两个计数原理公开课(涂色很好)_图文

引言
由100个碱基可以 组成多少种RNA分 子,你知道它是怎 么算出来的吗? 用16位二进制数字给 汉字编码,共可以编 码多少汉字? 如: “中”的编码为 0011011000110000

两个计数原理

莆田第二中学高二1班

思考1:从甲地到乙地,可以乘火车, 也可以乘汽车。一天中,火车有3班, 汽车有2班。那么一天中,乘坐这些 交通工具从甲地到乙地共有多少种不 同的走法?
3+2=5(种)
火车1 火车2



火车3 汽车1 汽车2



分类加法计数原理

.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情 况如下:

A大学
生物学 化学 医学 物理学 工程学

B大学
数学 会计学 信息技术学 法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?

练习 :在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解

到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造

化学
医学

会计学
信息技术学

建筑学
广告学 汉语言文学 韩语

物理学
工程学

法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)

推广:

思考2:从甲地到丙地,有3条道路,从丙地到 乙地有2条道路,那么从甲地经丙地到乙地共 有多少种不同的走法 ?
甲地 丙地 乙地

思考3:你能类比分类加法计数原理,概 括出第二种计数原理吗?
分步乘法计数原理

思考4:类比分类加法原理的推广,分步 乘法原理能推广吗?

思考5:你能说说分类加法原理与分 步乘法原理两个原理的异同点?
分步加法计数原理和分类乘法 计数原理的共同点:

计算做一件事情完成它的所 有不同方法种数的问题。

分类加法计数原理
区别1 完成一件事,共有
n类方案,关键词 “分类”

分步乘法计数原理
完成一件事,共分n 个步骤,关键词 “分步”

区别2 每类方案的任何一个 任何一步都不能独立完成
方法都能独立地完成 这件事情

这件事,只有各个步骤都 完成了,才能完成这件事

区别3

相加

相乘

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

例1:书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2 层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体 育书,

解: (1)从书架上任取一本书,有三类方法: 第1类办法是:从第1层取1本计算机书,有4种方法; 第2类办法是:从第2层取1本文艺书,有3种方法;

第3类办法是:从第3层取1本体育书,有2种方法; 根据分类加法计数原理,不同取法的种数是:

N ? 4?3? 2 ? 9

答:从书架上任取1本书,有9种不同的取法.

例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书, (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不 同的取法? 解: (2)从书架的1、2、3层各取1本书,可以分3步来完成: 第1步:从第1层取1本计算机书,有4种方法; 第2步:从第2层取1本文艺书,有3种方法; 第3步:从第3层取1本体育书,有2种方法;

根据分步乘法计数原理,从书架的1、2、3层各取1本书, 不同取法的种数是:

N ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

答:从书架的1、2、3层各取1本书,有24种不同的取 法。

例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书, ( 3 ) 从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不 同的取法?

解:

从书架上任取两本不同学科的书,有三类方法:
第一类方法:取计算机书和文艺书 该方法分两步完成,共4*3=12种方法 第二类方法:取计算机书和体育书 该方法分两步完成,共4*2=8种方法 第三类方法:取文艺书和体育书 该方法分两步完成,共3*2=6种方法 所以共有12+8+6=26种方法。

例4 有架楼梯共6级,每次只允 许上一级或两级,求上完这架楼梯共 有多少种不同的走法? 1种走法 第1类:走3步 6种走法 第2类:走4步 5种走法 第3类:走5步 第4类:走6步 1种走法

N=1+6+5+1=13(种)

例7 在1,2,3,?,200这些自 然数中,各个数位上都不含数字8的 自然数共有多少个?
不含8的一位数 8个 8×9=72个 9×9+1=82个

不含8的二位数
不含8的三位数

N=8+72+82=162(个)

例8 用5种不同颜色给图中A,B, C,D四个区域涂色,每个区域只涂 一种颜色,相邻区域的颜色不同, 求共有多少种不同的涂色方法? A5 C3
4 B D3

N=5×4×3×3=180(种)

例9 将一个四棱锥的每个顶点染上 一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜 色不同,如果只有5种颜色可供使用,求 共有多少种不同的染色方法?
S C D A

涂S 点 涂A 点 涂D 点 B 涂B 、C 点

5 4 3 7

N=5×4×3×7=420(种)

典例讲评

例12 630的正约数(包括1和630) 共有多少个? 630=2×32×5×7 正约数:2a×3b×5c×7d 2×3×2×2=24(个)

典例讲评

例13 将20个大小相同的小球放入编号 为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子 内的球数不小于该盒子的编号数,求共 有多少种不同的放法? 15+14+?+2+1=120(种)

例14 某电视节目中有A、B两个信箱, 分别存放着先后两次竞猜中入围的观众 来信,其中A信箱中有30封来信,B信箱 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信 箱中抽取1名幸运观众,再由该幸运观众 从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴, 求共有多少种不同的可能结果? 30×29×20+20×19×30 =17400+11400=28800(种)

例2 :甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,

2名,现准备推选两名来自不同班的三好 学生去参加校三好学生代表大会,共有多 少种不同的推选方法?

例3:如图,要给地图A、B、C、D四个 区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 ,允许同一种颜色使用多次,但相邻区 域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案 有多少种?

解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

例3:如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种?
思考:
若用4色,结果又怎 样呢?
答:涂色方案种数是 4×3×2×2 = 48

变式1:用5种不同的颜色给图中的4个区域涂色,每个区域涂
一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共 有多少种不同的涂色方法?

1
2
解析:

4
3

第一类:1号区域与3号区域同色时,有5×4×1×4=80(种)涂法;

第二类:1号区域与3号区域异色时,有5×4×3×3=180(种)涂法.依据分
类计数原理知不同的涂色方法有80+180=260(种)不同的涂色方法.

变式2
(2008· 重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够 多),要在如图所示的6个点A、B、C、A 、 B1 、 C1 上各装一
1

个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯
泡都至少用一个的安装方法共有种.(用数字作答)

解析:

A1处4种, B1

处3种, C1 处2种,则底面共4×3×2=24

(种).根据A点和 B1 点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类: (1)A, B 颜色相同,则B处有3种,C处有1种,则共有3×1=3种; 1

(2)A, B1 颜色不同,则A处有2种,B处和C处共有3种,则共有
3×2=6(种). 由分类计数原理得上底面共9种,再由分步计数原理得共有

24×9=216(种).

例4:小明写了三封不同的信,到邮局 去寄时,发现有并排四只不同的邮筒, 那么他不同的投信方法有多少种?

课堂小结
两大原理:
1、分类加法计数原理: 针对的是“分类”问题.各类方法相互独立。

2、分步乘法计数原理:
针对的是“分步”问题。每步相互依存。

两种思想:
1、类比思想:由加法原理类比得到乘法原理 2、从特殊到一般思想:原理的推广

易错警示(作业)
【1】一件工作可以用2种方法完成,有5人会用第1种方法完成,另 有4人会用第2种方法完成.从中选出1人来完成这件工作,不同选法 的种数是———— 错解 2

错解分析 由于每个人都是不同的个体,所以该题中不同的选法 中实际是选人,而不是选方法来完成这项工作.
正解 9

【2】在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产 生,那么不同的夺冠情况共有种. 错解 把4个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,

故有

3 =24(种). A4

错解分析 错解是没有理解乘法原理的概念,盲目地套用公式.

正解 4项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠
军都有3种选取方法,由乘法原理共有3×3×3×3= 34 =81(种) .

说明: 本题还有这样的错解,甲、乙、丙夺冠均有4种情况,
由乘法原理得 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人 43

夺得后,其他人就不再有4种夺冠可能.

3. 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有 12张不同的中国联通手机卡.

(1)某人要从两个袋子中任取一张自己用的手机卡,共有多少种不
同的取法? (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后选

择使用,共有多少种不同的取法?
解析: (1)任取一张手机卡,可以从10张不同的中国移动卡 中任取一张,或从12张不同的中国联通卡中任取一张,每一类 办法都能完成这件事,故应用分类计数原理,有10+12=22(种) 取法. (2)从移动、联通卡中各取一张,则要分两步完成:从移动 卡中任取一张,再从联通卡中任取一张,故应用分步计数原理 ,有10×12=120(种)取法.

4. (2009· 辽宁模拟)给一个各边不等的凸五边形的各边
染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但 是不允许相邻的边有相同的颜色,则不同的染色方法共

有多少种?
解析: 如图,染五条边总体分五步,染每一边为一步. 当先染边1时有3种染法,则边2有2种染法. (1)当3与1同色时有1种染法,则4有2种,5有1种,此时染法总数为 3×2×1×2×1=12(种); (2)当3与1不同色时,3有1种,①当4与1同色时,4有1种,5有2种;②当4 与1不同色时,4有1种,5有1种,则此时有3×2×1×(1×2+1×1)=18(种). 综合(1)、(2)可得染法的种数为30种.


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