2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件:2.3.2 抛物线的简单几何性质_图文

2.3.2 抛物线的简单几何性质

[提出问题] 问题 1:抛物线有几个焦点?

提示:一个焦点.
问题 2:有人说“抛物线是双曲线的一支”,这句话对吗?

提示:不对.
问题 3:抛物线 y2=2px 有对称性吗?

提示:有,关于 x 轴对称.

[导入新知] 抛物线的简单几何性质
类型 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

图形

性 范 质 围

x≥0, ________ _______ y∈R

x≤0, ________ y∈R _______

x∈R, ________ y≥0 _______

x∈R, _______ y≤0 _______

类型

y2=2px (p>0)

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

对称轴
顶点 性 质 离心率 开口 方向

x轴 ______ O(0,0) ______

y轴 ______

_______ e=1
向右 _____ 向左 _____ 向上 _____ 向下 _____

[化解疑难] 1. 抛物线只有一条对称轴, 一个顶点, 一个焦点, 一条准线. 无 对称中心,无渐近线.标准方程只有一个参数,不同于椭圆、双曲 线. 2.p 的几何意义:焦点到准线的距离.它的大小,影响抛物 线开口大小.

抛物线方程及其几何性质
[例 1] 已知 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上不同的两点,O 为坐 标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F,求 直线 AB 的方程.
[解 ] 又 如图所示.设 A(x0,y0),由题意可知 B(x0,-y0), 的垂心,则 AF⊥OB,∴kAF· kOB=-1,

?p ? F?2,0?是△AOB ? ?

即 x0- 2 又

y0

? y0 ? ? p? 2 ?- ?=-1,∴y0=x0?x0- ?, 2? p· ? x0? ?

p 5p 2 y0=2px0,∴x0=2p+ = . 2 2

5p 因此直线 AB 的方程为 x= . 2

[类题通法] 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法, 先“定形”,再“定量”.但要注意充分运用抛物线定义,并结合图 形,必要时还要进行分类讨论.

[活学活用] 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与抛物线交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 若△OAB 的面积等于 4, 求此抛物线的标准方程.
解:由题意,可设抛物线方程为 y2=2px(p≠0),则 焦点
?p ? F?2,0?,直线 ? ?

p l:x= , 2

∴A,B

?p ? ?p ? 两点坐标分别为?2,p?,?2,-p?,∴|AB|=2|p|. ? ? ? ?

1p ∵△OAB 的面积为 4,∴ ·· 2|p|=4, 22 ∴p=± 2 2.∴抛物线方程为 y2=± 4 2x.

直线与抛物线的位置关系
[例 2] 若抛物线 y2=4x 与直线 y=x-4 相交于不同的两 点 A,B,求证:OA⊥OB.
2 ? ?y =4x, 证明:由? ? ?y=x-4,

消去 y,得 x2-12x+16=0.

∵直线 y=x-4 与抛物线相交于不同两点 A,B, ∴可设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=12,x1x2=16. ―→ ―→ ∵ OA · OB =x1x2+y1y2=x1x2+(x1-4)(x2-4) =x1x2+x1x2-4(x1+x2)+16=16+16-4×12+16=0, ―→ ―→ ∴ OA ⊥ OB ,即 OA⊥OB.

[类题通法] 将直线方程与抛物线方程联立, 转化为一元二次方程, 可通过直线 与抛物线的位置关系转化为对判别式 Δ 或者对向量数量积的限制条件, 利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解.

[活学活用] 过点(-3,2)的直线与抛物线 y2=4x 只有一个公共点, 求此直线 方程.

解:显然,直线斜率 k 存在, 设其方程为 y-2=k(x+3),
? ?y-2=k?x+3?, 由? 2 ? ?y =4x,

消去 x,整理得 ky2-4y+8+12k=0.① (1)当 k=0 时, 方程①化为-4y+8=0, 即 y=2, 此时过(-3,2) 的直线方程为 y=2,满足条件.

(2)当 k≠0 时,方程①应有两个相等实根.
? ?k≠0, 由? ? ?Δ=0, ? ?k≠0, 即? ? ?16-4k?8+12k?=0,

1 得 k= 或 k=-1. 3 1 所以直线方程为 y-2= (x+3)或 y-2=-(x+3), 3 即 x-3y+9=0 或 x+y+1=0. 故所求直线有三条,其方程分别为:y=2,x-3y+9=0,x+ y+1=0.

抛物线中的最值问题
[例 3] 在抛物线 y2=2x 上求一点 P, 使 P 到直线 x-y+3=0 的距离最短,并求出距离的最小值.
[解 ] 法一:设 P(x0,y0)是 y2=2x 上任一点,

则点 P 到直线 l 的距离 |x0-y0+3| d= = 2
2 y0 y0 ? 3 2

2

|?y0-1?2+5| = , 2 2

5 2 当 y0=1 时,dmin= , 4
?1 ? ∴P?2,1?. ? ?

法二:设与抛物线相切且与直线 x-y+3=0 平行的直线方 程为 x-y+m=0,
? ?x-y+m=0, 由? 2 ? ?y =2x,
2

得 y2-2y+2m=0,

1 ∵Δ=(-2) -4×2m=0,∴m= . 2 1 ∴平行直线的方程为 x-y+ =0, 2 此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离,则

1 3? ?1 ? 2 5 2 dmin= = ,此时点 P 的坐标为?2,1?. 4 ? ? 2

[类题通法] 解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观 察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意 从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解.总之,与 抛物线有关的最值问题主要有两种方法:(1)定义法;(2)函数法.

[活学活用] 点 P 在抛物线 2y2=x 上,点 Q 在圆(x-2)2+y2=1 上,求|PQ| 的最小值.
解:圆(x-2)2+y2=1 的圆心为 M(2,0), 设 P(2y2 1,y1),
2 2 4 2 则|PM|2=(2y2 1-2) +y1=4y1-7y1+4

? 7?2 15 15 2 =4?y1-8? + ≥ , 16 16 ? ?

15 ∴|PM|≥ , 4 15 ∴|PQ|min=|PM|min-1= -1. 4

4.探究抛物线中焦点弦问题

[典例] 已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦, 且 A(x1, y1),B(x2,y2),点 F 是抛物线的焦点.求证:
2 p (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4

(2)|AB|=x1+x2+p.

[证明] p x= . 2

?p ? ? p? (1)过焦点 F?2,0?的直线 AB 的方程为 y=k?x-2?或 ? ? ? ?

p 当直线 AB 的方程为 y=kx- 时, 2
? p? ? ?y=k?x- ?, 2? ? 由? 消去 x,得 ky2-2py-kp2=0. 2 ? ?y =2px,

∵AB 与抛物线有两个交点, ∴k≠0.由根与系数的关系得 y1y2=-p2.

2 又 y2 1=2px1,y2=2px2, 2 2 2 y2 y ? y y ? p 1 2 1 2 ∴x1x2= · = = . 2p 2p 4p2 4

p p2 当直线 AB 的方程为 x= 时,x1x2= ,y1=p,y2=-p, 2 4 ∴y1y2=-p2. (2)由抛物线的焦半径可知: p p |AF|=x1+ ,|BF|=x2+ , 2 2 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

[多维探究] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时,一是注 意将直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数 的关系解题;二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题 时注意整体代入思想的运用,简化运算.

π 1.若本例中,AB 是经过焦点且倾斜角为 的直线 l 被抛物 4 线所截得的弦,其弦长为 6,求抛物线方程.

p 解:直线 l 的方程可写为 y=x- . 2 因|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=6,∴x1+x2=6-p.① p ? ?y=x- , ? p ?2 2 由? 消去 y,得?x-2? =2px, ? ? 2 ? ?y =2px,
2 p 即 x2-3px+ =0.∴x1+x2=3p,代入①式, 4

3 得 3p=6-p,∴p= . 2 ∴抛物线的标准方程是 y2=3x.

1 1 2.在本例条件下,试求 + 的值. |AF| |BF|
解:设直线
? p? AB:y=k?x-2?或 ? ?

p x= . 2

y2=2px, ? ? ? p? ? 当直线 AB 的方程为 y=k?x-2?时,由? p? ? ? y=k?x-2?, ? ? ? ?
2 2 k p 2 2 2 消去 y,得 k x -p(k +2)x+ =0. 4

∵AB 与抛物线有两个交点,∴k≠0. p?k2+2? p2 ∴x1+x2= ,x1x2= . k2 4 p p 又|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,∴|AF|+|BF|=x1+x2+p. 2 2

? p?? p? |AF|· |BF|=?x1+2??x2+2? ? ?? ?

p p2 p p2 =x1x2+ (x1+x2)+ = (x1+x2)+ 2 4 2 2 p p = (x1+x2+p)= (|AF|+|BF|), 2 2 2 1 1 2 即|AF|+|BF|=p· |AF|· |BF|,∴ + = . |AF| |BF| p p p 当直线 AB 的方程为 x= 时,x1=x2= , 2 2 y1=p,y2=-p.∴|AF|=|BF|=p. 1 1 2 ∴ + = . |AF| |BF| p

3.在本例条件下,若 M 是 AB 的中点,过点 A,B,M 向抛物 线的准线 l 作垂线,垂足分别为 A1,B1,M1.试证: (1)以 AB 为直径的圆与准线 l 相切; (2)∠AM1B=90°; (3)∠A1FB1=90°.
证明:如图. 1 (1)∴|MM1|= (|AA1|+|BB1|) 2 1 1 = (|AF|+|BF|)= |AB|. 2 2 ∴以 AB 为直径的圆与准线 l 相切.

(2)由(1)知,以 AB 为直径的圆与准线 l 相切于点 M1, 则∠AM1B=90°. (3)如图: ∵|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|, ∴∠AA1F=∠AFA1,∠BB1F=∠BFB1. 又 AA1∥x 轴,BB1∥x 轴, ∴∠AA1F=∠A1FO,∠BB1F=∠B1FO. ∴∠AFA1=∠A1FO,∠BFB1=∠B1FO. ∴∠A1FO+∠B1FO=90°, 即∠A1FB1=90°.

[随堂即时演练]
1.设抛物线的焦点到顶点的距离为 3,则抛物线上的点到准线的距离 的取值范围是 A.(6,+∞) C.(3,+∞) B.[6,+∞) D.[3,+∞) ( )

解析:∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3, p ∴ =3,即 p=6. 2 p 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 , 2 ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞). 答案:D

2.直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐 标为 2,则 k 等于 A.2 或-1 C.2
? ?y=kx-2, 解析:由? 2 ? ?y =8x,

( B.-1 D.3

)

得 k2x2-(4k+8)x+4=0.

由 Δ=(4k+8)2-16k2>0,得 k>-1. 4k+8 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 =4, k 解得 k=2 或 k=-1(舍去). 答案:C

3. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 若 x1+x2=6,则|AB|=________.

解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 答案:8

4.线段 AB 是抛物线 y2=x 的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段 AB 的 1 中点 C 到直线 x+ =0 的距离为________. 2

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 7 由于|AB|=x1+x2+p=4,∴x1+x2=4- = , 2 2 1 1 x1+x2 1 7 ∴中点 C(x0, y0)到直线 x+ =0 的距离为 x0+ = + = + 2 2 2 2 4 1 9 = . 2 4 9 答案: 4

5.已知抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+m 所得弦长|AB|=3 5,求 m 的值.
2 ? ?y =4x, 解:由? ? ?y=2x+m,

得 4x2+4(m-1)x+m2=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2), m2 则由根与系数的关系得 x1+x2=1-m,x1· x2= , 4 ∴|AB|= = = 1+2
2

1+k2

?x1+x2?2-4x1x2
2

m2 ?1-m? -4· 4

5?1-2m?. 5,即 5?1-2m?=3 5,解得 m=-4.

由|AB|=3

课时跟踪检测见课时达标检测(十二)


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