1.5函数y=Asin(wx+φ)的图象1_图文

1.5函数y=Asin(?x+?)的图象
(一)

引入新课
7 6

下图是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像

5

y 5 2
2 4 6 8 10 12 14 16

4

3

2

1

-1

-1

O 0.01 0.02 0.03 0.04

x

-2

-3

-4

-5
将测得的图像放大,可以看出它和正弦曲线很相似

-5

-6

? 如何由函数y=sinx的图象经过变换得 到函数y=Asin(ω x+?)的图象?

? 函数y=Asin(ω x+?)的图象与参数A、 ω 、?的关系又是怎样的?

可以将上述问题分解为以下几个步骤来进行: ? 探索?对函数y=sin(x+ ?)图象的影响, ?的意 义如何? ? 探索ω对函数y=sin(ωx+ ?)(ω>0) 图象的影响, ω 的意义如何? ? 探索A对函数y=Asin(ωx+ ?)(A>0)的图象的 影响,A的意义如何? ? 函数y=Asin(ωx+ ?)与函数y=sinx的图象关系 如何?

讲授新课
一、探索?对y=sin(x+ ?)的图象的影响
1.观察函数y=sin(x+π/3)和函数y=sinx的图象的关系 ? ? 3? 2? 0 x+π/3 2 2 ? ? 2? 7? 5? ? x
3

6

3

6

3

y=sin(x+π/3)

0

1

0

?1

0

y
?

?
3

1
A

π | AB |? 3
B

O

-1

2? 3

5? 3

2?

x

作函数 y=sin(x+ ? ),y=sin(x- ? )的简图. 3 4 y
1

y ? sinx
2? 3 ?

? o -3 -1

? 4

5? 5? 4 3

9? 2? 4 x

y ? sin(x ? π ) 3

y ? sin(x ? π ) 4

结论1
一般地,函数y=sin(x+ ?),(? ≠0)的图象,可以 看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左 ( 当 ? >0 时 ) 或向右(当? <0时)平移| ? |个单位得到.

练:1已知函数y=sin(x+π/3)的图象为C,为了得到函数 y=sin(x-π/3)的图象,只要把C上所有的点( C )

(A)向右平行移动π/3个单位长度

(B)向左平行移动π/3个单位长度
(C)向右平行移动2π/3个单位长度 (D)向左平行移动2π/3个单位长度

练:2已知函数y=sin(-x)的图象为C,为了得到函数 y=sin(-x-π/3)的图象,只要把C上所有的点( A)

(A)向右平行移动π/3个单位长度

(B)向左平行移动π/3个单位长度

1 例 画出函数 y=sin2 x , x ∈ R , y= sin x,x∈R的简图 二、探索ω 对y=sin(ω x+ ?)的图象的影响

1) 列表:

2

2x

0 0

? ?
2

?

x
y

?
2

4

3? 2? 2 3? ? 4

1 x 2

0 0
x

?
2

?

3? 2? 2

x
sin 1 2

? 1

2? 3? 4? 0 ?1 0

sin 2 x 0

1

0 ?1 0
y=sin2x

0

2) 描点、连线: 1 y ? sin x

o
?1

? ? 3? 4 2 4

?

3? 2

2?

y ? sin1 x 2

4?

3?

x

y
1

y=sin2x

y ? sin x

o
?1

? ? 3? 4 2 4

?

3? 2

2?

y ? sin1 2x

4?

3?

x

结论:函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看作是把
横坐标伸长(0 < ? < 1) 1 或缩短 (? > 1) ? 倍
纵坐标不变

y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长 (当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

y=sinx, x∈R

y=sinω x, x∈R
2?

?决定函数的周期 . T?

?

? ? 2.观察函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象和 y ? sin( x ? ) 3 3 的图象的关系.
3

y

2 1
A
π π ? ? 3 6

y=sinx

B
π 3
5π 6

o

?

-1

-2 -3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

5π 3

2? x

结论2

一 般 地 , 函 数 y=sin(ωx+?) 的图 象 , 可以看作是把y=sin(x+?)的图象上所有点 的 横 坐 标 缩 短 ( 当 ω >1 时 ) 或 伸 长 ( 当 0<ω<1 时 ) 到原来的 1/ω 倍 ( 纵坐标不变 ) 而得到的.

练:已知函数y=sin(x-π/4)的图象为C,为了得到函数 y=sin(x/3-π/4)的图象,只要把C上所有的点( A )

(A)横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1/3倍,纵坐标不变

(C)纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的1/3倍,横坐标不变

三、探索A对y=Asin(ω x+ ?)的图象的影响
? 3.观察函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象

和函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象的关系. 3 y
3

?

3

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

? 不妨令? ? 2,? ? . 3
? π 6

o

?
12

?
3

7? 12

5? 6

x

-3

结论3 一般地 ,函数 y=Asin(ωx+ ?)(A>0)的图 象可以看作是把 y=sin(ωx+ ?)上所有点的纵 坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来 的A倍(横坐标不变)而得到.

思考
y=sinx 的图象
?
把y=sinx上所有的点

向左平移π/3 个单位

y ? sin( x ? ) 3

?

的图象

y ? sin( x ? ) 3

将sin(x+ π/3)上所有的横坐标 缩短为原来的1/2

y ? sin( 2 x ? ) 3

?

的图象

的图象

◆思考:能否由
y=sinx 的图象 变换?
y ? sin( 2 x ? ) 3

?

的图象

法一:
y=sinx 的图象
把y=sinx上所有的点 向左平移π/3 个单位

y ? sin( x ? ) 3

?

的图象

y ? sin( 2 x ? ) 3

?

将sin(x+ π/3)上所有的横坐标 缩短为原来的1/2

的图象

◆思考:还有其他的变换方法吗?

法二:

y=sinx 的图象
?

将sinx上所有的横坐标 缩短为原来的1/2

y ? sin 2 x

的图象

y ? sin[2 (x ? ) ] 6

把y=sin2x上所有的点向左平移 π/6个单位

的图象

课堂练习 1.函数y=sin(2x+

?
6

)的图象可以看作是把

函数y=sin2x的图象做以下平移 ? ? A.向左平移 12 B.向右平移 12 2? 2? C.向左平移 C.向右平移 3
3

2.函数y=Asin(?x+?) (A>0,?>0)的一个周期内 的图象如图,则有 ( ) y ?

( A) y ? 3 sin( x ? ( B ) y ? 3 sin( x ?

?

6

); );

3

3 ? (C ) y ? 3 sin( 2 x ? ); 6 ? ( D ) y ? 3 sin( 2 x ? ). 3

o
-3

?
3

5? 6

x


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