高中数学第二章概率2.2.1条件概率课件新人教B版选修2_3_图文

2.2 条件概率与事件的独立性
-1-

2.2.1 条件概率
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课程目标
1.通过实例,了解条件概率的概念,能利用条件概率的 公式解决简单的问题. 2.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思 维方法.

学习脉络

条件概率

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思考 1 如何判断条件概率?
提示:题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在 A 发生的条件下” 等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.
思考 2P(B|A)与 P(A|B)的区别是什么?
提示:P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下,B 发生的概率.P(A|B)表示在 事件 B 发生的条件下,A 发生的概率.

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探究一

探究二

探究三

探究一 条件概率的计算
对于条件概率的计算问题,首先要判断是否是条件概率,若确定为条件 概率,则可采用下面两种方法进行计算:
(1)从古典概型角度看,事件有限定的前提条件,则各事件包含的基本事 件个数发生了变化,故首先要准确计算各事件包含的基本事件个数,然后得 出条件概率,即
P(B|A)=(()),n(AB)表示 AB 同时发生包含的基本事件的个数,同理 n(A) 表示事件 A 发生所包含的基本事件的个数.当然这个公式只是对于古典概 型而言,即组成事件 A 的各基本事件发生的概率相等(等可能事件).

(2)利用条件概率的定义,先分别求出 P(A)和 P(A∩B),再用

P(B|A)=((?))求解.

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探究一

探究二

探究三

【典型例题 1】 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回 地依次抽取 2 道题,求:
(1)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.

思路分析:根据分步乘法计数原理先计算出事件总数,然后计算出各种

情况下的事件数后即可求解.

解:设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理科题为事件 B,则第 1

次和第 2 次都抽到理科题为事件 A∩B.

(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题包含的基本事件数为A25=20.
根据分步乘法计数原理,事件 A 包含的基本事件数为A13 × A14=12.故 P(A)=1220 = 35.

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探究二

探究三

(2)因为事件 A∩B 包含的基本事件数为A23=6,

所以 P(A∩B)=260 = 130.

(3)方法 1:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科

题的概率为

P(B|A)=((?))

=

3 10 3

=

12.

5

方法 2:因为事件 A∩B 包含的基本事件数为 6,事件 A 包含的基本事件

数为 12,所以 P(B|A)=162 = 12.

探究一

探究二

探究三

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探究二 条件概率的应用
复杂的条件概率问题可以先分解为两个(或多个)较简单的互斥事件的 并,再求这些简单事件的概率,最后利用概率加法公式 P((B∪
C)|A)=P(B|A)+P(C|A)求得复杂事件的概率,但在拆分时要保证拆分的事件 之间互斥.

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探究二

探究三

【典型例题 2】 已知袋中有 6 个黑球,4 个白球,这些球除颜色外其他 均相同,从中依次取出 3 个球,不放回.若第一次取出的是白球,求第三次取出 黑球的概率.
思路分析:第三次取出黑球是在第一次取出白球的条件下发生的,属于

条件概率.

解:设 A={第一次取出的是白球},B={第三次取出的是黑球},则

P(B|A)=(()) =

140×39×68+140×69×

5 8

4

4

=

15 4

=

23.

10

10

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探究三 易错辨析
易错点:误认为 P(B|A)与 P(B)相同 【典型例题 3】 设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 0.7,活到 20 岁的概率为 0.3,现有一个 10 岁的这种动物,则它能活到 20 岁的概率是多 少?
错解:它能活到 20 岁的概率为 0.3.
错因分析:出现错误的原因是不明白题意,误认为动物活到 20 岁的概率

与 10 岁的动物活到 20 岁的概率相同. 正解:设该动物活到 10 岁的事件为 A,活到 20 岁的事件为 B,则

P(A)=0.7,P(B)=0.3.由于 A∩B=B,所以 P(A∩B)=P(B).

所以这个动物能活到

20

岁的概率为

P(B|A)=

() ()

=

0.3 0.7

=

37.

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1.已知 P(AB)=12,P(A)=35,则 P(B|A)等于(

)

A.56

B.1190

解析:P(B|A)=(())

=

2 3

=

56.

5

C.130

答案:A

D.110

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2.下列说法正确的是( ) A.P(A|B)=P(B|A) B.P(B|A)>1 C.P(A∩B)=P(A)·P(B|A)
D.P((A∩B)|A)=P(B)
解析:由 P(B|A)=((?))知,P(A∩B)=P(A)·P(B|A). 答案:C

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3.设 A,B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为130,在事件 A 发生的

条件下,事件 B 发生的概率为12,则事件 A 发生的概率为

.

解析:由题意知,P(A∩B)=130,P(B|A)=12.

由 P(B|A)=((?)),得 P(A)=((?|)) = 35. 答案:35

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4.6 位同学参加百米短跑初赛,赛场共有 6 个跑道,已知甲同学被排在第一跑

道,则乙同学被排在第二跑道的概率是

.

解析:甲同学排在第一跑道后,还剩 5 个跑道, 则乙排在第二跑道的概率为15. 答案:15

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5.某气象台统计,该地区下雨的概率为145,刮四级以上风的概率为125,既刮四 级以上的风又下雨的概率为110.设 A 为下雨,B 为刮四级以上的风,求 P(B|A). 解:由题意知 P(A)=145,P(A∩B)=110,

1

故 P(B|A)=((?))

=

10 4

=

38.

15

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