(江苏)高考数学一轮复习 22函数的单调性与最值课件 文_图文


第2讲 函数的单调性 与最值 ?考试要求 1.函数的单调性、最大值、最小值及
其几何意义,B级要求;2.运用函数图象研究函 数的单调性,B级要求.

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? 知识梳理 ? 1.函数的单调性 ? (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 A:区间 I?A.如果对于区 间 I 内的任意两个值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) , 那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调增函数 那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调减函数

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增函数

减函数

图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是 下降的

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?(2)单调区间的定义 减函数 增函数 ?如果函数y=f(x)在区间I上是单调 或单调 ,那么就说函数 y= f(x) 在区间区间 I上具有 I (严格的)单调性, 叫做函数y=f(x)的单调 区间.

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? 2. 函数的最值 前提


设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满

(1)对于任意 x∈I,都 条件 有 f(x)≤M ;

(3)对于任意 x∈I,都 有 f(x)≥M ;

(2)存在 x0∈I,使得 f(x0) (4)存在 x0∈I,使 =M. 得 f ( x0 ) =M . M 为最大值 M 为最小值

结论

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诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 1 (1)函数 y=x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × ) (2)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D 且(x1-x2)· [ f (x1)-f (x2)] >0,则函数 f(x)在 D 上是增函数.( √ (3)函数 y=|x|是 R 上的增函数.( × ) (4)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区 间是[1,+∞).( × ) )

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? 2.(2014·北京卷改编)下列函数:①y=e-x; ②y=x3;③y= ? ln x;④y=|x|.其中定义域是R且为增函数的 是 ________(填序号). 解析 ①中,函数定义域为 R,但在 R 上为减函数,故不符
合要求;②中,函数定义域为 R,且在 R 上为增函数,故符 合要求;③中,函数定义域为(0,+∞),不符合要求;④中, 函数定义域为 R,但在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上 单调递增,不符合要求. 答案 ②

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3 . (2014· 南通调研 ) 函数 y = log 1 (2x + 1)(1≤x≤3) 的值域为
3

________.
解析 因为函数 y= 是其定义域上的减函数,并且函数 t

=2x+1 是其定义域上的增函数, 由复合函数的单调性可知函 数 y= 在[1,3] 上单调递减,则当 x=1 时,函数有最

大值-1,当 x=3 时;函数有最小值-2,故所求函数的值域 为[ -2,-1] .

答案 [ -2,-1]

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2 4.已知函数 f(x)= ,x∈[2,6] ,则 f(x)的最大值为________, x-1 最小值为________.

2 解析 可判断函数 f(x)= 在[2,6] 上为减函数,所以 f(x)max x -1 2 =f(2)=2,f(x)min=f(6)=5. 2 答案 2 5

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? 5.(2014·天津卷)函数f(x)=lg x2的单调递减区 间是________. ? 解析 f(x) 的定义域为 ( - ∞ , 0)∪(0 ,+ ∞ ) , y=lg u在(0, ? + ∞)上为增函数,u= x2在(-∞,0)上递减, 在(0,+∞)上递增,故f(x)在(-∞,0)上单调递 减. ? 答案 (-∞,0)

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? 考点一 确定函数的单调性或单调区间
ax 【例 1】 试讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1
解 设-1<x1<x2<1,
?x-1+1? ? 1 ? ? ? ? ? 1 + f(x)=a? = a ? ? ?, x - 1 x - 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? f(x1)-f(x2)=a?1+x -1?-a?1+x -1? ? 1 2 ? ? ? ?

a?x2-x1? = , ?x1-1??x2-1?
基础诊断 考点突破 课堂总结

由于-1<x1<x2<1, 所以 x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递减; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递增.

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规律方法 判断函数单调性的常用方法: (1)定义法和导数法, 注意证明函数单调性只能用定义法和导数法; (2)图象法,由 图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是 函数定义域的子集:二是图象不连续的单调区间要分开写, 用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.

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a 【训练 1】 (1)已知 a>0,函数 f(x)=x+x (x>0),证明:函 数 f(x)在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数; (2)求函数 y=log1(x2-4x+3)的单调区间.
3

(1)证明 法一 任意取 x1>x2>0,则
? a? ? a? f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ?=(x1-x2) ? ? 1? 2? ?a a?x2-x1? a? ? ? + x -x =(x1-x2)+ x x =(x1- ? 1 2? 1 2 ? a ? x2)?1-x x ?. ? 1 2?

深度思考 解决 函数的单调性问 题一般有两种解 法:定义法和导 数法,你不妨都 试一试.

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a 当 a≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,1-x x <0, 1 2 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+x (a>0)在(0, a]上为减函数; a 当 x1>x2≥ a时,x1-x2>0,1-x x >0, 1 2 有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+x (a>0)在[ a,+∞)上为增函数;

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a 综上可知, 函数 f(x)=x+x (a>0)在(0, a]上为减函数; 在[ a, +∞)上为增函数. a a 法二 f′(x)=1-x2,令 f′(x)>0,则 1-x2>0, 解得 x> a或 x<- a(舍). a 令 f′(x)<0,则 1-x2<0, 解得- a<x< a.∵x>0,∴0<x< a. ∴f(x)在(0, a)上为减函数;在( a,+∞)上为增函数, 也称为 f(x)在(0, a]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数.
基础诊断 考点突破 课堂总结

1 (2)解 令 u=x -4x+3,原函数可以看作 y=log3u 与 u=x2
2

-4x+3 的复合函数. 令 u=x2-4x+3>0.则 x<1 或 x>3. ∴函数 y=log1(x2-4x+3)的定义域为
3

(-∞,1)∪(3,+∞). 又 u=x2-4x+3 的图象的对称轴为 x=2,且开口向上,

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∴u=x2-4x+3 在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增 函数.而函数 y=log1u 在(0,+∞)上是减函数,
3

∴y=log1 (x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞),单调递增
3

区间为(-∞,1).

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考点二

利用函数的单调性求参数范围

【例 2】 (1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是 单调递增的,则实数 a 的取值范围是________. ax-1 (2)若函数 f(x)= 在(-∞,-1)上是减函数,则 a 的取值 x+1 范围是________.

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解析

(1)当 a=0 时, f(x)=2x-3, 在定义域 R 上是单调递增

的,故在(-∞,4)上单调递增; 1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=-a, 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增, 1 1 所以 a<0,且-a≥4,解得-4≤a<0. 1 综合上述得-4≤a≤0.

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(2)法一

ax-1 a+1 f(x)= =a- , x+1 x +1

设 x1<x2<-1, 则
? ? a+1 ? a+1 ? ? ? ? ? a - f(x1)-f(x2)=?a- - ? x1+1? x2+1? ? ? ? ?

a+1 a+1 ?a+1??x1-x2? = - = , x2+1 x1+1 ?x1+1??x2+1? 又函数 f(x)在(-∞,-1)上是减函数, 所以 f(x1)-f(x2)>0.由于 x1<x2<-1, ∴x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, ∴a+1<0,即 a<-1. 故 a 的取值范围是(-∞,-1).
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法二

ax-1 a+1 ax-1 由 f(x)= , 得 f′(x)= 又因为 f(x)= 2, x+1 ?x+1? x+1

a+ 1 在(-∞,-1)上是减函数,所以 f′(x)= ≤0 在 x∈(- ?x+1?2 ∞,-1)上恒成立,解得 a≤-1, 而 a=-1 时,f(x)=-1,在(-∞,-1)上不具有单调性,故 a 的取值范围是(-∞,-1).

答案

? 1 ? (1)?-4,0? ? ?

(2)(-∞,-1)

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?规律方法 已知函数的单调性确定参数的值或 范围要注意以下两点:(1)若函数在区间[a,b]上 单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单 调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单 调性外,还要注意衔接点的取值.

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【训练 2】

(2014· 北 京 西 城 区 模 拟 ) 设 函 数 f(x) = 若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递

2 ? ?-x +4x,x≤4, ? ? ?log2x,x>4.

增,则实数 a 的取值范围是________.

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解析 作出函数 f(x)的图象如图所示,由图象可知 f(x)在(a,a +1)上单调递增,需满足 a≥4 或 a+1≤2,即 a≤1 或 a≥4.

答案 (-∞,1]∪[4,+∞)

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考点三 利用函数的单调性求最值 【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x 2 +y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[ -3,3] 上的最大值和最小值.

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(1)证明 设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵当 x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数.

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(2)解

∵f(x)在 R 上是减函数,

∴f(x)在[ -3,3] 上也是减函数, ∴f(x)在[ -3,3] 上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,又函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x) +f(y)=f(x+y),∴令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x), ∴f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[ -3,3] 上的最大值为 2,最小值为-2.

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规律方法 利用函数的单调性求函数的最大(小)值, 即如果函 数 y=f(x)在区间[ a,b] 上单调递增,在区间[ b,c] 上单调递减, 则函数 y=f(x)在区间[ a, c] 上的最大值是 f(b); 如果函数 y=f(x) 在区间[ a,b] 上单调递减,在区间[ b,c] 上单调递增,则函数 y=f(x)在区间[ a,c] 上的最小值是 f(b).

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【训练 3】 如果函数 f(x)对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(- 1 x),且当 x≥2时,f(x)=log2(3x-1),那么函数 f(x)在[ -2,0] 上的最大值与最小值之和为________.

解析 根据 f(1+x)=f(-x),可知函数 f(x)的图象关于直线 x
?1 ? 1 = 2 对 称 .又 函 数 f(x) 在 ?2,+∞? 上 单 调递 增 , 故 f(x) 在 ? ? ? 1? ?-∞, ?上单调递减, 则函数 2? ?

f(x)在[ -2,0] 上的最大值与最小

值之和为 f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+ log22=4.
答案 4
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[ 思想方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性 注意定义的如下两种等价形式:设任意 x1,x2∈[ a,b] ,那么 f?x1?-f?x2? (1) >0?f(x)在[ a,b] 上是增函数; x1 -x2 f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[ a,b] 上是减函数. x1-x2 (2)(x1-x2)[ f (x1)-f (x2)] >0?f(x)在[ a,b] 上是增函数; (x1-x2)[ f (x1)-f (x2)] <0?f(x)在[ a,b] 上是减函数.

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? 2.求函数的单调区间 ? 首先应注意函数的定义域,函数的单调区 间都是其定义 域的子集;其次掌握一次函数、 二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方 法:根据定义、利用图象和单调函数的性质、 利用导函数.

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? 3.复合函数的单调性 ? 对于复合函数 y=f [g(x)] ,若t=g(x)在区间 (a , b) 上是单调函数,且 y = f(t) 在区间 (g(a) , g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x) 与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y= f [g(x)] 为增函数;若 t = g(x) 与 y = f(t) 的单调性 相反,则y= f [g(x)]为减函数. ? 简称:同增异减.

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? [易错防范]

? 1 .函数的单调性是通过任意两点的变化趋势 来刻画整体的变化趋势,“任意”两个字是必 不可少的.如果只用其中两点的函数值 ( 比如 说端点值 ) 进行大小比较是不能确定函数的单 调性的. ? 2 .讨论函数单调性必须在其定义域内进行, 函数的单调区间是其定义域的子集,因此,讨 论函数的单调性时,应先确定函数的定义域.

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? 3.函数的单调区间是指函数在定义域内的某 个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分 开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不 能用并集表示.

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