立体几何建系基础练习

立体几何 基础练习
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一、基础知识
两向量内积的定义:______________。 几何意义:__________________________________________________。 向量的坐标表示: 点 A,点 B 的坐标与向量 A B 坐标间的关系;点 A 坐标与向量 O A 坐标的关系;线段 AB 成比例分点 的向量形式。 向量的模长 向量的内积 空间坐标系中两点间距离公式:________________。 向量夹角公式:____________________。 特别地,两向量平行、垂直的判定方法:
??? ?

??? ?

二、用空间向量解决立体几何问题
应该建什么样的坐标系?建系的原则是什么?

如何确定点的坐标?

建立适当的空间直角坐标系之后,我们用点的坐标表示点,用直线的方向向量表示直线,用平面的法 向量表示平面,从而将点、直线、平面间的距离、角度等立体几何问题全部转化为向量的问题。

特别地,直线与平面、平面与平面的夹角问题可以完全转化为向量的夹角问题。
设两直线的方向向量为 e1 、 e 2 ,两平面的法向量为 n 1 、 n 2 。 两直线的夹角问题: 直线与平面的夹角问题:
?? ?? ? ?? ?? ?

平面与平面的夹角问题:

《立体几何 基础练习》第 1 页

点到平面的距离问题:
??? ? ? | AB ? n | ? 距离= |n|

(两个绝对值符号含义不同! )

建系方法最适合解决的问题: 线面角、二面角问题 建系方法的核心: 平面的法向量 如何求平面的法向量: 写出与平面平行的两向量(两向量不平行)的坐标,列方程组。

1、求△ABC 所在的平面的法向量,其中 A(-1,-1,0), B(1,1,1), C(3,4,3)。设点 D(-1,0,2),求线段 AD 与平面 所成夹角的正弦值,并求 D 到平面的距离。

一、基础练习
1、在正方体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中, E , F 分别是 B C , A ' D ' 的中点,求直线 AD 与平面 B ' E D F 所成角 的正弦值。

2、三棱锥 P-ABC,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D、E、F 分别是棱 AB、BC、CP 的中点,AB=AC=1, PA=2。求(1)PB 与 DF 所成的角的大小; (2)直线 PA 与平面 DEF 所成角的大小。

《立体几何 基础练习》第 2 页

3、在正方体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中,M、N 分别为 A’B’和 BB’的重点,求直线 AM 与 CN 所成的角。

4、在正方体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中,M、N 分别为 B’C’、AD 的中点,求直线 AD 与平面 BMD’N 所成 角的余弦值。

5、 (07 郑州)正三棱锥 P-ABC 中,M、N 分别是 PB、PC 的中点,若截面 AMN⊥侧面 PBC,则此棱锥侧 面与底面所成的角的余弦值是______。

6、正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 4,S 到底面的高为 6,点 P 是高的中点,点 Q 是侧面 SBC 的重心, 求: (1)异面直线 PQ 与 BS 所成角的余弦值; (2)直线 PQ 与底面 ABCD 所成角的余弦值。

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7、四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD。 (1)证明:AB⊥平面 VAD; (2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值。

《立体几何 基础练习》第 4 页


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