[精品课件]201x-201x学年高中数学 第一章 统计案例 1.2 独立性检验 1.2.1 条件概率与独立事件课件 北师大_图文

1.2.1 条件概率与独立事件

学习目标

思维脉络

1.了解条件概率的概念,会解决 一些简单的条件概率问题.

2.了解相互独立事件的概念,会

用相互独立事件同时发生的概

率公式解决一些简单问题.

一、条件概率

条件概率的定义
已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生 的概率,称为 B 发生时 A 发生的条件概 率,记为 P(A|B).当 P(B)>0 时,有 P(A|B)=P(A?B).(其中,A∩B 也可以记成
P(B)
AB).类似地,当 P(A)>0 时,A 发生时 B 发生的条件概率为 P(B|A)=PP(A(AB)).

条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1 (2)若 B,C 是两个互斥事 件,则 P((B∪ C)|A)=P(B|A)+P(C|A)

名师点拨条件概率是指所求事件的发生是有前提条件的,是指在已

知事件 A 必然发生的前提下,只需局限在 A 发生的范围内考虑问题

即可,在事件 A 发生的前提下事件 B 发生,等价于事件 A 和事件 B 同

时发生,即 AB 发生,由古典概型知其条件概率为 P(B|A)=(()) =

()

() ()

= (()),其中 n(Ω)为一次试验中可能出现的结果数,n(A)为事

()

件 A 所包含的结果数,n(AB)为 A 与 B 同时发生时的结果数.

【做一做 1】 已知 P(AB)=130,P(A)=35,则 P(B|A)=(

)

A.590

B.12

C.190

D.14

解析:P(B|A)=(())

=

3 10 3

=

12.

5

答案:B

二、事件的相互独立性
(1)定义:一般地,对两个事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互 独立.
(2)性质:
①若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). ②若事件A与B相互独立,那么A与 , 与 B,与 也相互独立. ③如果A1,A2,…,An相互独立,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
特别提醒相互独立事件是指两个试验中,两事件发生的概率互不 影响;互斥事件是指同一次试验中,两个事件不会同时发生.

【做一做2】 (1)某机械零件加工由2道工序组成,第1道工序的废

品率为a,第2道工序的废品率为b,假定这2道工序出废品的概率彼

此无关,那么产品的合格率是 ( )

A.ab-a-b+1 B.1-a-b

C.1-ab

D.1-2ab

(2)若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=

1 4

,则P(EF)的值等于

()

A.0

B.116

C.14

D.12

解析:(1)由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关,

故产品的合格率为P=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1.

(2)EF代表E与F同时发生,

故P(EF)=P(E)P(F)=

1 16

.

答案:(1)A (2)B

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率. ( ) (2)相互独立事件就是互斥事件. ( ) (3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. ( ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). ( ) (5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表 示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B). ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

探究一

探究二

思维辨析

求条件概率

【例1】 甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,

知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时

下雨的比例为12%,问:

(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?

思路分析:设A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则根据题意有

P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(A∩B)=0.12.问题(1)为求P(A|B),(2)为求

P(B|A).

解:设A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)=((?)) = 00..1128=0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)=((?)) = 00..1220=0.60.

探究一

探究二

思维辨析

反思感悟1.条件概率的判断 题目中出现已知“在……前提下(条件下)”等字眼时,一般为求条 件概率.题目中没有出现上述明显字眼,但事件B的发生受事件A发 生的影响时,也是条件概率. 2.条件概率的求法
(1)定义法:先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)=(()),求 P(B|A). (2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本 事件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)=(()).

探究一

探究二

思维辨析

变式训练1(1)如图,EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方

形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形

EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则

P(B|A)=

.

(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶

数”,事件B:“取到的2个数均为奇数”,则P(B|A)=

.

探究一

探究二

思维辨析

解析:(1)由题意可得,

事件

A

发生的概率

P(A)=正方圆形

=

√2×√2 π×12

=

π2.

事件 AB 表示“豆子落在△EOH 内”,



P(AB)=△☉

=

12×12 π×12

=

21π.

1



P(B|A)=(())

=

2π 2

=

14.

π

(2)事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,所包含的基本事件

有:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),所以 P(A)=25. 事件 B=“取到的 2 个数均为奇数”,所包含的基本事件有

(1,3),(1,5),(3,5),所以 P(AB)=130,所以 P(B|A)=(()) = 34.

答案:(1)14 (2)34

探究一

探究二

思维辨析

求相互独立事件的概率

【例2】某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计,甲、

乙、丙三人跑100 m(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率

分别为

2 5,

3 4

1 ,3

,若对这三名短跑运动员跑100

m的成绩进行一次检

测,求

(1)三人都合格的概率;

(2)三人都不合格的概率;

(3)出现几人合格的概率最大?

思路分析:若用A,B,C表示甲、乙、丙三人跑100米的成绩合格,则

事件A,B,C相互独立.

探究一

探究二

思维辨析

解:记“甲、乙、丙三人跑 100 米的成绩合格”分别为事件 A,B,C,

显然事件 A,B,C 相互独立,

则 P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13. 设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k=0,1,2,3).

(1)三人都合格的概率:

P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25

×

3 4

×

1 3

=

110.

(2)三人都不合格的概率:

P0=P(



)=P()P()P()=35

×

1 4

×

2 3

=

110.

探究一

探究二

思维辨析

(3)恰有两人合格的概率:

P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)

=25

×

3 4

×

2 3

+

2 5

×

1 4

×

1 3

+

3 5

×

3 4

×

1 3

=

2630,

恰有一人合格的概率:

P1=1-P0-P2-P3=1-110

?

23 60

?

1 10

=

25 60

=

152.

结合(1)(2)可知 P1 最大.

所以出现恰有 1 人合格的概率最大.

反思感悟求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手

时,可从其对立事件入手计算.

探究一

探究二

思维辨析

变式训练2甲、乙同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求:
(1)甲、乙都未击中的概率; (2)敌机被击中的概率.
解:记 A=“甲击中”,B=“乙击中”,C=“甲、乙都没有击中”, D=“敌机被击中”.由题意,甲击中与否并不影响乙击中与否,由此可 认为 A 与 B 是相互独立的,则, 也是相互独立的.则
(1)P(C)=P( )=P()·P()=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2. (2)P(D)=1-P( )=1-0.2=0.8.

探究一

探究二

思维辨析

因混淆相互独立事件和互斥事件与对立事件而致误

【典例】 桌子上放着一副扑克牌中的10张,其中1张红心,4张黑

桃,5张梅花,从中任摸一张,放回后,再摸一张,求第一次摸出红心且

第二次摸出黑桃的概率.

易错分析:本题易出现按互斥事件的概率计算公式计算的错误,

其实第一次摸出红心,放回后再摸第二次.表明A,B两事件相互独立.

解:设A={第一次摸出红心},B={第二次摸出黑桃}.

P(AB)=P(A)·P(B)=110

×

2 5

=

215.

纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.

探究一

探究二

思维辨析

跟踪训练一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的.

已知这个家庭有一个是女孩,问另一个小孩是男孩的概率是多少?

解:法一:一个家庭的两个小孩只有4种可能:{两个都是男孩},{第

一个是男孩,第二个是女孩},{第一个是女孩,第二个是男孩},{两个

都是女孩}.由题意知这4个事件是等可能的,设基本事件空间为

Ω,A=“其中一个是女孩”,B=“其中一个是男孩”,则Ω={(男,男),(男,

女),(女,男),(女,女)},A={(男,女),(女,男),(女,女)},B={(男,男),(男,

女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)}.

易得

P(AB)=24,P(A)=34.故

P(B|A)=(())

=

2 4 3

=

23.

4

法二:由上知 n(A)=3,n(AB)=2,故 P(B|A)=(()) = 23.

12345
1.袋内有3个白球和2个黑球,不放回地从中摸球,用A表示“第一次摸 得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是( ) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 解析:根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A与B 不是相互独立事件. 答案:D

12345
2.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概 率为0.3,则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1 解析:设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,B为“该元件的使用 寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3.
因为B?A,所以P(AB)=P(B)=0.3, 于是 P(B|A)=(()) = 00..36=0.5. 答案:B

12345

3.已知 P(A)=35,P(B|A)=12,则 P(AB)=

.

解析:∵P(B|A)=(()),

∴1
2

=

()
3

,

5

即 P(AB)=130.

答案:130

12345

4.甲、乙、丙三人投篮,投进的概率分别是25

,

1 2

,

35,现三人各投篮

1

次,

则三人中恰有 2 人投进的概率为

.

解析:甲、乙、丙投篮投进分别记作事件 A,B,C,它们相互独立,则 3

人中恰有 2 人投进的概率为

P=P(AB)+P(AC)+P(BC)

=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)

=25

×

1 2

×

1-

3 5

+

2 5

×

1-

1 2

×

3 5

+

1-

2 5

×

1 2

×

3 5

=

1590.

答案:1590

12345

5.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题

6个,判断题4个,甲、乙两人不放回地依次各抽1题,在甲抽到选择题

的前提下,乙抽到判断题的概率是多少?

解:设甲抽到选择题为事件A,乙抽到判断题为事件B,

则 P(A)=160 = 35,

P(AB)=160××49 = 145.

4

P(B|A)=(())

=

15 3

=

49,

5

即在甲抽到选择题的条件下,乙抽到判断题的概率是49.


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