期末复习_多元函数微分学_图文

期末复习 多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用

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一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 ? 判断极限不存在及求极限的方法 ? 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性 偏导数连续

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极限与连续 1. 多元函数的极限
P ? P0

lim f ( P) ? A

?ε ? 0 , ?δ ? 0 , 当0 ? PP0 ? δ 时, 有 f ( P) ? A ? ε

2. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续 有界定理 ; 最值定理 ;

P ? P0

lim f ( P) ? f ( P0 )

2) 有界闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
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可微
1. 定义:

?z ?

? o (?)

? ? (?x) 2 ? (?y ) 2

d z ? f x ( x, y )d x ? f y ( x, y )d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可偏导

偏导数连续
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方向导数和梯度
1. 方向导数

? 三元函数

在点

沿方向 l (方向角

为? , ? , ? ) 的方向导数为 ?f ?f ?f ?f ? cos ? ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y ?z
? 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为

? , ? )的方向导数为
?f ?f ?f ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y
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2. 梯度 ? 三元函数

在点

处的梯度为

?f ?f ?f ? ? grad f ? ? , , ? ? ?x ? y ?z ?
? 二元函数 3. 关系 在点 处的梯度为

grad f ? ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
? 可微 方向导数存在
0

偏导数存在

?f ? grad f ? l ? ?l

梯度在方向 l 上的投影.
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思考与练习
1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?

1 解法1 原式 ? lim ?0 1 1 x ?0 ? y x
y ?0

解法2 令 y ? k x ,

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分析: 解法1

? ?

1 ? lim 1 1 ? 0 x ?0 ? y x
y ?0
x 时, 1 x ?1 y

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步
未考虑分母变化的所有情况, 例如, y ? 此时极限为 1 . 解法2 令 y ? k x ,

?1 ? 1, x

此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y ? x ? x 时 极限不存在!
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2

? x2 y2 2 2 , x ?y ?0 ? 3 2. 证明: f ( x, y ) ? ?( x 2 ? y 2 ) 2 ? 2 2 0 , x ? y ?0 ? 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 提示: 利用 2x y ? x 2 ? y 2 , 知 1 1 2 2 2 f ( x, y ) ? ( x ? y ) 4 ? lim f ( x, y ) ? 0 ? f (0 , 0)
x ?0 y ?0

故f 在 (0,0) 连续;

又因 f ( x,0) ? f (0, y ) ? 0, 所以 f x (0,0) ? f y (0,0) ? 0
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?f

( 0, 0 )

?

(? x) 2 (? y ) 2 [ (? x) ? (? y ) ]
2 2 3 2

当 ? x ? 0, ? y ? 0 时,
?f
( 0, 0 )

(? x) 2 ? (? y ) 2

(? x) 2 (? y ) 2 ? 2 2 2 [ (? x) ? (? y ) ]

0
所以 f 在点(0,0)不可微 !

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二、多元函数微分法
1. 复合函数求导的链式法则 例如,
?v , ?x
?v ?y

u
x y v x y

2. 全微分形式不变性

不论 u , v 是自变量还是因变量,

d z ? f u (u , v) d u ? f v (u , v) d v
3. 隐函数求导
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有二阶连续偏导数, 且 ?u ? 2u u , . 求 ?x ?x?y x y z 1 ? u 解: ? ? f1? ? f 3? ? ( ) x? y ?x x t 1 ? 2u ?? ? f13 ? ?? ? ( ) ? f12 x y x? y ?x?y

例 3. 设

?? ? f 33 ? ? f 32 ? ? ? ? ? ? 1 2 ? ? f 3 ? 2 x cos t ? ? x ? ? x? y

2 x ? (2 x sin t ? cos t ) ? x? y ? ( x ? y ) ? cos t ?1? ? ? ( x ? y) 2
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三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量)

求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题
? 极值的必要条件与充分条件 ? 求条件极值的方法 (拉格朗日乘数法) ? 求解最值问题

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几何应用
x ? ? (t ) ? ? 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 ? : ? y ? ? (t ) ? ? z ? ? (t ) 切向量 T ? ( ? ?(t0 ) , ? ? (t0 ) , ? ? (t0 ))
切线方程 法平面方程 1. 空间曲线的切线与法平面

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? ? ?(t0 ) ? ? (t0 ) ? ? (t0 )

? ?(t0 )( x ? x0 ) ? ? ? (t0 ) ( y ? y0 ) ? ? ? (t0 )( z ? z0 ) ? 0
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F ( x, y , z ) ? 0 ? 2) 一般式情况. 空间光滑曲线 ? : ? ?G ( x, y, z ) ? 0 ?( F , G) ? ( F , G ) ? ( F , G ) ? ? 切向量 , , T ?? ? ? ( y , z ) ? ( z , x ) M ? ( x, y ) M ? M ?
切线方程

x ? x0 ?(F , G) ?( y, z )

M

y ? y0 ? ?(F , G) ?( z , x)

M

z ? z0 ? ?(F , G) ?( x , y)

M

?(F , G) 法平面方程 ?( y, z )

?(F , G) ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ?( z , x) M M ?(F , G) ( z ? z0 ) ? 0 ? ?( x , y) M
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2. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 . 空间光滑曲面
曲面 ? 在点 的法向量

n ? ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程

Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x ? x0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y ? y0 )
法线方程 x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
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? Fz ( x0 , y0 , z0 )( z ? z0 ) ? 0

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2) 显式情况. 空间光滑曲面 法向量 切平面方程

n ? (? f x , ? f y ,1)

z ? z0 ? f x ( x0 , y0 ) ( x ? x0 ) ? f y ( x0 , y0 ) ( y ? y0 )
法线方程

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) ?1

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练习题:
在曲面 平面 提示: 设所求点为 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 则法线方程为

y0
利用 得

x0

?1
法线垂直于平面 点在曲面上

y0 x0 ? 1 ? ? 1 3 1 z0 ? x0 y0

x0 ? ?3 , y0 ? ?1 , z0 ? 3
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极值与最值
1. 无条件极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z ? f ( x, y ) , 即解方程组

? f x ( x, y ) ? 0 ? f ( x, y ) ? 0 ? y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 条件极值问题
(1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z ? f ( x, y )在条件 ? ( x, y ) ? 0下的极值, 设拉格朗日函数 F ? f ( x, y ) ? ?? ( x, y )

解方程组
3. 最值问题

求驻点 .

第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)

第二步 判别
? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值
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例. 求旋转抛物面

与平面

之间的最短距离. 则P 解:设 为抛物面 z ? x 2 ? y 2 上任一点, 到平面 x ? y ? 2 z ? 2 ? 0 的距离为 问题归结为 目标函数: ( x ? y ? 2 z ? 2) 2 (min)

约束条件: x 2 ? y 2 ? z ? 0 作拉氏函数

F ( x, y, z ) ? ( x ? y ? 2 z ? 2) 2 ? ? ( z ? x 2 ? y 2 )
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F ( x, y, z ) ? ( x ? y ? 2 z ? 2) 2 ? ? ( z ? x 2 ? y 2 )

? ? 2( x ? y ? 2 z ? 2) ? 2? x ? 0 Fx



? ? 2( x ? y ? 2 z ? 2) ? 2? y ? 0 Fy

Fz? ? 2( x ? y ? 2 z ? 2)(?2) ? ? ? 0
z ? x2 ? y2

1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x ? , y ? , z ? . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故

?

7 4 6
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