浙江省温州市平阳二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

浙江省温州市平阳二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)计算 cos300°的值() A. B. C. D.

2. (4 分)下列四个命题中正确的是() A.两个单位向量一定相等 B. 两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同 C. 共线的单位向量必相等 D.若 与 不共线,则 与 都是非零向量

3. (4 分)函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D.向右平移

)的图象可由函数 y=sin2x 的图象()

个单位长度而得到 个单位长度而得到 个单位长度而得到 个单位长度而得到

4. (4 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B.( , ) C.( ,1) D.(1,2)

5. (4 分)如图,正六边形 ABCDEF 中,边长为 1,|

+



|=()

A.1

B.

C .2

D.3

6. (4 分)下列函数中,在区间 A. B.y=sinx

上为增函数且以 π 为周期的函数是() C.y=﹣tanx D.y=﹣cos2x

7. (4 分)函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为() A. B. C. D.

x

8. (4 分)在定义域内满足 f(x)?f(y)=f(x+y)的函数为() x A.f(x)=kx(k≠0) B. f(x)=a (a>0 且 a≠1) 2 C. f(x)=logax(a>0 且 a≠1) D.f(x)=ax +bx+c(a≠0) 9. (4 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则此函数的解析式为()

A. C.

B. D.

10. (4 分)如图,函数 y=f(x)的图象为折线 ABC,设 g (x)=f,则函数 y=g(x)的图象为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)将对数式 logba=c 写成指数式为.

12. (4 分)已知 =(﹣1,2) , =(x,﹣6) ,且 ∥ ,则 x=.

13. (4 分)若

,且

,则 tanα=.

14. (4 分)如图,在△ ABC 中,D 是 BC 的中点,E 是 AC 的三等分点,且 EC=2AE,若 则 =, (结果用 , 表示)





15. (4 分)已知 A(2,3) ,B(4,﹣3) ,点 P 在线段 AB 的延长线上,且

,则点 P 的坐标为.

16. (4 分)函数 f(x)=1+loga|x+1|, (a>0 且 a≠1)经过定点为. 17. (4 分)若 f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间 上的最大值是 ,则 ω=.

三、解答题(8+10+10+12+12) 18. (8 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},求: (1)A∩B 并说明集合 A 和集合 B 的关系, (2)?AB. 19. (10 分)已知函数 f(x)=a﹣ (1)当 a 为何值时,y=f(x)是奇函数; (2)证明:不论 a 为何值,y=f(x)在(0,+∞)上是增函数. 20. (10 分)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P 的坐标为(﹣ ,﹣ (1)求 sinα 和 cosα 的值, (2)求 (3)判断 的值, 的符号并说明理由. ) ,

21. (12 分)已知 f(x)=3cos(2x﹣



(1)求 y=f(x)的振幅和周期; (2)求 y=f(x)在上的最大值及取最大值时 x 的值;

(3)若 f(α)+f(

)=0,求 α

22. (12 分)已知函数 f(x)= (1)求 f(3) ; 2 (2)求函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 在上的零点; (3)写出函数 y=f(x)的单调递增区间(不用写过程) .

浙江省温州市平阳二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)计算 cos300°的值() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式化简求值即可. 解答: 解:cos300°=cos(360°﹣60°)=cos60°= , 故选:A. 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题. 2. (4 分)下列四个命题中正确的是() A.两个单位向量一定相等 B. 两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同 C. 共线的单位向量必相等 D.若 与 不共线,则 与 都是非零向量

考点: 向量的物理背景与概念. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的基本概念,对每一个选项进行判断即可. 解答: 解:对 于 A,两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同,∴A 错误; 对于 B,两个相等的向量的方向相同,长度也相等,但是起点不一定相同,∴B 错误; 对于 C,共线的单位向量不一定相等,也可能是相反向量,∴C 错误; 对于 D,当 与 不共线时, 与 都是非零向量,∴D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查了单位向量、相等向量与共线向量的应用问题,是基础题目.

3. (4 分)函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D.向右平移

)的图象可由函数 y=sin2x 的图象()

个单位长度而得到 个单位长度而得到 个单位长度而得到 个单位长度而得到

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函 数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,得出结论. 解答: 解:将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度,可得函数 y=sin2(x﹣ )=sin(2x﹣ )

的图象, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题. 4. (4 分)函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 要判断函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点位置,我们可以根据零点存在定理,依次判断 , , , 1,2 的函数值,然后根据连续函数在区间(a,b)上零点,则 f(a)与 f(b)异号进行判断. 解答: 解:∵f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣4<0 f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣3<0 f( )=log2\frac{1}{2}+2× ﹣1=1﹣2<0 f(1)=log21+2×1﹣1=2﹣1>0 f(2)=log22+2×2﹣1=5﹣1>0 故函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间( ,1) 故选 C 点评: 本题查察的知识点是函数的零点,解答的关键是零点存在定理:即连续函数在区间(a,b)上零 点,则 f(a)与 f(b)异号.

5. (4 分)如图,正六边形 ABCDEF 中,边长为 1,|

+



|=()

A.1

B.

C. 2

D.3

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 , ,可得| + ﹣ |=| |= = ,利用数量积

运算性质即可得出. 解答: 解:∵ ∴| + ﹣ |=| , |= = = = =2.

故选:C. 点评: 本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质,属于基础题.

6. (4 分)下列函数中,在区间 A.

上为增函数且以 π 为周期的函数是() B.y=sinx C. y=﹣tanx D. y=﹣cos2x

考点: 三角函数的周期性及其求法;余弦函数的单调性. 专题: 常规题型. 分析: 求出选项中的每个函数在区间 解答: 解: y=sinx 在区间 y=﹣tanx 不满足在区间 y=﹣cos2x 在区间 在区间 上为增函数且以 π 为周期的函数即可. 上为增函数且以 4π 为周期的函数,不合题意;

上为增函数且以 2π 为周期的函数,不合题意; 上为增函数且以 π 为周期的函数. 上为增函数且以 π 为周期的函数,满足题意,正确.

故选 D. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的周期,增区间的求法,考查计算能力,常考题目.
x

7. (4 分)函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为() A. B. C. D.

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据指数函数为单调函数,故函数 f(x)=a (0<a<1)在区间在区间上的最大值与最小值的差 是 ,由此构造方程,解方程可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上为单调递减函数, 2 ∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=a , ∵最大值比最小值大 , ∴1﹣a = , 解得 a= 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是指数函数单调性的应用,熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键 8. (4 分)在定义域内满足 f(x)?f(y)=f(x+y)的函数为() A.f(x)=kx(k≠0) C. f(x)=logax(a>0 且 a≠1) B. f(x)=a (a>0 且 a≠1) 2 D.f(x)=ax +bx+c(a≠0)
x 2 x

x

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据抽象函数的表达式分别进行判断即可. 解答: 解:A.若 f(x)=kx,则 f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y) ,不满足条件. x x+y x y B.若 f(x)=a (a>0 且 a≠1) ,则 f(x+y)=a =a ?a =f(x)?f(y) ,满足条件. C.若 f(x)=logax(a>0 且 a≠1) ,则 f(x+y)=loga(x+y)≠logaxlogay,不满足条件. 2 D.若 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,则 f(x)?f(y)=f(x+y)不成立,不满足条件. 故选:B 点评: 本题主要考查抽象函数的应用,根据条件判断函数关系是解决本题的关键. 9. (4 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则此函数的解析式为()

A. C.

B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 由图可知 A,由 =3 可求得 ω,由 ω×1+φ=0 可求得 φ.

解答: 解:依题意得,A=2, =3, ∴T=6,又 T= ∴ω= . x+φ)经过(1,0) ,且改零点的左侧区间与右侧区间均为单调增区间, (ω>0) ,

∵f(x)=2sin( ∴ ×1+φ=0, .

∴φ=﹣

故选 A. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求 φ 是难点,属于中档题. 10. (4 分)如图,函数 y=f(x)的图象为折线 ABC,设 g (x)=f,则函数 y=g(x)的图象为()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 函数 y=f(x)的图象为折线 ABC,其为偶函数,所研究 x≥0 时 g(x)的图象即可,首先根据图 象求出 x≥0 时 f(x)的图象及其值域,再根据分段函数的性质进行求解,可以求出 g(x)的解析式再进行 判断; 解答: 解:如图:函数 y=f(x)的图象为折线 ABC,函数 f(x)为偶函数, 我们可以研究 x≥0 的情况即可, 若 x≥0,可得 B(0,1) ,C(1,﹣1) ,这直线 BC 的方程为:lBC:y=﹣2x+1,x∈,其中﹣1≤f(x)≤1; 若 x<0,可得 lAB:y=2x+1,∴f(x)= ,

我们讨论 x≥0 的情况:如果 0≤x≤ ,解得 0≤f(x)≤1,此时 g(x)=f=﹣2(﹣2x+1)+1=4x﹣1; 若 <x≤1,解得﹣1≤f(x)<0,此时 g(x)=f=2(﹣2x+1)+1=﹣4x+3;

∴x∈时,g(x)=



故选 A; 点评: 此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的解析式求法,是一道好题; 二、填空题(共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) c 11. (4 分)将对数式 logba=c 写成指数式为 b =a. 考点: 指数式与对数式的互化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用同底指数式与对数式的互化关系即可得出. c 解答: 解:对数式 logba=c 化为指数式为:b =a, c 故答案为:b =a. 点评: 本题考查了同底指数式与对数式的互化关系,属于基础题.

12. (4 分)已知 =(﹣1,2) , =(x,﹣6) ,且 ∥ ,则 x=3.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解:∵ =(﹣1,2) , =(x,﹣6) ,且 ∥ ,∴﹣(﹣6)=2x,解得 x=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了向量的共线定理,属于基础题.

13. (4 分)若

,且

,则 tanα=



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 由同角三角函数的基本关系根据 解答: 解:若 故 tanα= 故答案为﹣ . 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题. =﹣ , ,且 ,求出 cosα 的值,再由 tanα= ,运算求得结果.

,由同角三角函数的基本关系可得 cosα=﹣ .

14. (4 分)如图,在△ ABC 中,D 是 BC 的中点,E 是 AC 的三等分点,且 EC=2AE,若 则 = ﹣ , (结果用 , 表示)





考点: 专题: 分析: 解答: = =﹣ =﹣ + = + +

向量加减混合运算及其几何意义. 平面向量及应用. 根据平面向量的加法与减法运算的几何意义,对向量进行线性表示即可. 解:根据题意,得;

﹣ . ﹣ .

故答案为:

点评: 本题考查了平面向量的加法与减法运算的几何意义的应用问题,是基础题目.

15. (4 分)已知 A(2,3) ,B(4,﹣3) ,点 P 在线段 AB 的延长线上,且 (6,﹣9) .

,则点 P 的坐标为 P

考点: 线段的定比分点. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,设出点 P 的坐标,利用向量的坐标表示以及向量相等,求出 P 点的坐标. 解答: 解:根据题意,画出图形,如图所示; 设点 P(x,y) , ∴ =(x﹣2,y﹣3) , =(x﹣4,y+3) ; 又∵ =2 ,

∴(x﹣2,y﹣3)=2(x﹣4,y+3) ,





解得



∴P(6,﹣9) . 故答案为:P(6,﹣9) . 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,也考查了平面向量的坐标运算问题,是基础题目. 16. (4 分)函数 f(x)=1+loga|x+1|, (a>0 且 a≠1)经过定点为(0,1) . 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的图象恒或定点(1,0) ,即可求出答案. 解答: 解:当 x=0 时,|x+1|=1,loga|x+1|=0, ∴f(0)=1+loga(0+1)=1; ∴函数 f(x)经过定点(0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.

17. (4 分)若 f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间

上的最大值是

,则 ω= .

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 根据已知区间,确定 ωx 的范围,求出它的最大值,结合 0<ω<1,求出 ω 的值. 解答: 解: ,

故答案为: 点评: 本题是基础题,考查三角函数的最值的应用,考查计算能力,转化思想的应用. 三、解答题(8+10+10+12+12) 18. (8 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},求: (1)A∩B 并说明集合 A 和集合 B 的关系, (2 )?AB. 考点: 补集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 A 与 B 的交集,判断出 A 与 B 的包含关系即可; (2)根据全集 A,求出 B 的补集即可. 解答: 解: (1)由 A 中不等式解得:x<2,即 A={x|x<2}, ∵B={x|﹣1<x<1},

∴A∩B={x|﹣1<x<1}=B, 则 B?A; (2)∵A={x|x<2},B={x|﹣1<x<1}, ∴?AB={x|x≤﹣1 或 1≤x<2}. 点评: 此题考查了补集及其运算,以及交集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

19. (10 分)已知函数 f(x)=a﹣ (1)当 a 为何值时,y=f(x)是奇函数; (2)证明:不论 a 为何值,y=f(x)在(0,+∞)上是增函数. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,依此求出 a 的值; (2)利用单调性的定义容易证明之. 解答: 解: (1)定义域为{x|x∈R 且 x≠0},关于原点对称. 因为 f(x)为奇函数,所以 a﹣ 所以 a=﹣a,故 a=0. (2)任取 0<x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= = , =﹣( )恒成立.

因为 0<x1<x2,所以 x1﹣x2<0,x1x2>0. 所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . 故原函数不论 a 取何值,y=f(x)在(0,+∞)上是增函数. 点评: 本题考查了函数奇偶性的定义以及利用单调性定义证明单调性的方法,属于基础题.

20. (10 分)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P 的坐标为(﹣ ,﹣ (1)求 sinα 和 cosα 的值, (2)求 (3)判断 的值, 的符号并说明理由.

) ,

考点: 同角三角函数基本关系的运用;任意角的三角函数的定义;三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由角 α 的终边与单位圆的交点 P 的坐标,利用任意角的三角函数定义求出 sinα 和 cosα 的值 即可; (2)原式利用诱导公式化简,将各自的值代入计算即 可求出值; (3) 原式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数化简, 把 tanα 的值代入计算即可做出判断. 解答: 解: (1)∵角 α 的终边与单位圆的交点 P 的坐标为(﹣ ,﹣ ) ,

∴sinα=﹣

,cosα=﹣ ; ,cosα=﹣ ,

(2)∵sinα=﹣ ∴tanα= 则原式= (3)∵tanα= ∴tan(α+ )= ,

= , =

= +



=

=﹣2﹣

<0.

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的意义,任意角的三角函数定义,以及三角函数值的符合,熟 练掌握基本关系是解本题的关键.

21. (12 分)已知 f(x)=3cos(2x﹣



(1)求 y=f(x)的振幅和周期; (2)求 y=f(x)在上的最大值及取最大值时 x 的值; (3)若 f(α)+f( )=0,求 α

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据振幅和周期的定义即可求出求 y=f(x)的振幅和周期; (2)利用三角函数的最值性质即可求 y=f(x)在上的最大值及取最大值时 x 的值; (3)根据 f(α)+f( )=0,进行化简即可求 α. ;

解答: 解: (1)函数的 y=f(x)的振幅为 3,周期 T= (2)∵0≤x≤ 则 cos 即 则 ,∴﹣ ≤2x﹣ ≤ ,

≤cos(2x﹣ ≤cos(2x﹣ ≤3cos(2x﹣

)≤cos0,

)≤1, )≤3, =0,即 x= ;

即 y=f(x)在上的最大值为 3,此时 2x﹣ (3)若 f(α)+f( 则 3cos(2α﹣ 即 3cos(2α﹣ )=0, ﹣

)+3cos(2× )+3cos

)=0,

=0,

即 cos(2α﹣ 则 2α﹣ 即 α= =

)= , +2kπ 或 2α﹣ =﹣ +2kπ,k∈Z,

+kπ 或 α=kπ,k∈Z.

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,要求熟练掌握三角函数的图象和性质.

22. (12 分)已知函数 f(x)= (1)求 f(3) ; 2 (2)求函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 在上的零点; (3)写出函数 y=f(x)的单调递增区间(不用写过程) . 考点: 函数单调性的判断与证明;函数零点的判定定理;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据分段函数 f(x) ,f(3)=f(1)=f(﹣1) ,而 f(﹣1)=1﹣|﹣1+1|=1,从而便求出了 f (3) ; (2)先求出该函数在(﹣ 2,0]上的零点,再根据解析式求出在(0,2]上的零点; (3)根据 f(x)解析式可看出:该 函数为 周 期为 2 的周期函数,所以去绝对值,求出 f(x)在(﹣2, 0]上的单调递增区间,根据周期求出它在定义域(﹣2,+∞)上的单调增区间即可. 解答: 解: (1)由 f(x)解析式,f(3)=f(1)=f(﹣1)=1; 2 (2)令 2f (x)﹣3f(x)+1=0; ∴(2f(x)﹣1) ( (f(x)﹣1)=0; ∴ ∴ ∴ 又 f(1)=f(﹣1) , ∴该函数在上的零点为 ,或 1; ; ; , ; ;

(3)由 f(x)解析式知该函数周期为 2,f(x)=1﹣|x+1|=

,n∈N;

∴y=f(x)的单调递增区间为(﹣2+2n,﹣1+2n) ,n∈N. 点评: 考查求分段函数函数值的方法,函数零点的概念,及求分段函数零点的方法,以及求分段函数、 周期函数单调区间的 方法与过程.


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