2010-2011学年广东省华南师大附中2011届高三数学培优练习(1)

2010-2011学年广东省华南师大附中2011届高三数 学培优练习(1)
一、选择题: 1、已知函数的图象过(1,0),则的反函数的图象一定过点( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(0,2) D.(2,0) 2、从P点引三条射线PA,PB,PC,每两条射线夹角为60°,则平面PAB 和平面PBC所成二面角正弦值为 ( ) A. B. C. D. 3、已知x,y满足不等式组的最小值为 ( ) A. B.2 C.3 D.

4、在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A0,B0,分别为侧棱 AA1,BB1上的点,且知BB0:B0B1=3:2,过A0,B0,C1 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2:1,则 AA0:A0A1= ( ) A.2:3 B.4:3 C.3:2 D.1:1 二、填空题:

5、 . 6、某气象站天气预报准确率是80%,5次预报中至少有4次准确的概率 是 (精确到0.01). 7、设a,b都是正实数,且2a+b=1,设则当a=______且b=_______时,T的 最大值为_______。 8、如图,矩形ABCD中,,AD=1,在DC上截取DE=1,将△ADE沿AE 翻折到

D′点,当D′在平面ABC上的射影落在AE上时,四棱锥D′—ABCE的体 积是________;当D′在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D′— AE—B的平面角的余弦值是_________。

三、解答题:(过程要完整、表述要规范) 9、(本小题满分12分) 是否存在常数c,使得不等式对任意正实数x、y恒成立?证明你的 结论. 10、(本小题满分12分) 甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6, 被甲或乙解出的概率为0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数的数学期望

和方差. 11、(本小题满分14分) 已知  (Ⅰ)若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和,求和      的解析式;  (Ⅱ)若和在区间上都是减函数,求a的取值范  (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,比较的大小. 12、(本小题满分12分) 已知定义域为[0,1]的函数f (x)同时满足: (1)对于任意x∈[0,1],总有f (x)≥0; (2)f (1) =1; (3)若,,,则有。 (Ⅰ)试求f(0)的值; (Ⅱ)试求函数f(x)的最大值; (Ⅲ)试证明:满足上述条件的函数f(x)对一切实数x,都有f(x)≤2x 。 13、(本小题满分16分) 在直角坐标平面内,已知两点A(-2,0)及B(2,0),动点Q到 点A的距离为6,线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。 (Ⅰ)证明|PA|+|PB|为常数,并写出点P的轨迹T的方程;

(Ⅱ)过点B的直线l与曲线T相交于M、N两点,线段MN的中点R 与点S(-1,0)的连线的纵截距为t,试求t 的取值范围。

14、(本小题满分14分) (文科)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一条经过点且方向 向量为 的直线l通过椭圆C的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,又 (1)求直线l的方程; (2)求椭圆C的方程. (理科)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一条经过点(3, -)且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点,交x轴于M点,又.

(1)求直线l方程; (2)求椭圆C长轴长取值的范围.

培优练习(1)答案 一、选择题:AABA 二、填空题:5. 6.0.74; 7.;;; 8.; 三、9、(本题满分12分) 解: 当时,由已知不等式得               ……3分 下面分两部分给出证明: ⑴先证, 此不等式 ,此式显然成立; ……7分 ⑵再证,   此不等式 ,此式显然成立. ……10分     综上可知,存在常数,是对任意的整数x、y,题中的不等式成 立.12分 10、(本题满分12分) 解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B. 设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2. (2分) 则P(A)=P1=0.6, P(B)=P2 0 1 2 0.48 P 0.08 0.44 11、(本题满分14分) 解:(Ⅰ)设 ①,其中是奇函数,是偶函数,    则有   ②     联立①,②可得     ,(直接给出这两个函数也给分)…3分 (Ⅱ)函数 当且仅当 ,即时才是减函数,     ∴

   又   ∴的递减区间是                ……5分    由已知得 ∴   解得    ∴取值范围是                      ……8分 (Ⅲ) 在上为增函数               ……10分 ∴ ∴ 即. ……14分 12、(本题满分12分) 解:(Ⅰ)令, 依条件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0),即f(0) ≤0。 又由条件(1)得f(0) ≥0,则f(0)=0…………………… 3分 (Ⅱ)任取,可知 则…………… 5分 即,故 于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1 因此,当x=1时,f(x)有最大值为1,………………… 7分 (Ⅲ)证明:研究①当时,f(x) ≤1<2x ②当时, 首先,f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x),∴………………9分 显然,当时, 成立。 假设当时,有成立,其中k=1,2,… 那么当时, 可知对于,总有,其中n=1,2,… 而对于任意,存在正整数n,使得, 此时………………… …11分 ③当x=0时,f(0)=0≤2x………… ……12分 综上可知,满足条件的函数f(x),对x∈[0,1],总有f(x) ≤2x成立。 13、(本题满分16分) 解:(Ⅰ)连结PB。∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P, ∴|PB|=|PQ|,又|AQ|=6, ∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6(常数)。 …2分

又|PA|+|PB|>|AB|,从而P点的轨迹T是中心在原点,以A、B为两个焦 点,长轴在x轴上的椭圆,其中,2a=6,2c=4, ∴椭圆方程为 …6分 (Ⅱ)当直线l与x轴垂直时,MN的中点为R(2,0) 直线RS的纵截距t =0 …7分 当直线l与x轴不垂直时,设其斜率为k, 点、、。 由,消去y整理得: …9分 ∴, 则 直线RS的方程为。 令x=0,可得直线RS的纵截距。 如果k=0,则t=0; 如果k≠0,则。 ∵ 当且仅当时,等号成立。 …14分 ∴或 综上可知,所求t的取值范围是。 …16分 14、(本题满分12分) (文)解:(1)直线l过点(3,-)且方向向量为 ……………………………………(4分) (2)设直线, 由……………………………………………………(7分) 将, 整理得 由韦达定理可知: (9分) ………………① ………………② 由①2/②知 ……………………………………(12分) 又因此所求椭圆方程为:…(14分) (理)解:(1)直线l过点(3,-)且方向向量为

化简为:…………(4分) (2)设直线 交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),和x轴交于M(1,0) 由………………………………………………(7分) 将 …………………………………………① 由韦达定理知: ………………② ………………③ 由②2/③ 知:32b2=(4b2+5a2)(a2-1) …………………………………………(10分) 化为………………………………………………④ 对方程①求判别式,且由△>0 即 化简为:………………………………………………⑤ 12分 由④式代入⑤可知:又椭圆的焦点在x轴上, 则由④知:

因此所求椭圆长轴长2a范围为(

14分


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