ?? 于

? sin ? sin ? sin ? sin ? , 则 的 值 等 ? ? ? 24 cos 4? cos 3? cos 3? cos 2? cos 2? cos ? cos ? .

9、 在 Rt△ABC 中,AB=AC,以 C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点 在 AB 内,且椭圆过 A、B 点,则这个椭圆的离心率等于 .

10、 于

? ? z ? z ? z ? a ? bi 设 a 、 b 均 为 正数 , 且 存 在 复 数 z 满 足 ? , 则 ab 的 最 大 值 等 z ? 1 ? ? .

11、

使不等式

8 n 7 ? ? 对惟一的一个整数 k 成立的最大正整数 n 为 15 n ? k 13



12、

1?

1 1 1 = ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2004



三、解答题 13、 对由 n 个 A,n 个 B 和 n 个 C 排成的行,在其下面重新定义一行(比上面一行少一个 字母) ,若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三个字母;若相同,则写上该字母.对 新得到的行重复上面的操作,直到变为一个字母为止.下面给出了 n=2 的一个例子. A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数 n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的大三角形的 三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.

14、 已知实数 x、 y 满足 x2+y2≤5. 求 f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y?3x?18|的最大值与最小值.

15、 经过点 M(2,?1)作抛物线 y2=x 的四条弦 PiQi(i=1,2,3,4),且 P1、P2、P3、P4 四点的纵坐标依次成等差数列. 求证:

P1 M P2 M P3 M P4 M ? ? ? . MQ1 MQ2 MQ3 MQ4

16、

n 为正整数,r>0 为实数.证明:方程 xn+1+rxn?rn+1=0 没有模为 r 的复数根.

17、 设 C(I)是以△ABC 的内心 I 为圆心的一个圆,点 D、E、F 分别是从 I 出发垂直于 边 BC、CA 和 AB 的直线 C(I)的交点. 求证:AD、BE 和 CF 三线共点.

18、

非负实数 x、y、z 满足 x2+y2+z2=1. 求证:1≤
x y z ≤ 2. ? ? 1 ? yz 1 ? zx 1 ? xy

以下是答案 一、选择题 1、 B 2、 D 3、 A 4、 D 5、 D

6、 A 二、填空题 7、816;
3 3

8、

9、 6 ? 3 ;
1 10、 ; 8

11、112.

12、

4008 ; 2005

三、解答题 13、 n=1. 14、最大值 27 ? 6 5 ,最小值 27 ? 3 10 .

15、证略.

16、证略.

17、证略;

18、证略.


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