西藏拉萨中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)

西藏拉萨中学 2015 届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 M={x|2 >1},集合 N={x|log2x>1},则下列结论中成立的是 () A.M∩N=M B.M∪N=N C.M∩(?UN)=? D.(?UM)∩N=? 2. (5 分)不等式 A.[﹣1,0) +∞) ≥2 的解集为() B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1]∪(0,
x

3. (5 分)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项的和是() A.13 B.26 C.52 D.56 4. (5 分)已知 p:|x﹣2|<3,q:0<x<5,那么 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. (5 分)函数 f(x)= A.2x﹣y﹣4=0

的图象在点(1,﹣2)处的切线方程为() C.x﹣y﹣3=0 D.x+y+1=0

B.2x+y=0

6. (5 分)下列命题中为假命题的是() A.?x∈R,logax=﹣1(a>0,a≠1) x C. ?x∈R,a >0(a>0,a≠1) 7. (5 分)已知 f(x)= x +sin ()
2

B. ?x∈R,tanx=2014 2 2 D.?x∈R,x +ax+a >0(a∈R) ,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是

A.

B.
2 2

C.

D.

8. (5 分)经过圆 C: (x+1) +(y﹣2) =4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为() A.x﹣y+3=0 B.x﹣y﹣3=0 C.x+y﹣1=0 D.x+y+3=0 9. (5 分)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为()
2

A.

B. 1

C.

D.

10. (5 分)若向量 的模为() A.2

的夹角为 60°,

,则向量

B. 4

C. 6

D.12

11. (5 分)设函数 y=f(x)在 R 上有意义,对给定正数 M,定义函数 fM(x) =
2

,则称函数 fM(x)为 f(x)的“孪生函数”,若给定函数 f(x)=2

﹣x ,M=1,则 y=fM(x)的值域为() A.[1,2] B.[﹣1,2]

C.(﹣∞,2]

D.(﹣∞,1]

12. (5 分)设 P 是双曲线



=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2 是焦点,双曲线的离心

率是 ,且∠F1PF2=90°,△ F1PF2 面积是 9,则 a+b=() A.4 B. 5 C. 6 D.7

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分 13. (5 分)给出下列结论: ①命题“?x∈R,sinx≠1”的否定是“?x∈R,sinx=1”; ②命题“有些正方形是平行四边形”的否定是“所有正方形不都是平行四边形”; ③命题“A1,A2 是对立事件”是命题“A1,A2 是互斥事件”的充分不必要条件; ④若 a,b 是实数,则“a+b>0 且 ab>0”是“a>0 且 b>0”的必要不充分条件. 其中正确结论的是.

14. (5 分) 已知 O 为坐标原点, 点M (3, 2) , 若N (x, y) 满足不等式组 的最大值为.

, 则

15. (5 分)设 a 为 g(x)= x +2x ﹣3x﹣1 的极值点,且函数 f(x)=

3

2

,则

f( )+f(

)的值等于.

16. (5 分)关于函数

,有以下四个命题:

①函数 f(x)在区间(﹣∞,1)上是单调增函数; ②函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③函数 f(x)的定义域为(1,+∞) ; ④函数 f(x)的值域为 R. 其中所有正确命题的序号是.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分 17. (10 分)已知等差数列{an}满足 a1=3,a4+a5+a6=45. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 的值; ,b=2,求△ ABC 的面积 S.

19. (12 分)函数 f(x)= x ﹣ x +ax+1(a∈R)的导函数为 f′(x) . (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)已知不等式 f′(x)>x +x﹣a 对任意 a∈(0,+∞)都成立,求实数 x 的取值范围.
2

3

2

20. (12 分)已知向量 (1)当 (2)求 ∥
2



时,求 2cos x﹣sin2x 的值; 在 上的值域.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,点 F1,F2 分别是椭圆 C 的左,

右焦点,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,求△ F1MN 的内切圆面积的最大值和此 时直线 l 的方程. 22. (12 分)已知 f(x)=x ﹣px+q,其中 p>0,q>0.
2

(1)当 p>q 时,证明





(2)若 f(x)=0 在区间, (0,1], (1,2]内各有一个根,求 p+q 的取值范围.

西藏拉萨中学 2015 届高三上学期第四次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. x 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 M={x|2 >1},集合 N={x|log2x>1},则下列结论中成立的是 () A.M∩N=M B.M∪N=N C.M∩(?UN)=? D.(?UM)∩N=?

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 M 与 N 中不等式的解集,确定出 M 与 N,求出 M 与 N 的交集,并集,M 与 N 的补集找出 M 与 N 补集的交集,M 补集与 N 的交集,即可做出判断. 解答: 解:由 M 中的不等式变形得:2 >1=2 ,得到 x>0,即 M=(0,+∞) , 由 N 中的不等式变形得:log2x>1=log22,得到 x>2,即 N=(2,+∞) , ∴M∩N=(2,+∞)=N,M∪N=(0,+∞)=M,?UN=(﹣∞,2],?UM=(﹣∞,0], 则 M∩(?UN)=(0,2], (?UM)∩N=?. 故选 D 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
x 0

2. (5 分)不等式 A.[﹣1,0) +∞)

≥2 的解集为() B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1]∪(0,

考点: 其他不等式的解法. 分析: 本题为基本的分式不等式,利用穿根法解决即可,也可用特值法. 解答: 解: ? ? ? ?﹣1≤x<0

故选 A 点评: 本题考查简单的分式不等式求解,属基本题.在解题中,要注意等号. 3. (5 分)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项的和是() A.13 B.26 C.52 D.56

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可得 a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,代入已知可得 a4+a10=4,而 S13= = ,代入计算可得.

解答: 解:由等差数列的性质可得:a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, 代入已知可得 3×2a4+2×3a10=24,即 a4+a10=4, 故数列的前 13 项之和 S13=

=

=

=26

故选 B 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,涉及整体代入的思想,属中档题. 4. (5 分)已知 p:|x﹣2|<3,q:0<x<5,那么 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:由|x﹣2|<3,得﹣3<x﹣2<3,即﹣1<x<5, ∵q:0<x<5, ∴(0,5)?(﹣1,5) , 即 p 是 q 的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据条件求出不等式的解是解决本题的 关键.

5. (5 分)函数 f(x)= A.2x﹣y﹣4=0

的图象在点(1,﹣2)处的切线方程为() C.x﹣y﹣3=0 D.x+y+1=0

B.2x+y=0

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 求出曲线的导函数,把 x=1 代入即可得到切线的斜率,然后根据(1,2)和斜率写 出切线的方程即可. 解答: 解:由函数 f(x)= 把 x=1 代入得到切线的斜率 k=1, 知 f′(x)= ,

则切线方程为:y+2=x﹣1, 即 x﹣y﹣3=0. 故选:C. 点评: 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程,考查计算能力,注意正确求 导. 6. (5 分)下列命题中为假命题的是() A.?x∈R,logax=﹣1(a>0,a≠1) x C. ?x∈R,a >0(a>0,a≠1) B. ?x∈R,tanx=2014 2 2 D.?x∈R,x +ax+a >0(a∈R)

考点: 全称命题;特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: A 举例说明命题正确; B 应用正切函数的图象与性质判断命题正确; C 根据指数函数的定义与性质判断命题正确; D 举例说明命题错误. 解答: 解:对于 A,当 x= 时,loga =﹣1,∴命题正确; 对于 B,∵tanx∈R,∴?x0∈R,使 tanx0=2014,∴命题正确; x 对于 C,根据指数函数的定义与性质知,?x∈R,a >0(a>0,a≠1)是正确的; 2 2 对于 D,当 x=a=0 时,x +ax+a =0,∴命题错误. 故选:D. 点评: 本题通过命题真假的判断,考查了正切函数、指数函数与对数函数的图象与性质的 应用问题,也考查了二次函数的图象与性质的应用问题,是综合题.
2

7. (5 分)已知 f(x)= x +sin ()

,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的单调性与导数的关系;函数的图象. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先化简 f(x)= x +sin
2

= x +cosx,再求其导数,得出导函数是奇函数, , )上单调

2

排除 B,D.再根据导函数的导函数小于 0 的 x 的范围,确定导函数在(﹣ 递减,从而排除 C,即可得出正确答案. 解答: 解:由 f(x)= x +sin
2

= x +cosx,

2

∴f′(x)= x﹣sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B,D.

又 f″(x)= ﹣cosx,当﹣ 故函数 y=f′(x)在区间(﹣

<x< ,

时,cosx> ,∴f″(x)<0, )上单调递减,故排除 C.

故选:A. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 8. (5 分)经过圆 C: (x+1) +(y﹣2) =4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为() A.x﹣y+3=0 B.x﹣y﹣3=0 C.x+y﹣1=0 D.x+y+3=0 考点: 直线的一般式方程;恒过定点的直线. 专题: 计算题. 分析: 由题意先求出圆心 C 的坐标,再代入点斜式方程,再化为一般式方程. 解答: 解:由题意知,直线过点(﹣1,2) ,斜率为 1,代入点斜式得,y﹣2=x+1, 即直线方程为 x﹣y+3=0. 故选 A. 点评: 本题重点考查了直线的点斜式方程,最后要化为一般式方程,这是容易忽视的地方. 9. (5 分)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为() A. B. 1 C. D.
2 2 2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等 于到准线的距离,列出方程求出 A,B 的中点横坐标,求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离. 2 解答: 解:∵F 是抛物线 y =x 的焦点, F( )准线方程 x= ,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|= ∴|AF|+|BF|= 解得 , =3 ,|BF|= ,

∴线段 AB 的中点横坐标为 , ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 故选 C.

点评: 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离 转化为到准线的距离.

10. (5 分)若向量 的模为() A.2

的夹角为 60°,

,则向量

B. 4

C. 6

D.12

考点: 向量的模;平面向量数量积的运算. 分析: 分解(a+2b)?(a﹣3b)得|a| ﹣|a||b|cos60°﹣6|b| ,因为向量 知,代入可得关于 的方程,解方程可得.
2 2

的夹角、



解答: 解: (a+2b)?(a﹣3b) 2 2 =|a| ﹣|a||b|cos60°﹣6|b| 2 =|a| ﹣2|a|﹣96=﹣72, 2 ∴|a| ﹣2|a|﹣24=0. ∴(|a|﹣6)?(|a|+4)=0. ∴|a|=6. 故选 C 点评: 求 的有向线段 造关于 常用的方法有:①若已知 的两端点 A、 B 坐标, 则 . =|AB|= ,则 = ;②若已知表示 ③构

的方程,解方程求

11. (5 分)设函数 y=f(x)在 R 上有意义,对给定正数 M,定义函数 fM(x) =
2

,则称函数 fM(x)为 f(x)的“孪生函数”,若给定函数 f(x)=2

﹣x ,M=1,则 y=fM(x)的值域为() A.[1,2] B.[﹣1,2]

C.(﹣∞,2]

D.(﹣∞,1]

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先求出 fM(x)的表达式,由表达式易求 y=fM(x)的值域. 2 解答: 解:由 f(x)=2﹣x ≤1,得 x≤﹣1 或 x≥1, 2 因此,当 x≤﹣1 或 x≥1 时,fM(x)=2﹣x ; 当﹣1<x<1 时,fM(x)=1, 所以 fM(x)的单调递增区间时(﹣∞,1], 故选 D.

点评: 本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度,理解好新定义的分段函数是解决 本题的关键.

12. (5 分)设 P 是双曲线



=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2 是焦点,双曲线的离心

率是 ,且∠F1PF2=90°,△ F1PF2 面积是 9,则 a+b=() A.4 B. 5 C. 6 D.7

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的定义、勾股定理,△ F1PF2 面积是 9,可得 c ﹣a =9,结合双曲线的离 心率是 = ,求出 a,c,可得 b,即可求出 a+b 的值. 解答: 解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m﹣n|=2a① 2 2 2 由∠F1PF2=90°,可得 m +n =4c ,② 2 2 2 则① ﹣②得:﹣2mn=4a ﹣4c , 2 2 ∴mn=2c ﹣2a , ∵△F1PF2 面积是 9, 2 2 ∴c ﹣a =9, ∵双曲线的离心率是 = , ∴c=5,a=4, ∴b=3, ∴a+b=7. 故选:D. 点评: 本题主要考查双曲线的基本性质.在涉及到与焦点有关的题目时,一般都用定义求 解. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分 13. (5 分)给出下列结论: ①命题“?x∈R,sinx≠1”的否定是“?x∈R,sinx=1”; ②命题“有些正方形是平行四边形”的否定是“所有正方形不都是平行四边形”; ③命题“A1,A2 是对立事件”是命题“A1,A2 是互斥事件”的充分不必要条件; ④若 a,b 是实数,则“a+b>0 且 ab>0”是“a>0 且 b>0”的必要不充分条件. 其中正确结论的是①②③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①写出命题“?x∈R,sinx≠1”的否定可判断① ②写出命题“有些正方形是平行四边形”的否定可判断②; ③命题“A1,A2 是对立事件”?命题“A1,A2 是互斥事件”,反之,不成立,如抛骰子试验中, A1={1 点},A2={2 点},可说明必要性不成立,可判断③;
2 2

④若 a,b 是实数,则“a+b>0 且 ab>0”是“a>0 且 b>0”的必要充分条件,可判断④. 解答: 解:①命题“?x∈R,sinx≠1”的否定是“?x∈R,sinx=1”,故①正确; ②命题“有些正方形是平行四边形”的否定是“所有正方形不都是平行四边形”,正确; ③命题“A1,A2 是对立事件”,则“A1,A2 是互斥事件”,充分性成立; 反之,若“A1,A2 是互斥事件”,则“A1,A2 不一定是对立事件”,如抛骰子试验中,A1={1 点}, A2={2 点},A1,A2 是互斥事件,但不是对立事件,即必要性不成立, 故③正确; ④若 a,b 是实数,则“a+b>0 且 ab>0”是“a>0 且 b>0”的充要条件,故④错误. 故答案为:①②③. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查命题的否定与充分必要条件的概念及应 用,考查互斥事件与对立事件的关系,属于中档题.

14. (5 分) 已知 O 为坐标原点, 点M (3, 2) , 若N (x, y) 满足不等式组 的最大值为 12. 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,由于

, 则

=(3,2)?(x,y)=3x+2y,设 z=3x+2y,

再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=3x+2y 过可行域内的点 A 时,z 最大即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 则 =(3,2)?(x,y)=3x+2y,

设 z=3x+2y, 将最大值转化为 y 轴上的截距最大, 当直线 z=3x+2y 经过交点 A(4,0)时,z 最大, 最大为:12. 故答案为:12.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包 括线性的与非线性, 非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸, 使得规划问题得以深化.

15. (5 分)设 a 为 g(x)= x +2x ﹣3x﹣1 的极值点,且函数 f(x)=

3

2

,则

f( )+f(

)的值等于 8.

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 g′(x)=0,可得极值点,由题意可求 a 值,从而可得函数 f(x)解析式,利用对 数运算性质可求答案. 2 解答: 解:g′(x)=4x +4x﹣3=(2x﹣1) (2x+3) , 令 g′(x)=0,得 x= 或 x=﹣ , 由题意可知 a= ,

∴f(x)=



∴f( )+f(

)=

+

=2+

=2+6=8,

故答案为:8. 点评: 该题考查利用导数研究函数的极值、分段函数求值,考查对数的运算性质,属基础 题. 16. (5 分)关于函数 ,有以下四个命题:

①函数 f(x)在区间(﹣∞,1)上是单调增函数; ②函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③函数 f(x)的定义域为(1,+∞) ; ④函数 f(x)的值域为 R. 其中所有正确命题的序号是①②④. 考点: 对数函数的定义域;对数函数的值域与最值;对数函数的单调区间. 专题: 探究型. 分析: 利用对数函数的单调性判断①的正误;利用函数的对称性判断②的正误;求出函数 的定义域判断③的正误;函数的值域判断④的正误; 解答: 解:函数 在 x>1 时函数是减函数,x<1 时是增函数,所以 ①正确; 函数

,函数的图象关于 x=1 对称,所以②正确.

函数 函数

的定义域是 x≠1,所以③不正确; ,函数的值域是实数集,所以④正确;

故答案为:①②④. 点评: 本题考查函数的基本性质,包括对称性、奇偶性、单调性,考查计算能力,好题, 常考题型. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分 17. (10 分)已知等差数列{an}满足 a1=3,a4+a5+a6=45. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 a4+a5+a6=45 可求 a5,由等差数列通项公式可求公差 d,从而可得 an; (Ⅱ)表示出 ,拆项后利用裂项相消法可求 Tn.

解答: 解: (Ⅰ)∵a4+a5+a6=45, ∴3a5=45,a5=15, ∵a1=3, ∴d= = =3,

∴an=3n. (Ⅱ)由(Ⅰ)an=3n,an+1=3(n+1) , 则 ∴Tn= = = = , = .

点评: 该题考查等差数列的通项公式、数列求和,裂项相消法对数列求和是 2015 届高考考 查的重点内容,要熟练掌握.

18. (12 分)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 的值; ,b=2,求△ ABC 的面积 S.

考点: 解三角形;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形.

分析: (Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,整理后可求得 sinC 和 sinA 的关系式,则 的值可得.

(Ⅱ)先通过余弦定理可求得 a 和 c 的关系式,同时利用(Ⅰ)中的结论和正弦定理求得 a 和 c 的另一关系式,最后联立求得 a 和 c,利用三角形面积公式即可求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理设 则 = = =

整理求得 sin(A+B)=2sin(B+C) 又 A+B+C=π ∴sinC=2sinA,即 =2

(Ⅱ)由余弦定理可知 cosB= 由(Ⅰ)可知 = =2②

= ①

①②联立求得 c=2,a=1 sinB= ∴S= acsinB= 点评: 本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用.考查了学生基本分析问题 的能力和基本的运算能力. 19. (12 分)函数 f(x)= x ﹣ x +ax+1(a∈R)的导函数为 f′(x) . (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值; 2 (Ⅱ)已知不等式 f′(x)>x +x﹣a 对任意 a∈(0,+∞)都成立,求实数 x 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: (Ⅰ)利用导数的运算法则可得:f′(x)=ax ﹣x+a,由于函数 f(x)在 x=2 时取得 极值,可得 f′(2)=0.解出并验证即可. 2 2 (II) 方法一:由题设知:ax ﹣x+a>x +x﹣a 对任意 a∈(0,+∞)都成立. 2 2 2 2 ?a(x +2)﹣x ﹣2x>0 对任意 a∈(0,+∞)都成立.设 g(a)=a(x +2)﹣x ﹣2x(a∈R) , 则对任意 x∈R,g(a)为单调递增函数(a∈R) ,利用一次函数的单调性可得 g(0)≥0,解出 即可. 2 2 方法二:由题设知:ax ﹣x+a>x +x﹣a,对任意 a∈(0,+∞)都成立,
3 2

=

?a(x +2)﹣x ﹣2x>0 对任意 a∈(0,+∞)都成立,分离参数可得:

2

2

对任意 a∈

(0,+∞)都成立,即
2

,解出即可.

解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=ax ﹣x+a, 由于函数 f(x)在 x=2 时取得极值, ∴f′(2)=0. 即 4a﹣2+a=0,解得 ,

此时 f′(x)在 x=2 两边异号,f(x)在 x=2 处取得极值. (Ⅱ) 方法一:由题设知:ax ﹣x+a>x +x﹣a 对任意 a∈(0,+∞)都成立. 2 2 即 a(x +2)﹣x ﹣2x>0 对任意 a∈(0,+∞)都成立. 2 2 设 g(a)=a(x +2)﹣x ﹣2x(a∈R) ,则对任意 x∈R,g(a)为单调递增函数(a∈R) , ∴对任意 a∈(0,+∞) ,g(a)>0 恒成立的充分必要条件是 g(0)≥0, 即﹣x ﹣2x≥0,∴﹣2≤x≤0, 于是 x 的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}. 2 2 方法二:由题设知:ax ﹣x+a>x +x﹣a,对任意 a∈(0,+∞)都成立, 2 2 即 a(x +2)﹣x ﹣2x>0 对任意 a∈(0,+∞)都成立 于是 对任意 a∈(0,+∞)都成立,即 ,
2 2 2

∴﹣2≤x≤0,于是 x 的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了恒成立问题的等价转化方法, 考查了分离参数法、 一次函数的单调性、 一元二次不等式的解法, 考查了推理能力与计算能力, 属于难题.

20. (12 分)已知向量 (1)当 (2)求 ∥
2



时,求 2cos x﹣sin2x 的值; 在 上的值域.

考点: 正弦函数的定义域和值域;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用向量平行的坐标运算,同角三角函数间的关系,得到 tanx 的值,然后化简 2 2cos x﹣sin2x 即可 (2)先表示出 的最大值及最小值. 解答: 解: (1)∵ ∥ , 在= (sin2x+ ) ,再根据 x 的范围求出函数 f(x)

∴ ∴

, , (3 分)



. (6 分)

(2)∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴函数 f(x)的值域为 ,∴

, , (8 分) , , (10 分) , (12 分) . (13 分)

点评: 本题主要考查平面向量的坐标运算.考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小 综合题.是 2015 届高考的热点问题.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,点 F1,F2 分别是椭圆 C 的左, =0 相切.

右焦点,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,求△ F1MN 的内切圆面积的最大值和此 时直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆 C: 半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ + =1(a>b>0)的离心率为 ,可得 e= = ,椭圆 C 的短

=0 相切,求得 a,b 的值,则椭圆方程可求; 最大时, r 也最大, △ MF1N

(2) 设出直线 l 的方程 x=my+1, 和椭圆方程联立, 得到当

的内切圆面积也最大,利用根与系数关系把△ MF1N 的面积转化为含有 m 的代数式,利用基 本不等式求得最值并得到直线 l 的方程. 解答: 解: (1)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,∴e= = , =0 相切.

∵椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x﹣y+

∴b=

=



∴a=2, ∴椭圆 C 的方程为 ;
2 2

(2)设直线 l 的方程为:x=my+1,代入椭圆方程可得(3m +4)y +6my﹣9=0. 2 2 2 △ =(6m) +36(3m +4)=144m +144>0. 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , ∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,



= |F1F2||y1﹣y2|=

=

≤3(m=0 时取等号) ,

△ MF1N 的内切圆半径为 r,则 ∴rmax= , 这时△ MF1N 的内切圆面积的最大值为

= (|MN|+|F1M|+|F1N|)r=4r,

π,直线 l 的方程为 x=1.

点评: 本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与曲线联立,根 据方程的根与系数的关系解题, 是处理这类问题的最为常用的方法, 但圆锥曲线的特点是计算 量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题. 22. (12 分)已知 f(x)=x ﹣px+q,其中 p>0,q>0. (1)当 p>q 时,证明 < ;
2

(2)若 f(x)=0 在区间, (0,1], (1,2]内各有一个根,求 p+q 的取值范围. 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)当 p>q 时,分别化简 结论. 、 ,再把它们作差判断符号,即可证得

(2)由题意可得

,求得

,画出点(p,q) (p>0,q>0)组成的可

行域,由线性规划知识求得 p+q 的范围. 解答: 证明: (1) , ,

∴ ∵p>q>0, ∴ 即 ∴ ; , , (4 分)



解: (2)∵抛物线的图象开口向上,且 f(x)=0 在区间(0,1], (1,2]内各有一个根,



∴点(p,q) (p>0,q>0)组成的可行域如图所示,

设 z=p+q,由线性规划知识可知,1<z=p+q≤5,即 p+q∈(1,5]. 点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,等产数列的 定义和性质,体现了数形结合、分类讨论、转化的数学思想,属于中档题.


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