直线与方程知识点总结与题型

第三章:直线与方程的知识点
姓名
倾斜角与斜率
1. 当直线 l 与 x 轴相交时,我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾 斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 0?? ?? . 2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 k ? tan ? . 如果知道直线上 y ? y1 两点 P( x1 , y1 ), P( x2 , y2 ) ,则有斜率公式 k ? 2 . 特别地是,当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 x 轴 x2 ? x1 垂直,斜率 k 不存在;当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k=0. 注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与 y 轴平行或者重合. 当α=90°时, 斜率 k=0;当 0? ? ? ? 90? 时,斜率 k ? 0 ,随着α的增大,斜率 k 也增大;当 90? ? ? ? 180? 时,斜 率 k ? 0 ,随着α的增大,斜率 k 也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率 k 取值范围的一 些对应问题.

垂直的直线,可设所求方程为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 .
?C ?0 3. 已知直线 l1 , l2 的方程分别是: l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1 不同时为 0) , l2 : A 2 x? 2B y 2

班别

学号

( A2 , B2 不同时为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别: (1) l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ; (2) l1 // l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A2 B 1 ?0; (3) l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A 2B 1 ? 0 ; (4) l1 与 l 2 相交 ? A 1 B2 ? A2 B 1 ? 0. A1 B1 C1 A1 B1 C1 ? ? ? ? 如 果 A2 B2 C2 ? 0 时 , 则 l1 // l2 ? ; l1 与 l2 重 合 ? ; l1 与 l2 相 交 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A B ? 1 ? 1. A2 B2

两条直线的交点坐标 1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ?
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 . 若方程 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k 2 ,有: (1) l1 // l2 ? k1 ? k2 ; (2) l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2. 特例: 两条直线中一条斜率不存在时, 另一条斜率也不存在时, 则它们平行, 都垂直于 x 轴; ….

直线的点斜式方程
1. 点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) . 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y ? kx ? b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角 为 90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 . y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x0 , y0 ) ,后 4. 注意: x ? x0 者才是整条直线.

组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无 公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时 两条直线重合. 2. 方程 ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定 点就是 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点. 两点间的距离 2 2 1. 平面内两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间的距离为: | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) . 特别地,当 P 1, P 2 所在直线与 x 轴平行时, | PP 1, P 2 所在直线与 y 轴平 1 2 |?| x1 ? x2 | ;当 P 行时, | PP 1 2 |?| y1 ? y2 | ; 点到直线的距离及两平行线距离 1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

直线的两点式方程
1. 两点式:直线 l 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,其方程为
y ? y1 x ? x1 ? , y2 ? y1 x2 ? x1

2. 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 可 以 推 导 出 两 条 平 行 直 线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,
l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离公式 d ? P( x0 , y0 ) , 则 A 0 x? B0 ? y
| C1 ? C2 | A2 ? B 2

,推导过程为:在直线 l2 上任取一点
B0 y ? ? . 2 C 这 时 点 P( x0 , y0 ) 到 直 线

x y ? ?1. a b 3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. x ? x y ? y2 4. 线段 P1 P2 中点坐标公式 ( 1 2 , 1 ). 2 2
2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为

2

0 C ?, 即 A 0 x?
| Ax0 ? By0 ? C1 | A ?B
2 2

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ?

?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

直线的一般式方程
1. 一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为 A C A C 斜截式方程 y ? ? x ? ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距为 ? 的直线. B B B B 2. 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线, 可设所求方程为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; 与直线 Ax ? By ? C ? 0

1

一.选择题 1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. A. C. 3. A. 过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(



12、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 ) 13. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限,则( A. ab>0,bc>0 C. ab<0,bc>0 )



2x ? y ? 1 ? 0
x ? 2y ? 5 ? 0

B. D.

2x ? y ? 5 ? 0
x ? 2y ? 7 ? 0


B. ab>0,bc<0 D. ab<0,bc<0

14.(2005 北京文) “m= ( ) A.充分必要条件

已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为(

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

0

B.

?8

C.

2

D.

10


C.必要而不充分条件

4.(安徽高考)直线过点(-1,2) ,且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线的方程是( A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 )

15. 如果直线 l 经过两直线 2x - 3y + 1 = 0 和 3x - y - 2 = 0 的交点,且与直线 y = x 垂直, 则原点到直线 l 的距离是( A. 2 ) B. 1
2 C. 2 2

5.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,切 sin ? ? cos ? ? 0 则 a,b 满足 ( A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 6. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 ? 3
2

16. 原点关于 x - 2y + 1 = 0 的对称点的坐标为(
2? ?4 A. ? , - ? 5 5 ? ? ?4 2? C. ? , ? ?5 5? 二、填空题

)
? 2 4? B. ? - , ? ? 5 5? 4? ?2 D. ? , - ? 5 5 ? ?

D、 2
3

7.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( A 2 B 1
2



C 1

D

7 2

8. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2)

1.

点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________.

9. (上海文,15)已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则

2.已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线,则 a 的值为( ) 3.经过两直线 11x+3y-7=0 和 12x+y-19=0 的交点,且与 A(3,-2) , B(-1,6)等距离的直线的方程是 。 4.(全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为

k 得值是(
A. 1或3

) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 ) L3 L2 x L1
2

10、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 o D、K1﹤K3﹤K2

2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15
其中正确答案的序号是

② 30

③ 45

④ 60

⑤ 75

.(写出所有正确答案的序号)

三.解答题 1.已知两条直线 l1 : x ? 1 ? m? y ? 2 ? m, l2 : 2mx ? 4 y ? ?16 . (1)相交 (2)平行 (3)垂直

?

m 为何值时, l1与l2 :

一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a , b 满足( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 D. a ? b ? 0 )



2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0

D. x ? 2 y ? 7 ? 0 )

2.

求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直

3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A. 0 B. ? 8 C. 2 D. 10 4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 四象限 5.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( ) C. 90 ,不存在
0

线方程.

) C.第一、三、四象限 D.第二、三、

B.第一、二、四象限

3.求平行于直线 x ? y ? 2 ? 0, 且与它的距离为 2 2 的直线方程。

A. 450 ,1
2

B. 1350 , ?1
2

D.180 ,不存在 )

0

6.若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足( A. m ? 0 二、填空题 4.已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0 与 l2 : 2x + my - 1 = 0 互相平行,求 l1,l2 之间的距离为 5 时的直 线 l1 的方程. 1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. B. m ? ?

3 2

C. m ? 1

D. m ? 1 , m ? ?

3 ,m ? 0 2

2.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为__________;若 l 3 与 l1 关于 x 轴 对称,则 l 3 的方程为_________;若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方程为___________; 3.若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。

5.已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1) 求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线方程。

2 2 4.点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是________________.

5.直线 l 过原点且平分 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为 B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的 6.求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形,并且两截距之差为 3 的直线的方程。 方程为___ 三、解答题 1.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 , (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足 什么关系时与坐标轴都相交;3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是

3

x 轴; ( 5 )设 P x0 ,y0 为直线 Ax ? By ? C ? 0 上一点,证明:这条直线的方程可以写成

?

?

4. 8

x 2 ? y 2 可看成原点到直线上的点的距离的平方,垂直时最短: d ?
2 x 3
平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

?4 2

?2 2

A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 .

5. y ? 三、

解答题

2.求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线 方程。

1 解: (1)把原点 (0, 0) 代入 Ax ? By ? C ? 0 ,得 C ? 0 ; (2)此时斜率存在且不为零 即 A?0且B ?0; (3)此时斜率不存在,且不与 y 轴重合,即 B ? 0 且 C ? 0 ; (4) A ? C ? 0, 且B?0

3.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方 程。

(5)证明:

P ? x0,y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上 ? A? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 。

? Ax0 ? By0 ? C ? 0, C ? ? Ax0 ? By0

4.过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 .

19 ? x? ? ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 47 ? 13 2 解:由 ? ,得 ? ,再设 2 x ? y ? c ? 0 ,则 c ? ? 13 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? 9 ? 13 ?
为所求。 3 解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ;

2x ? y ?

47 ?0 13

一、选择题

1.D

a tan ? ? ?1, k ? ?1, ? ? ?1, a ? b, a ? b ? 0 b

2.A 设 2 x ? y ? c ? 0, 又 当截距不为 0 时,设 4.C

过点 P(?1,3) ,则 ?2 ? 3 ? c ? 0, c ? ?1 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 3.B

4?m k? ? ?2, m ? ?8 m?2
0

x y x y ? ? 1, 或 ? ? 1, 过 点 A(1, 2), a a a ?a

则 得 a ? 3 , 或 a ? ?1 , 即

a c a c y ? ? x ? , k ? ? ? 0, ? 0 b b b b

x ? y ?3 ? 0, 或 x ? y ?1 ? 0

这样的直线有 3 条:y ? 2 x ,x ? y ? 3 ? 0 , 或 x ? y ?1 ? 0 。

5.C

x ? 1 垂直于 x 轴, 倾斜角为 90 , 而斜率不存在 6.C
1 解:设直线为 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 (

2m2 ? m ? 3, m2 ? m 不能同时为 0
二、填空题 1.

4 ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) , k

3 2 2

d?

1 ? (? 1? ) 13 2 ? 2 2
k' ?

1 4 16 S ? ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? ? 25k ? 10 2 k k
2. l2 : y ? ?2 x ? 3, l3 : y ? ?2 x ? 3, l4 : x ? 2 y ? 3,

16 ?0 得 25k ? 30k ? 16 ? 0 ,或 25 k ?50 k ?
2 2

解得 k ?

3. 2 x ? y ? 5 ? 0

?1 ? 0 1 ? ? , k? 2 , y ? ? ( 1 ?) 2? 0 2

2 8 , 或 k ? ? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,或 5 5

2 ? x(

2)

8 x ? 5 y ? 20 ?0 为所求。

4


相关文档

直线与方程知识点总结和练习
直线与方程知识点总结
923高二直线与方程知识点及题型总结
直线与方程知识点总结与例题
必修2《直线与方程___知识点_总结》及习题
直线与方程 知识点 总结
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案_提高训练
直线与方程知识点自总结
第三章直线与方程知识点总结与题型
直线与方程知识点自总结2
电脑版