二项式定理复习课教案

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一 教学对象分析 学生已经在高二学习了《二项式定理》的全部内容,对这部分内容已经有了全面的了解。 在这个基础上,让学生在老师的指导下,对《二项式定理》进行全面的复习应用,巩固和加 深。在复习的过程中,渗透了《排列组合》等其它的内容,加强了知识点之间的联系,培养 学生综合运用知识的能力。 二 教学内容分析 1.本节内容包括以下几部分: (1)二项式展开式的特点。 (2)二项式定理的证明。 (3)二项式定理的应用。 2.本节内容不多,但运用了多种数学方法,对于培养学生的发散思维能力和逆向思维 能力等都有很大的帮助。 三 重点 二项式定理 难点 《二项式定理》的应用 四 教学过程 (一)复习《二项式定理》 (a+b)n=Cn0an+Cn2an-1+…+Cnn (1) 要学好该定理,应注意从以下几方面进行理解和应用 1. 展开式的特点 (1) 项数 n+1 项 (2) 系数 都是组合数,依次为 C 1 ,C 2 ,C n ,…,C n n n n n (3)指数的特点 1)a 的指数 由 n 0( 降幂)。 2 )b 的指数由 0 n(升幂) 。 3)a 和 b 的指数和为 n。 2。定理的证明方法:数学归纳法(运用了组合数的性质) (略,学生自己看书) 3.展开式(1)是一个恒等式,a,b 可取任意的复数,n 为任意的自然数。 例 1 求(1+2i)5 的展开式(学生先练,老师后讲) 解:因为 a=1,b=2i,n=5,由二项式定理,得
0 2 4 (1+2i)5=C 5 +C 1 2i+C 5 (2i)2+C 3 (2i)3+C 5 (2i)4+C 5 (2i)5 5 5 5

=1+10i-40-80i+80+32i =41-38i 评析:由这个恒等式 a,b 取值的任意性,我们可以令 a,b 分别取一些不同的值来解决 某些问题,这就是我们所说的“赋值法” 。 7 2 3 例 2 若(1+2x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,求 (1)展开式中各项系数和。 (2)a0+a2+a4+a6 的值。
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解: (1)利用赋值法,令 x=1,得 (1+2)7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 令 x=-1, (1-2)7=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1 (1)+(2) ,得 2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186 即 a0+a2+a4+a6=1093

(! ) (2)

练习 1: 3 +2x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,求(a0+a2)2-(a1+a3)2 的值。 ( (1999 年高考题) (学生先练,老师后讲) 解:令 x=1,得 a0+a1+a2+a3=( 3 +2)3 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3=( 3 -2)3 (1)×(2) ,得 (a0+a1+a2+a3) 0-a1+a2-a3)=(a0+a2)2-(a1-a3)2=( 3 +2)3( 3 -2)3=-1 (a 4.定理的逆向应用 例 3 f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,求 f-1(x) 解:因为 x5-5x4+10x3-10x2+5x-1=(x-1)5 所以 f(x)=(x-1)5+2,得 f-1(x)=(x-2)1/5+1
2 练习 2:设 a=2+i,求 A=1-C 1 a+C 12 a2-…+C 12 a12 12 12 2 解:A=1-C 1 a+C 12 a2-…+C 12 a12=(1-a)12=(1-2-i)12=(-1-i)12=(2i)12=-64 12 12

(1) (2)

K 例 4 求 1-90C 1 +…+(-1)k90C 10 +…+90C 10 除以 88 的余数。 10 10 K 0 解:1-90C 1 +…+(-1`)90C 10 +…+90C 10 =(1-90)10 =(88+1)10=C 10 8810+C 1 889+…+ 10 10 10 9 C 10 88+C 10 10

所以原式除以 88 的余数为 1 评析:定理的逆用是全面掌握好定理的一个必不可少的环节,利用逆向思维解题也是数 学思想的一个重要组成部分。 四 小结 1.本节主要复习了《二项式定理》的展开式的特点和证明方法。 2.复习了《二项式定理》在解题中的应用。 其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应用等。
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五.作业处理 1.教材部分相应的练习。 2.周练。 附:教学流程图 . 例1 例2 例3 例4 开 始 思考、练习 思考、练习 思考、 思考、练习 评析 评析 评析 评析 小结 小结 小结 小结

小结 作业. 结束

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