指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念

(2) .两个重要公式

?a ? n n ① a ?? ?a (a ? 0) | a | ? ? ? ?? a(a ? 0) ?

n 为奇数 n 为偶数 ;

② (n a ) n ? a (注意 a 必须使 n a 有意义) 。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂: a
m n
?

? n a m (a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1) ;
m n

②正数的负分数指数幂: a

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1)

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

1

图象

定义域 值域 性质

R (0,+ ? ) (1)过定点(0,1) (2)当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 (3)在(- ? ,+ ? )上是增函数 (2) 当 x>0 时,0<y<1; x<0 时, y>1 (3)在(- ? ,+ ? )上是减函数

注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx 的图象,如何确 定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系?

提示:在图中作直线 x=1 ,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果 a ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作 x ? loga N ,其中 a
x

叫做对数的底数, N 叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2、对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 ( a ? 0, 且a ? 1 ) : ① log a1 ? 0 , ②o g l (2)对数的重要公式:
a a

特点 底数为 a a ? 0, 且a ? 1 底数为 10 底数为 e

记法

loga N
lg N

ln N
g ol ③a 1? ,
a N

④o ?N, g l

aN a

?N。

2

①换底公式: logb N ?

log a N (a, b均为大于零且不等于1, N ? 0) ; log ab

② log a b ?

1 。 logb a

(3)对数的运算法则: 如果 a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0 那么 ① loga (MN ) ? loga M ? loga N ; ② log a

M ? log a M ? log a N ; N

③ loga M n ? n loga M (n ? R) ; ④ log a m b ?
n

n log a b 。 m

3、对数函数的图象与性质

a ?1
图 象

0 ? a ?1

性 质

(1)定义域: (0,+ ? ) (2)值域:R (3)当 x=1 时,y=0 即过定点(1,0) (4)当 0 ? x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为增函数 (4)当 x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为减函数

注:确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系 提示:作一直线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数
3

指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。 (三)幂函数 1、幂函数的定义 α 形如 y=x (a∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而 指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

注:在上图第一象限中如何确定 y=x ,y=x ,y=x, y ? x ,y=x-1 方法:可画出 x=x0;
3 2

1 2

当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x ,y=x , y=x, y ? x , y=x-1;
3 2

1 2

当 0<x0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x-1, y ? x 2 ,y=x, y=x2,y=x3 。 3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3
1 2

1

y?x

y=x-1

定义域 值域 奇偶性 单调性

R R 奇 增

R [0, ?? ) 偶 x∈ (??, 0] 时,减

R R 奇

[0, ?? ) [0, ?? ) 非奇非偶 增

?x | x ? R且x ? 0?
? y | y ? R且y ? 0?
奇 x∈(0,+ ? )时,减; x∈(- ? ,0)时,减

x∈[0,?? )时,增; 增

定点

(1,1)

4


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