湖南省永州市宁远一中、道县一中2015-2016学年高一数学下学期期中联考试题

湖南省永州市宁远一中、 道县一中 2015-2016 学年下学期期中联考 高一 数学试卷
总分:150 分 考试时间:4 月 27 日 8:00—10:00 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.关于用样本估计总体,下列说法正确的是 A.总体容量 越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 2.已知角 ? 的终边上的一点 P (? 3, 5) ,则 cos ? 的值为

6 6 C. 4 4 3.如图,直线在平面 ? 外,直线 m1 , m2 , n 均在平面 ? 内,若 m1 // m2 ,且 m1 , m2 均与 n 相交,下列能证明 l ? ? 的是
A. ? B. ? A. l ? m1 且 l ? m2 C. l ? m1 B. l ? m1 且 l ? n D. l ? n
α

15 3

D.
l

10 4

m1 n m2

(第 3 题图) 4.某校有 1700 名高一学生,1400 名高二学生,1100 名高三学生, 高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取 42 名学 生进行某项调查,则下列说法正确的是 A.高一学生被抽到的概率最大 B.高三学生被抽到的概率最大 C.高三学生被抽到的概率最小 D.每位学生被抽到的概率相等

5.如果用 A 表示随机事件 A 的对立事件,若事件 A 表示“汽车甲畅销且汽车 乙滞销”, 则事件 A 表示 A.汽车甲、乙都畅销 C.汽车甲滞销 B.汽车甲滞销或汽车乙畅销 D.汽车甲滞销且汽车乙畅销

6.函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [?? , ? ] 的图象大致为
y π π O x
π O y π x
π O y π x
π O y π x

A

B

C 3 2.5

D 4 5 4 D.3 6 4.5

x 7.右表提供的是两个具有线性相 关的数据,现求得 y ? ? 0.7 x ? 0.35 ,则 t 等于 回归方程为 y A.4.5 B.3.5 C.3.15 8.下列函数中,最小正周期为 ? 的偶函数是

t

1

A. y ? cos(2 x ?

?
2

) B. y ? cos

x 2

C. y ? sin(2 x ?

?
2

)

D. y ? tan x

9.已知点 M (m, n) 在直线 x ? 2 2 y ? 3 ? 0 上,则 m2 ? n2 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.5 10.MOD(a,b)表示求 a 除以 b 的余数,若输入 a=34,b=85,则输出的结果为 A.34 B.21 开始 C.17 D.0

?log 2 (3 ? x), x ? 0 11.设 f ( x) ? ? ,则 f (2015) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知 A , B 为锐角三角形的两个内角,对于函数:

输入 a,b a>b? 是 否 c=a, a=b, b=c

m=MOD(a,b) a=b, b=m 否 m=0 是 ? 输出 a 结束 (第 10 题图)

f ( x) ? (
A. B. C. D.

sin A x sin B x ) ?( ) ,下列说法正确的是 cos B cos A f ( x) 在 (??, 0] 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增 f ( x) 在 (??, 0] 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减 f ( x) 在定义域上单调递增 f ( x) 在定义域上单调递减

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 13.2016(10)= . (5)

2 sin ? ? cos ? ? ? 0 ,则 sin ? ? cos ? 1 15.如图,动点 M、N 从点 A(3,0)出发绕⊙ O 作圆周运动,若点 M 按逆时 ? ? 针方向每秒钟转 rad,点 N 按顺时针方向每秒钟转 rad.则当 M、 3 6
14.定义运算

a b sin ? ? ad ? bc ,若 c d cos ?



N 第一次相遇时,点 M 转过的弧长为
则b ? .



16. 若函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x ? b ( x ? [0, 2? ] ) 恰有三个不同的零点,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)已知 cos ? ? ? (Ⅰ)求 sin ? 的值;

? 5 ,? ? ( ,? ) . 2 5

sin(
(Ⅱ)求

3? ? ? ? ) ? 2cos( ? ?) 2 2 的值. cos(3? ? ? )

2

18. (本小题满分 12 分)若函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? ? 之相邻的对称轴之间的距离为 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)请直接在给定的坐标系中作出函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的 图象; (注:作图过程可以省略 ) ........ (Ⅲ)若 x ? [

?
2

)的一个零点与
y 1 1 2 O 1 2 1 π 6 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π x

? 2? ,且 x ? 时 f ( x ) 有最小 值. 3 4

? 5?
4 , 6

] ,求 f ( x) 的值域.

(第 18 题图)

19. (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD, PD ? 底面 ABCD ,且底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,M、N 分别为 PB、PC 的中点. (Ⅰ)证明:MN//平面 PAD; (Ⅱ)若 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积 V. P N D A
(第 19 题图)
?

M C B

20. (本小题满分 12 分)我市高三某班(共 30 人)参加永州市第三次模拟考试,该班班 [110,119) , [120,129) , [130,139) , [140,150] 主任将全班的数学成绩以 [100,109) , 的方式分组,得到频率分布直方图(如下图,纵坐标用分数表示) ,并将分数在 120 频率 分或者以上的视为优秀. 组距 (Ⅰ)求 x 的值,并求该班的优秀率; 10/300 (Ⅱ)试利用该直方图估计该班成绩的中位数.
8/300

x 4/300 3/300

100 110 120 130 140 150

分数

(第 20 题图)

3

21 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 A ? x 1 ? x ? 6? , 关 于 x 的 二 次 方 程 :

?

1 2 x ? bx ? 2c ? 0 . 4
请回答下列问题: (Ⅰ)若 b , c ? A ,且 b , c ? Z ,求该二次方程有解的概率; (Ⅱ)若 b , c ? A ,求该二次方程有解的概率.

22. (本小题满分 12 分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2x ? ( x ? a) x ? a .
2

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; a (Ⅱ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅲ)设函数 h( x) ? f ( x) , x ? (a, ??) ,请直接写出(不需给出演算步骤 ) ........
(Ⅰ)若 不等式 h( x) ? 1 的解集. 数学参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D B B D C A C C A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 13.31031 14.

1 2

15. 4?

16. ?2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)∵ cos ? ? ? ∴

? 5 ,且 ? ? ( , ? ) 2 5
2 5 5 2 ???????????????? ) ? 5 5

sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? (?
?5 分

sin(
(Ⅱ)

3? ? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ) ? cos ? ? 2sin ? 2 2 ? cos(3? ? ? ) ? cos ?
4

?

cos ? ? 2sin ? ? cos ?

?

? ?3 ??????????????????
??10 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x ) 的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为 ∴

5 2 5 ? 2? 5 5 5 ? 5

T ??





T?

2?

? , 4
, ∴

? ? 2 ,????????????????? ???1 分 2? 又∵ x ? 时 f ( x ) 有最小值, 3


?

f ( x) ? cos(


4? ? ? ) ? ?1 ,??????????????????????2 分 3

4? ? ? ? 2k? ? ? ,????????????????????????? 3分 y 3 1
即 ? ? 2k? ? ∴? ? ?

?

?
3

3

,且 ? ?

?

2



1 2 O 1 2 1 π 6 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π x



∴ f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) ;?????5 分

(Ⅱ) 其图象如图所右图示???????8 分

(Ⅲ)∵ x ? [ ∴

? 5?
4 , 6

],

?
6

? 2x ?

?

4? ,??????????????????????????10 分 3 3 ? 3 ∴ cos(2 x ? ) ? [?1, ], 3 2 f ( x) ∴ 的 值 域 是 ?

[?1,

3 ] .????????????????????????12 分 2
5

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:因为 M、N 分别是棱 PB、PC 中点,所以 MN// BC, 又 A BCD 是正方形,所以 AD// BC,于是 MN//AD. ···· 3 分

P

? ? AD ? 平面PAD ? ? MN / / 平面PAD ············· 6 分 MN ? 平面PAD ? ?
MN / / AD
(Ⅱ)由 PD ? 底ABCD ,知 PA 与平面 ABCD 所成的角为 ?PAD , ∴ ?PAD ? 45 ··············· 9 分 在 Rt ?PAD 中,知 PD ? AD ? 2, 1 8 故四棱锥 P- ABCD 的体积 V ? ? 4 ? 2 ? . ·········· 12 分 3 3
?

N D A
(第 20 题图)

M

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) x ? 1 ? (10 ?

3 8 10 4 ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ) 300 300 300 300 5 1 ∴ x ? 1 ? ? ;???????????????4 分 6 6
根据直方图,分数在 120 分或者以上的频率为:

频率 组距 10/300 8/300

3 8 19 ? ? , 30 30 30 19 ∴该班的优秀率为 ;????????????8 分 30 1?
(Ⅱ)根据直方图,中位数约为:124.???????12 分

x 4/300 3/300

100 110 120 130 140 150

分数

(第 19 题图)

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)要使得关于 x 的二次方程

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,本概率模型下的总测度为:

1 2 x ? bx ? 2c ? 0 有解, 4 只要 ? ? 0 ,即要 b ? 2c ? 0 , 即 b ? 2c , 又∵ b, c ? A , b, c ? Z , ∴ b, c ?{1, 2,3, 4,5,6} , ∴ (b, c ) 的所有可能的取值情况种数为 25 种,??????????3 分 ∴满足条件的 (b, c ) 的所有可能的取值情况为: (2,1) , (3,1) , (4,1) , (4, 2) , (5,1) , (5, 2) , (6,1) , (6, 2) , (6,3) ; 9 ∴该二次方程有解的概率为 ;????????????????6 分 25 b
6

b=2c

6

?1 ? a ? 6 所围成的正方形的面积, ?1 ? b ? 6 使得该二次方程有解的不等式为 b ? 2c , 则本概率模型的有效测度为直线 b ? 2c 与此正方形所围成的
平面区域 ? 三角形的面积(如图中阴影部分) , 易知:正方形的面积为 36,三角形的 面积为 4, ∴p? 分 22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵

4 1 ? 为所求的概率.???????????????????12 36 9

f (0) ? 1, a

∴?

aa a

?1,

即 ?a ? 1 , ∴ a ? ?1 ;??????????????????????????3 分 (Ⅱ) (1)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 ,
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 此时, f ( x) min ? ? a ,??????5 分 ? ? 2a 2 f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3 2 2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a ,
2 ? f (?a), a ? 0 ? ??2a , a ? 0 ?? 2 此时, f ( x)min ? ? , ? ? f (a), a ? 0 ? 2a , a ? 0 综上,当 a ? 0 时, f ( x)min ? ?2a2 ,

当 a ? 0 时, f ( x) min ? (Ⅲ)当 x ? (a, ??) 时,
2 2

2a 2 ;????????????????7 分 3

由 h( x) ? 1 得: 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 , ∵ ? ? 4a ? 12(a ? 1) ? 12 ? 8a ,
2 2 2

(1)当 ? ? 0 ,即 a ? ? ( 2 ) 当

6 6 或a ? 时, x ? (a, ??) ; 2 2 6 6 ??0 , 即 ? 时 ?a? 2 2





7

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ?( x ? )( x ? )?0 , ? 3 3 ?x ? a ?
综 上 : 当

a ? (?

6 2 ,? ) 2 2













x ? (a,

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ] ?[ , ??) , 3 3
a ? 3 ? 2a 2 2 2 当 a ? [? , ??) , , ] 时,解集为: x ? [ 2 2 3 2 6 当 a?( , ) 时,解集为: x ? (a, ??) .??????????12 2 2



8


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