2018高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入教师用书文

第四章?

? ?

平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节

平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 定义 既有大小又有方向的量; 向量的大小叫 做向量的长度(或称模) 长度为 0 的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共 线向量) 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 备注 平面向量是自由向量 记作 0 非零向量 a 的 单位向量为±

a
|a|

平行向量 相等向量 相反向量

0 与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0

2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律

(1)交换律: 三角形法 则 加法 求两个向量和的运算 平行四边 形法则 求 a 与 b 的相反向量-b 减法 的和的运算叫做 a 与 b 的 差 三角

a+b=b+ a;
(2)结合律: (a+b)+c =a+(b+

c) a-b=a+
(-b)

1

形法则

(1)|λ a|= |λ ||a|; (2)当 λ >0 时, λ a 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积 的运算 的方向与 a 的方向 相同;当 λ <0 时, λ a 的方向与 a 的方 向相反;当 λ =0 时,λ a=0 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使得 b=λ a. [小题体验] 1.下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a∥b,则 a=b C.若|a|=|b|,则 a∥b 答案:D 2.(教材习题改编)化简: ― → ― → ― → ― → (1)( AB + MB )+ BO + OM =________. ― → ― → ― → ― → (2) NQ + QP + MN - MP =________. ― → 答案:(1) AB (2)0 ) B.若|a|=|b|,则 a=b D.若 a=b,则|a|=|b|

λ (μ a)= (λ μ )a; (λ +μ )a =λ a+μ

a;
λ (a+b)= λ a+λ b

3. 已知 a 与 b 是两个不共线的向量, 且向量 a+λ b 与-(b-3a)共线, 则 λ =________. 1 答案:- 3

1. 在利用向量减法时, 易弄错两向量的顺序, 从而求得所求向量的相反向量, 导致错误. 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个. 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.

[小题纠偏] ― → ― → ― → 1.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________. ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2.

2

答案:2 2. 已知 a, b 是非零向量, 命题 p: a=b, 命题 q: |a+b|=|a|+|b|, 则 p 是 q 的________ 条件. 解析:若 a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即 p? q. 若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知 a 与 b 同向共线, 即 a=λ b,且 λ >0,故 q? / p. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要

考点一 平面向量的有关概念?基础送分型考点——自主练透? [题组练透] 1.设 a0 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|?a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.假命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同, 故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时

a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.
2.(易错题)给出下列命题: ①若 a=b,b=c,则 a=c; ― → ― → ②若 A, B, C, D 是不共线的四点, 则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ④若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是________. 解析:①正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ― → ― → ― → ― → ― → ― → ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,

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― → ― → ― → ― → ― → ― → 则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |,因此, AB = DC . ③不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a ∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. ④不正确.考虑 b=0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是①②. 答案:①② [谨记通法] 向量有关概念的 5 个关键点 (1)向量:方向、长度. (2)非零共线向量:方向相同或相反. (3)单位向量:长度是一个单位长度. (4)零向量:方向没有限制,长度是 0. (5)相等相量:方向相同且长度相等.如“题组练透”第 2 题易混淆有关概念. 考点二 向量的线性运算?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透] 1.(2017?武汉调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在 ― → ― → ― → ― → 平面内的任意一点,则 OA + OB + OC + OD 等于( ― → A. OM ― → C.3 OM ― → B.2 OM ― → D.4 OM )

― → ― → ― → 解析:选 D 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC,BD 的交点,所以 OA + OC =2 OM , ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → OB + OD =2 OM ,所以 OA + OB + OC + OD =4 OM . ― → ― → ― → 2. (2017?唐山统考)在等腰梯形 ABCD 中,AB =-2 CD , M 为 BC 的中点, 则 AM =( 1― → 1― → A. AB + AD 2 2 3― → 1― → C. AB + AD 4 4 3― → 1― → B. AB + AD 4 2 1― → 3― → D. AB + AD 2 4 )

― → ― → ― → ― → ― → 1 ― → 解析:选 B 因为 AB =-2 CD ,所以 AB =2 DC .又 M 是 BC 的中点,所以 AM = ( AB 2 → ― → 1 ― → ? 3― ― → 1 ― → ― → ― → 1?― → 1― → + AC )= ( AB + AD + DC )= ? AB + AD + AB ?= AB + AD . 2 2 2? 2 ? 4 1 2 ― → ― → ― → 3. 设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC. 若 DE =λ 1 AB +λ 2 AC 2 3
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(λ 1,λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为________. 1― ― → ― → ― → 1― → 2― → 1― → 2 ― → ― → → 2― → 解析: DE = DB + BE = AB + BC = AB + ( BA + AC )=- AB + AC ,所以 2 3 2 3 6 3 1 2 1 λ 1=- ,λ 2= ,即 λ 1+λ 2= . 6 3 2 1 答案: 2 [谨记通法] 1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况: 将它们转化到三角形或平行四边形中, 充分利用相等向量、 相反向量、 三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解. 2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较、观察可知所求. 考点三 共线向量定理的应用?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领] 设两个非零向量 a 与 b 不共线, ― → ― → ― → (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 同向. ― → ― → ― → 解:(1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3a-3b, ― → ― → ― → ― → ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ― → ― → ∴ AB , BD 共线,又∵它们有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 同向, ∴存在实数 λ (λ >0),使 ka+b=λ (a+kb), 即 ka+b=λ a+λ kb.∴(k-λ )a=(λ k-1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量,
? ?k-λ =0, ? ?λ k-1=0, ? ? ?k=1, 解得? ?λ =1 ? ? ?k=-1, 或? ?λ =-1, ?

又∵λ >0,∴k=1.

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[由题悟法] 共线向量定理的 3 个应用 (1)证明向量共线:对于向量 a,b,若存在实数 λ ,使 a=λ b,则 a 与 b 共线. ― → ― → (2)证明三点共线:若存在实数 λ ,使 AB =λ AC ,则 A,B,C 三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. [提醒] 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.

[即时应用] ― → 2― → ― → 如图, 在△ABC 中, D, F 分别是 BC, AC 的中点, AE = AD , AB 3 ― → =a, AC =b. ― → ― → ― → ― → ― → (1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线. 解:(1)延长 AD 到 G, ― → 1― → 使 AD = AG , 2 连接 BG,CG,得到?ABGC, ― → 所以 AG =a+b, ― → 1― → 1 AD = AG = (a+b), 2 2 ― → 2― → 1 AE = AD = (a+b), 3 3 ― → 1― → 1 AF = AC = b, 2 2 1 ― → ― → ― → 1 BE = AE - AB = (a+b)-a= (b-2a), 3 3 1 ― → ― → ― → 1 BF = AF - AB = b-a= (b-2a). 2 2 ― → 2― → (2)证明:由(1)可知 BE = BF , 3 ― → ― → 又因为 BE , BF 有公共点 B, 所以 B,E,F 三点共线.

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?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 ― → ― → ― → 1. 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, 若 AB + AD =λ AO , 则 λ =( A.1 C.4 B.2 D.6 )

― → ― → ― → ― → 解析:选 B 根据向量加法的运算法则可知, AB + AD = AC =2 AO ,故 λ =2. ― → ― → ― → ― → ― → 2.在△ABC 中, AD =2 DC , BA =a, BD =b, BC =c,则下列等式成立的是( A.c=2b-a 3 1 C.c= a- b 2 2 B.c=2a-b 3 1 D.c= b- a 2 2 )

― → ― → ― → ― → 解析:选 D 依题意得 BD - BA =2( BC - BD ), ― → 3― → 1― → 3 1 即 BC = BD - BA = b- a. 2 2 2 2 ― → ― → ― → 3.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是( A.矩形 C.梯形 ) B.平行四边形 D.以上都不对

― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析: 选 C 由已知, 得 AD = AB + BC + CD =-8a-2b=2(-4a-b)=2 BC , 故 AD ― → ― → ― → ∥ BC .又因为 AB 与 CD 不平行,所以四边形 ABCD 是梯形. ― → 1― → ― → 4. (2017?扬州模拟)在△ABC 中, N 是 AC 边上一点且 AN = NC , P 是 BN 上一点, 若 AP 2 ― → 2― → =m AB + AC ,则实数 m 的值是________. 9 ― → 1― → ― → 1― → 解析:如图,因为 AN = NC ,P 是 BN― →上一点.所以 AN = AC , 2 3 2 ― → ― → 2― → ― → 2― → AP =m AB + AC =m AB + AN ,因为 B,P,N 三点共线,所以 m+ = 9 3 3 1 1,则 m= . 3 1 答案: 3 ― → ― → ― → ― → 5.已知?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O,且 OA =a, OB =b,则 DC =________, BC =________.(用 a,b 表示) ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析:如图, DC = AB = OB - OA =b-a, BC = OC - OB =-

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― → ― → OA - OB =-a-b. 答案:b-a -a-b ?二保高考,全练题型做到高考达标 ― → ― → 1. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边的中点, 且 AB =a, AD ― → =b, 则 BE 等于( 1 A. b-a 2 1 C.- a+b 2 解析:选 C ) 1 B. a-b 2 1 D. b+a 2 1 1 ― → ― → ― → 1― → BE = BA + AD + DC =-a+b+ a=b- a,故选 C. 2 2 2

2.已知向量 a,b 不共线,且 c=λ a+b,d=a+(2λ -1)b,若 c 与 d 共线反向,则实 数 λ 的值为( A.1 1 C.1 或- 2 ) 1 B.- 2 1 D.-1 或- 2

解析:选 B 由于 c 与 d 共线反向,则存在实数 k 使 c=kd(k<0),于是 λ a+b=

k[a+?2λ -1?b].
整理得 λ a+b=ka+(2λ k-k)b.
? ?λ =k, 由于 a,b 不共线,所以有? ?2λ k-k=1, ?

1 2 整理得 2λ -λ -1=0,解得 λ =1 或 λ =- . 2 1 又因为 k<0,所以 λ <0,故 λ =- . 2 3.下列四个结论: ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ① AB + BC + CA =0;② AB + MB + BO + OM =0;③ AB - AC + BD - CD =0; ― → ― → ― → ― → ④ NQ + QP + MN - MP =0, 其中一定正确的结论个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析:选 C ① AB + BC + CA = AC + CA =0,①正确;② AB + MB + BO + OM =

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― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → AB + MO + OM = AB , ②错; ③ AB - AC + BD - CD = CB + BD + DC = CB + BC =0, ― → ― → ― → ― → ― → ― → ③正确;④ NQ + QP + MN - MP = NP + PN =0,④正确.故①③④正确. ― → ― → ― → ― → ― → 4.设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点,且 DC =2 BD , CE =2 EA , AF ― → ― → ― → ― → ― → =2 FB ,则 AD + BE + CF 与 BC ( A.反向平行 C.互相垂直 ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直

― → ― → ― → ― → 1― → 解析:选 A 由题意得 AD = AB + BD = AB + BC , 3 ― → ― → ― → ― → 1― → BE = BA + AE = BA + AC , 3 ― → ― → ― → ― → 1― → CF = CB + BF = CB + BA , 3 ― → ― → ― → ― → 1 ― → ― → ― → 因此 AD + BE + CF = CB + ( BC + AC - AB ) 3 1― ― → 2― → → = CB + BC =- BC , 3 3 ― → ― → ― → ― → 故 AD + BE + CF 与 BC 反向平行. ― → ― → ― → 5.设 O 在△ABC 的内部,D 为 AB 的中点,且 OA + OB +2 OC =0,则△ABC 的面积与△

AOC 的面积的比值为(
A.3 C.5

) B.4 D.6

解析:选 B ∵D 为 AB 的中点, ― → 1 ― → ― → 则 OD = ( OA + OB ), 2 ― → ― → ― → 又 OA + OB +2 OC =0, ― → ― → ∴ OD =- OC ,∴O 为 CD 的中点, 又∵D 为 AB 中点, 1 1 ∴S△AOC= S△ADC= S△ABC, 2 4 则

S△ABC =4. S△AOC

― → ― → ― → ― → ― → 6.在?ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN =________(用

a,b 表示).

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1 ― → ― → ― → 3― → 3 ― → ― → ― → ― → 3 解析:由 AN =3 NC ,得 AN = AC = (a+b), AM =a+ b,所以 MN = AN - AM = 4 4 2 4 1 1 ? 1 ? (a+b)-?a+ b?=- a+ b. 2 4 4 ? ? 1 1 答案:- a+ b 4 4 ― →2 ― → ― → ― → ― → 7. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC =16, | AB + AC |=| AB - AC |, ― → 则| AM |=________. ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析:由| AB + AC |=| AB - AC |可知, AB ⊥ AC , 则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线, ― → 1 ― → 因此,| AM |= | BC |=2. 2 答案:2 ― → ― → 8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出下列 1 1 1 ― → 1 ― → ― → ― → ― → ― → 命题:① AD = a-b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0. 2 2 2 2 其中正确命题的个数为________. 1 ― → ― → ― → 1― → ― → 解析: BC =a, CA =b, AD = CB + AC =- a-b,故①错; 2 2 1 ― → ― → 1― → BE = BC + CA =a+ b,故②正确; 2 2 1 1 ― → 1 ― → ― → 1 CF = ( CB + CA )= (-a+b)=- a+ b,故③正确; 2 2 2 2 1 1 1 1 ― → ― → ― → AD + BE + CF =-b- a+a+ b+ b- a=0,故④正确. 2 2 2 2 ∴正确命题为②③④. 答案:3 9.在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点, ― → ― → ― → ― → 且 GB=2GE,设 AB =a, AC =b,试用 a,b 表示 AD , AG . ― → 1 ― → ― → 1 1 解: AD = ( AB + AC )= a+ b. 2 2 2 ― → ― → ― → ― → 2― → ― → 1 ― → ― → AG = AB + BG = AB + BE = AB + ( BA + BC ) 3 3 2― → 1 ― → ― → = AB + ( AC - AB ) 3 3

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1― → 1― → = AB + AC 3 3 1 1 = a+ b. 3 3 ― → ― → ― → 10.设 e1,e2 是两个不共线的向量,已知 AB =2e1-8e2, CB =e1+3e2, CD =2e1-e2. (1)求证:A,B,D 三点共线; ― → (2)若 BF =3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值. ― → ― → ― → 解:(1)证明:由已知得 BD = CD - CB =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, ― → ∵ AB =2e1-8e2, ― → ― → ∴ AB =2 BD . ― → ― → 又∵ AB 与 BD 有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. ― → (2)由(1)可知 BD =e1-4e2, ― → ∵ BF =3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线, ― → ― → ∴ BF =λ BD (λ ∈R), 即 3e1-ke2=λ e1-4λ e2,
? ?λ =3, 得? ?-k=-4λ . ?

解得 k=12. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC=2,点 E 在线段 CD 上, ― → ― → ― → 若 AE = AD +μ AB ,则 μ 的取值范围是________. ― → ― → 解析:由题意可求得 AD=1,CD= 3,所以 AB =2 DC . ∵点 E 在线段 CD 上, ― → ― → ∴ DE =λ DC (0≤λ ≤1). ― → ― → ― → ∵ AE = AD + DE , ― → ― → ― → ― → ― → ― → 2μ ― → 又 AE = AD +μ AB = AD +2μ DC = AD + DE , λ ∴ 2μ λ =1,即 μ = .∵0≤λ ≤1, λ 2

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1 ∴0≤μ ≤ . 2

? 1? 即 μ 的取值范围是?0, ?. ? 2? ? 1? 答案:?0, ? ? 2?
― → ― → ― → 2.已知 O,A,B 是不共线的三点,且 OP =m OA +n OB (m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明:(1)若 m+n=1, ― → ― → ― → 则 OP =m OA +(1-m) OB ― → ― → ― → = OB +m( OA - OB ), ― → ― → ― → ― → ∴ OP - OB =m( OA - OB ), ― → ― → ― → ― → 即 BP =m BA ,∴ BP 与 BA 共线. ― → ― → 又∵ BP 与 BA 有公共点 B, ∴A,P,B 三点共线. (2)若 A,P,B 三点共线, ― → ― → 则存在实数 λ ,使 BP =λ BA , ― → ― → ― → ― → ∴ OP - OB =λ ( OA - OB ). ― → ― → ― → 又 OP =m OA +n OB . ― → ― → ― → ― → 故有 m OA +(n-1) OB =λ OA -λ OB , ― → ― → 即(m-λ ) OA +(n+λ -1) OB =0. ― → ― → ∵O,A,B 不共线,∴ OA , OB 不共线, ∴?
?m-λ =0, ? ?n+λ -1=0, ?

∴m+n=1.

第二节

平面向量的基本定理及坐标表示

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1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模: 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λ a=(λ x1,λ y1),|a|= x1+y1. (2)向量坐标的求法: ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ― → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1), ― → 2 2 | AB |= ?x2-x1? +?y2-y1? . 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a∥b?x1y2-x2y1=0.
2 2

[小题体验] 1.已知 a=(4,2),b=(-6,m),若 a∥b,则 m 的值为______. 答案:-3 2.(教材习题改编)已知 a=(2,1),b=(-3,4),则 3a+4b=________. 答案:(-6,19) 3.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示 为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析:由题意,设 e1+e2=m a+n b. 因为 a=e1+2e2,b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2. 2 m= , ? ? 3 所以? 1 n=- . ? ? 3
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由平面向量基本定理,得?

?m-n=1, ? ? ?2m+n=1,

2 1 答案: - 3 3

1. 向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、 终点的相对位置有关系. 两个相等的向量, 无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有 可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.

x1 y1 x2 y2

[小题纠偏] 1.设 e1,e2 是平面内一组基底,若 λ 1e1+λ 2e2=0,则 λ 1+λ 2=________. 答案:0 2.(2015?江苏高考)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈ R),则 m-n 的值为________. 解析:∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
? ?2m+n=9, ∴? ?m-2n=-8, ?

∴?

? ?m=2, ?n=5, ?

∴m-n=2-5=-3.

答案:-3

考点一 平面向量基本定理及其应用?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透] 1.如图,在三角形 ABC 中,BE 是边 AC 的中线,O 是 BE 边的中点, ― → ― → ― → 若 AB =a, AC =b,则 AO =( 1 1 A. a+ b 2 2 1 1 C. a+ b 4 2 解析:选 D ∵在三角形 ABC 中, ) 1 1 B. a+ b 2 3 1 1 D. a+ b 2 4

BE 是 AC 边上的中线,
― → 1― → ∴ AE = AC . 2 ∵O 是 BE 边的中点,
14

― → 1 ― → ― → 1― → 1― → 1 1 ∴ AO = ( AB + AE )= AB + AC = a+ b. 2 2 4 2 4 ― → ― → ― → 1― → ― → 1― → 2.(易错题)如图,以向量 OA =a, OB =b 为邻边作?OADB, BM = BC , CN = CD , 3 3 ― → ― → ― → 用 a,b 表示 OM , ON , MN .

― → ― → ― → 解:∵ BA = OA - OB =a-b, ― → 1― → 1 1 BM = BA = a- b, 6 6 6 ― → ― → ― → 1 5 ∴ OM = OB + BM = a+ b. 6 6 ― → ∵ OD =a+b, ― → ― → 1― → ∴ ON = OC + CD 3 1― → 1― → = OD + OD 2 6 2― → 2 2 = OD = a+ b, 3 3 3 1 5 1 1 ― → ― → ― → 2 2 ∴ MN = ON - OM = a+ b- a- b= a- b. 3 3 6 6 2 6 ― → 1 5 ― → 2 2 ― → 1 1 综上, OM = a+ b, ON = a+ b, MN = a- b. 6 6 3 3 2 6 [谨记通法] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底, 并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式, 再通过向量的运算 来解决. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面 几何的一些性质定理,如“题组练透”第 2 题.

考点二 平面向量的坐标运算?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透] 1.向量 a,b 满足 a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则 b 为( A.(-3,4) B.(3,4)
15

)

C.(3,-4)

D.(-3,-4)

解析: 选 A 由 a+b=(-1,5), a-b=(5, -3), 得 2b=(-1,5)-(5, -3)=(-6,8), 1 ∴b= (-6,8)=(-3,4),故选 A. 2 ― → 2.已知点 M(5,-6)和向量 a=(1,-2),若 MN =-3a,则点 N 的坐标为( A.(2,0) C.(6,2) 解析:选 A B.(-3,6) D.(-2,0) ― → MN =-3a=-3(1,-2)=(-3,6), )

― → 设 N(x,y),则 MN =(x-5,y+6)=(-3,6), 所以?
? ?x-5=-3, ?y+6=6, ?

即?

? ?x=2, ?y=0. ?

― → ― → ― → ― → 3.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB =a, BC =b, CA =c,且 CM =

3c, CN =-2b,
(1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; ― → (3)求 M,N 的坐标及向量 MN 的坐标. 解:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ?-6m+n=5, ∴? ?-3m+8n=-5, ?

― →

解得?

?m=-1, ? ?n=-1. ?

― → ― → ― → (3)设 O 为坐标原点,∵ CM = OM - OC =3c, ― → ― → ∴ OM =3c+ OC =(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). ― → ― → ― → 又∵ CN = ON - OC =-2b, ― → ― → ∴ ON =-2b+ OC =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ― → ∴N(9,2),∴ MN =(9,-18).

16

[谨记通法] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向 线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 考点三 平面向量共线的坐标表示?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领] 已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)当 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线; ― → ― → (2)若 AB =2a+3b, BC =a+mb,且 A,B,C 三点共线,求 m 的值. 解:(1)∵a=(1,0),b=(2,1), ∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),
∵ka-b 与 a+2b 共线, ∴2(k-2)-(-1)?5=0, 1 ∴k=- . 2 ― → (2) AB =2(1,0)+3(2,1)=(8,3), ― → BC =(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m). ∵A,B,C 三点共线, ― → ― → ∴ AB ∥ BC , ∴8m-3(2m+1)=0, 3 ∴m= . 2 [由题悟法] 向量共线的充要条件 (1)a∥b?a=λ b(b≠0); (2)a∥b?x1y2-x2y1=0(其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2)).当涉及向量或点的坐标问题时 一般利用(2)比较方便. [即时应用] ― → ― → ― → 1.已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(-k,10),且 A,B,C 三点共线,则 k 的值是( )
17

2 A.- 3 解析:选 A

4 B. 3

1 C. 2

1 D. 3

― → ― → ― → AB = OB - OA =(4-k,-7),

― → ― → ― → AC = OC - OA =(-2k,-2). ― → ― → ∵A,B,C 三点共线,∴ AB , AC 共线, ∴-2?(4-k)=-7?(-2k), 2 解得 k=- . 3 2.(2017?贵阳监测)已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)∥(m-n),则 λ =________. 解析:因为 m+n=(2λ +3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ + 3)?(-1)=3?(-1),解得 λ =0. 答案:0

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 ― → ― → ― → 1.在平行四边形 ABCD 中,AC 为对角线,若 AB =(2,4), AC =(1,3),则 BD =( A.(-2,-4) C.(3,5) B.(-3,-5) D.(2,4) )

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析:选 B 由题意得 BD = AD - AB = BC - AB =( AC - AB )- AB = AC -2 AB =(1,3)-2(2,4)=(-3,-5). 2.已知 A(-1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线,则 m 的值为( A.1 C.3 解析:选 A B.2 D.4 ― → AB =(m,m+2)-(-1,-1)=(m+1,m+3), )

― → AC =(2,5)-(-1,-1)=(3,6), ― → ― → ∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ AC , ∴3(m+3)-6(m+1)=0, ∴m=1.故选 A. ― → ― → ― → 3. 如图, 在△OAB 中, P 为线段 AB 上的一点, OP =x OA +y OB ,

18

― → ― → 且 BP =2 PA ,则( 2 1 A.x= ,y= 3 3 1 2 B.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4 3 1 D.x= ,y= 4 4

)

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 2― → ― → 解析:选 A 由题意知 OP = OB + BP ,又 BP =2 PA ,所以 OP = OB + BA = OB + 3 2 ― 2 1 → ― → 2― → 1― → ( OA - OB )= OA + OB ,所以 x= ,y= . 3 3 3 3 3

?1 ? 4.已知向量 a=(1-sin θ ,1),b=? ,1+sin θ ?,若 a∥b,则锐角 θ =________. ?2 ?
1 1 2 解析:因为 a∥b,所以(1-sin θ )?(1+sin θ )-1? =0,得 cos θ = ,所以 cos 2 2 θ =± 2 π ,又∵θ 为锐角,∴θ = . 2 4

π 答案: 4 ― → ― → ― → ― → 5.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP =2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA =(4,3), PQ ― → =(1,5),则 BC =________. ― → ― → ― → 解析: AQ ― →= PQ - PA =(-3,2), ― → ― → ∴ AC =2 AQ =(-6,4). ― → ― → ― → PC = PA + AC =(-2,7), ― → ― → ∴ BC =3 PC =(-6,21). 答案:(-6,21) ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.已知向量 a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若 3a-2b+c=0,则 c=( A.(-23,-12) C.(7,0) B.(23,12) D.(-7,0) 解得 )

? ?23+x=0, 解析: 选 A 由题意可得 3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以? ?12+y=0, ?

19

?x=-23, ? ? ?y=-12, ?

所以 c=(-23,-12). )

2.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

? ?k=λ , 解析:选 D 由题意可得 c 与 d 共线,则存在实数 λ ,使得 c=λ d,即? ?1=-λ , ?



得 k=-1.c=-a+b=-(a-b)=-d,故 c 与 d 反向. 1 3.在平面直角坐标系中,已知向量 a=(1,2),a- b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥ 2

c,则 x=(
A.-2 C.-3

) B.-4 D.-1

1 解析:选 D ∵a- b=(3,1), 2 1 ∴a-(3,1)= b,则 b=(-4,2).∴2a+b=(-2,6). 2 又(2a+b)∥c,∴-6=6x,x=-1.故选 D. ― → ― → ― → 4.已知点 A(2,3),B(4,5),C(7,10),若 AP = AB +λ AC (λ ∈R),且点 P 在直线 x -2y=0 上,则 λ 的值为( 2 A. 3 3 C. 2 ) 2 B.- 3 3 D.- 2

― → ― → ― → 解析:选 B 设 P(x,y),则由 AP = AB +λ AC ,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ (5,7) =(2+5λ ,2+7λ ),∴x=5λ +4,y=7λ +5. 2 又点 P 在直线 x-2y=0 上,故 5λ +4-2(7λ +5)=0,解得 λ =- .故选 B. 3 5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD ― → ― → ― → 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF =( 1 1 A. a+ b 4 2 2 1 C. a+ b 3 3 ) 1 1 B. a+ b 2 4 1 2 D. a+ b 3 3

― → ― → 解析:选 C 如图,∵ AC =a, BD =b,
20

― → ― → ― → 1― → 1― → 1 1 ∴ AD = AO + OD = AC + BD = a+ b. 2 2 2 2 ∵E 是 OD 的中点, ∴ |DE| 1 = , |EB| 3 → ??=1― ?? 6 AC ??

1 ― → 1― → 1 ― → ― → 1 ? 1 ? 1 → →-?- AC― ∴|DF|= |AB|.∴ DF = AB = ( OB - OA )= ??- BD― 3 3 3 3 ? 2 ? 2 1― → 1 1 - BD = a- b, 6 6 6 1 1 2 1 ― → ― → ― → 1 1 ∴ AF = AD + DF = a+ b+ a- b= a+ b,故选 C. 2 2 6 6 3 3

6.已知向量 a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量 c 与向量 ka+b 共线,则实数 k =________. 解析:ka+b=k(1,3)+(-2,1)=(k-2,3k+1),因为向量 c 与向量 ka+b 共线,所以 2(k-2)-3(3k+1)=0,解得 k=-1. 答案:-1 ― → ― → ― → 7.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点 能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. ― → ― → 解析:若点 A,B,C 能构成三角形,则向量 AB , AC 不共线. ― → ― → ― → ∵ AB = OB - OA =(2,-1)-(1,-3)=(1,2), ― → ― → ― → AC = OC - OA =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1), ∴1?(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1 λ 8.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R),则 = μ ________.

解析: 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长 为 1),

21

则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1), ― → ― → ― → ∴a= AO =(-1,1),b= OB =(6,2),c= BC =(-1,-3). ∵c=λ a+μ b, ∴(-1,-3)=λ (-1,1)+μ (6,2), 即-λ +6μ =-1,λ +2μ =-3, 1 λ 解得 λ =-2,μ =- ,∴ =4. 2 μ 答案:4 9.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k. 解:(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 m= , ? ? 9 解得? 8 n= . ? ? 9

?-m+4n=3, ? 所以? ?2m+n=2, ?

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 16 由题意得 2?(3+4k)-(-5)?(2+k)=0,解得 k=- . 13 1 10.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD= BC,E,F 分别为线段 AD 与 BC 的中点.设 3 ― → ― → ― → ― → ― → BA =a, BC =b,试用 a,b 为基底表示向量 EF , DF , CD . 1 1 1 ― → ― → ― → ― → 解: EF = EA + AB + BF =- b-a+ b= b-a, 6 2 3 1 ?1 ― → ― → ― → ? 1 DF = DE + EF =- b+? b-a?= b-a, 6 ?3 ? 6 1 ?1 2 ― → ― → ― → ? CD = CF + FD =- b-? b-a?=a- b. 2 ?6 3 ?

22

?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.如图,G 是△OAB 的重心,P,Q 分别是边 OA,OB 上的动点,且

P,G,Q 三点共线.设 OP =x OA , OQ =y OB ,则 + =________. x y
― → ― → 解析:∵点 P,G,Q 在一条直线上,∴ PG =λ PQ . ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ∴ OG = OP + PG = OP +λ PQ = OP +λ ( OQ - OP ) ― → ― → =(1-λ ) OP +λ OQ ― → ― → =(1-λ )x OA +λ y OB ,① 又∵G 是△OAB 的重心, ― → 2― → 2 1 ― → ― → ∴ OG = OM = ? ( OA + OB ) 3 3 2 1― → 1― → = OA + OB .② 3 3 1 ?1-λ ?x= , ? ? 3 ― → ― → 而 OA , OB 不共线,∴由①②,得? 1 λ y= . ? ? 3 1 ? ?x=3-3λ , 解得? 1 ? ?y=3λ . 答案:3 2.已知三点 A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中 a>0,b>0. (1)若 O 是坐标原点,且四边形 OACB 是平行四边形,试求 a,b 的值; (2)若 A,B,C 三点共线,试求 a+b 的最小值. 解:(1)因为四边形 OACB 是平行四边形, ― → ― → 所以 OA = BC ,即(a,0)=(2,2-b),
? ?a=2, ? ?2-b=0, ?

― →

― → ― →

― →

1 1

1 1 ∴ + =3.

x y

解得?

? ?a=2, ?b=2. ?

故 a=2,b=2. ― → ― → (2)因为 AB =(-a,b), BC =(2,2-b), ― → ― → 由 A,B,C 三点共线,得 AB ∥ BC , 所以-a(2-b)-2b=0,即 2(a+b)=ab,
23

因为 a>0,b>0, 所以 2(a+b)=ab≤?
2

?a+b?2, ? ? 2 ?

即(a+b) -8(a+b)≥0, 解得 a+b≥8 或 a+b≤0. 因为 a>0,b>0, 所以 a+b≥8,即 a+b 的最小值是 8. 当且仅当 a=b=4 时,“=”成立.

第三节

平面向量的数量积与平面向量应用举例

1.向量的夹角 定义 已知两个非零向量 a ― → ― → 和 b, 作 OA =a, OB =b,则∠AOB 就是 a 与 b 的夹角 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a,b 的夹角为 θ ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量 积,记作 a?b |a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影, |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积 设 θ 是 a 与 b 的夹 角, 则 θ 的取值范围 是 0°≤θ ≤180° θ =0°或 θ =180° ?a∥b, θ =90°?a ⊥b 图示 范围 共线与垂直

投影 几何 意义

3.向量数量积的运算律 (1)a?b=b?a. (2)(λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b).
24

(3)(a+b)?c=a?c+b?c. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ . 结论 模 夹角 几何表示 |a|= a?a cos θ = 坐标表示 |a|= x1+y1 cos θ =
2 2

a?b |a||b|

x1x2+y1y2 2 2 2 x +y1 ? x2+y2
2 1

a⊥b 的充要条件
|a?b|与|a||b|的关系

a?b=0
|a?b|≤|a||b|

x1x2+y1y2=0
|x1x2+
2 2 2 y1y2|≤ ?x2 1+y1??x2+y2?

[小题体验] 1.已知|a|=2,|b|=6,a?b=-6 3,则 a 与 b 的夹角 θ 为( π A. 6 答案:D 2.已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,则 a?b=_____. 答案:-10 3.(2016?山东高考)已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为________. 解析:∵a=(1,-1),b=(6,-4), ∴ta+b=(t+6,-t-4). 又 a⊥(ta+b),则 a?(ta+b)=0, 即 t+6+t+4=0,解得 t=-5. 答案:-5 π B. 3 C. 2π 3 5π D. 6 )

1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a?b=a?c(a≠0)不能得出 b=c,两边不 能约去一个向量. 2. 两个向量的夹角为锐角, 则有 a?b>0, 反之不成立; 两个向量夹角为钝角, 则有 a?b<0, 反之不成立. 3.a?b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a?b=0 时,有可能 a⊥b. 4.在用|a|= a 求向量的模时,一定要把求出的 a 再进行开方.
2 2

[小题纠偏]
25

1.给出下列说法: ①向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量; ②若 a?b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角,若 a?b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角; ③(a?b)c=a(b?c); ④若 a?b=0,则 a=0 或 b=0. 其中正确的说法有________个. 答案:0 2. (2016?北京高考)已知向量 a=(1, 3), b=( 3, 1), 则 a 与 b 夹角的大小为________. 解析:由题意得|a|= 1+3=2,|b|= 3+1=2,

a?b=1? 3+ 3?1=2 3.
2 3 3 设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ = = . 2?2 2 π ∵θ ∈[0,π ],∴θ = . 6 π 答案: 6

考点一 平面向量的数量积的运算?基础送分型考点——自主练透? [题组练透] 1.(易错题)设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)?c=( A.(-15,12) C.-3 B.0 D.-11 )

解析:选 C ∵a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), ∴(a+2b)?c=(-5,6)?(3,2)=-3. ― → ― → ― → 2.已知 AB =(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),则向量 AB 在 CD 方向上的投影为( 3 2 A.- 2 3 2 C. 2 B.-3 5 )

D.3 5

― → ― → ― → 解析: 选 C 因为点 C(-1,0), D(4,5), 所以 CD =(5,5), 又 AB =(2,1), 所以向量 AB ― → 在 CD 方向上的投影为 ― → ― → AB ? CD 15 3 2 ― → ― → ― → | AB |cos〈 AB , CD 〉= = = . ― → 2 5 2 | CD |
26

3.已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a?b=________. 解析:因为 a=(-2,-6), 所以|a|= ?-2? +?-6? =2 10, 又|b|= 10,向量 a 与 b 的夹角为 60°, 所以 a?b=|a|?|b|?cos 答案:10 4.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AC=2,D 为 BC 的中点, ― → ― → 则 AB ? AD =________. 1 60°=2 10? 10? =10. 2
2 2

解析:法一:由题意知,AC=BC=2,AB=2 2, ― → ― → ― → ― → ― → ∴ AB ? AD = AB ?( AC + CD ) ― → ― → ― → ― → = AB ? AC + AB ? CD ― → ― → ― → ― → =| AB |?| AC |cos 45°+| AB |?| CD |cos 45° =2 2?2? 2 2 +2 2?1? =6. 2 2

法二:建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意得 A(0,2),B(-2,0),

D(-1,0),
― → ∴ AB =(-2,0)-(0,2)=(-2,-2), ― → AD =(-1,0)-(0,2)=(-1,-2), ― → ― → ∴ AB ? AD =-2?(-1)+(-2)?(-2)=6. 答案:6 [谨记通法] 向量数量积的 2 种运算方法 方法 运用提示 当已知向量的模和夹角 θ 时,可 定义法 利 用 定 义 法 求 解 , 即 a?b = |a|?|b|cos θ 坐标法 当已知向量的坐标时,可利用坐标 适用题型 适用于平面图形中的向量数量积 的有关计算问题 适用于已知相应向量的坐标求解

法求解, 即若 a=(x1, y1), b=(x2, 数量积的有关计算问题,如“题组

27

y2),则 a?b=x1x2+y1y2

练透”第 1 题易错

考点二 平面向量数量积的性质?题点多变型考点——多角探明? [锁定考向] 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中, 属中档题. 常见的命题角度有: (1)平面向量的模; (2)平面向量的夹角; (3)平面向量的垂直. [题点全练] 角度一:平面向量的模 1 1. 已知 e1, e2 是单位向量, 且 e1?e2= . 若向量 b 满足 b?e1=b?e2=1, 则|b|=________. 2 1 解析:∵e1?e2= , 2 1 ∴|e1||e2|cos?e1,e2?= ,∴?e1,e2?=60°. 2 又∵b?e1=b?e2=1>0,∴?b,e1?=?b,e2?=30°. 由 b?e1=1,得|b||e1|cos 30°=1,∴|b|= 1 2 2 3 答案: 3 2 3 = . 3 3

角度二:平面向量的夹角 2.(2017?山西四校联考)已知|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),则向量 a 与向量 b 的 夹角为( π A. 6 π C. 3 ) π B. 4 2π D. 3
2

解析: 选 B ∵a⊥(a-b), ∴a?(a-b)=a -a?b=1- 2cos?a, b?=0,∴cos?a,
28

b?=

2 π ,∴?a,b?= . 2 4

― → ― → 3.(2017?江西八校联考)在△ABC 中, AB =( 2, 3), AC =(1, 2),则△ABC 的 面积为________. ― → ― → 2 ― → ― → ― → ― → 2 ― → 解析:由题意得,(| AB |? | AC |) =(| AB |?| AC |?cos〈 AB , AC 〉) +(| AB ― → ― → ― → 2 |?| AC |?sin〈 AB , AC 〉) , ― → ― → 2 ― → ― → 2 ― → ― → ― → ― → 2 即(| AB |?| AC |) =( AB ? AC ) +(| AB |?| AC |?sin〈 AB , AC 〉) , ― → ― → ― → ― → ∴| AB |?| AC |?sin〈 AB , AC 〉=2- 3, 1 ― 3 → ― → ― → ― → ∴S△ABC= | AB |?| AC |?sin〈 AB , AC 〉=1- . 2 2 答案:1- 3 2

角度三:平面向量的垂直 1 4.(2016?山东高考)已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos〈m,n〉= ,若 n⊥(t m 3 +n),则实数 t 的值为( A.4 9 C. 4 ) B.-4 9 D.- 4

解析:选 B ∵n⊥(t m+n),∴n?(t m+n)=0, 即 t m?n+|n| =0, ∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n| =0. 3 1 2 2 又 4|m|=3|n|,∴t? |n| ? +|n| =0, 4 3 解得 t=-4.故选 B. [通法在握] 平面向量数量积求解问题的策略
2 2

a?b (1)求两向量的夹角:cos θ = ,要注意 θ ∈[0,π ]. |a|?|b|
(2)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a =a?a=|a| 或|a|= a?a. ②|a±b|= ?a±b? = a ±2a?b+b . ③若 a=(x,y),则|a|= x +y .
29
2 2 2 2 2 2 2

(3)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b?a?b=0?|a-b|=|a+

b|.

[演练冲关] 1.(2017?合肥质检)已知不共线的两个向量 a,b 满足|a-b|=2 且 a⊥(a-2b),则|b| =( ) A. 2 C.2 2 B.2 D.4
2 2

解析: 选 B 由 a⊥(a-2b)得, a?(a-2b)=|a| -2a?b=0, 则|a-b|= ?a-b? = |a| -2a?b+|b| =|b|=2,故选 B. 1 2.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α ,且 cos α = ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的 3 夹角为 β ,则 cos β =________. 1 解析:a?b=(3e1-2e2)?(3e1-e2)=9+2-9?1?1? =8. 3 1 2 2 ∵|a| =(3e1-2e2) =9+4-12?1?1? =9, 3 ∴|a|=3. 1 2 2 ∵|b| =(3e1-e2) =9+1-6?1?1? =8, 3 ∴|b|=2 2,
2 2

a?b 8 2 2 ∴cos β = = = . |a|?|b| 3?2 2 3
2 2 答案: 3 ― → ― → ― → ― → ― → 3. 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120°, 且| AB |=3, | AC |=2. 若 AP =λ ― → ― → 且 AP ⊥ BC ,则实数 λ 的值为________. ― → ― → ― → ― → ― → 解析: BC = AC - AB ,由于 AP ⊥ BC , ― → ― → 所以 AP ? BC =0, ― → ― → ― → ― → 即(λ AB + AC )?( AC - AB ) ― →2 ― →2 ― → ― → =-λ AB + AC +(λ -1) AB ? AC ― → ― → AB + AC ,

? 1? =-9λ +4+(λ -1)?3?2??- ? ? 2?
30

7 =0,解得 λ = . 12 答案: 7 12

考点三 平面向量与三角函数的综合?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领] 已知函数 f(x)=a?b,其中 a=(2cos x,- 3sin 2x),b=(cos x,1),x∈R. (1)求函数 y=f(x)的单调递减区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7,且向量 m= (3,sin B)与 n=(2,sin C)共线,求边长 b 和 c 的值. π? ? 2 解:(1)f(x)=a?b=2cos x- 3sin 2x=1+cos 2x- 3sin 2x=1+2cos?2x+ ?, 3? ? π 令 2kπ ≤2x+ ≤2kπ +π (k∈Z), 3 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 6 3 π π? ? 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ? π? ? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+ ?=-1, 3? ? π? ? ∴cos?2A+ ?=-1. 3? ? 又 π π 7π <2A+ < , 3 3 3

π π ∴2A+ =π ,即 A= . 3 3 ∵a= 7, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=(b+c) -3bc=7.① ∵向量 m=(3,sin B)与 n=(2,sin C)共线, 所以 2sin B=3sin C.由正弦定理得 2b=3c,② 由①②,可得 b=3,c=2. [由题悟法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立 等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标, 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式, 解题
31
2 2 2 2

思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求值域等. [即时应用] (2017?临沂模拟)已知向量 m=(sin α -2,-cos α ),n=(-sin α ,cos α ),其 中 α ∈R. (1)若 m⊥n,求角 α ; (2)若|m-n|= 2,求 cos 2α 的值. 解:(1)若 m⊥n,则 m?n=0, 即为-sin α (sin α -2)-cos α =0, 1 π 5π 即 sin α = ,可得 α =2kπ + 或 α =2kπ + ,k∈Z. 2 6 6 (2)若|m-n|= 2,即有(m-n) =2, 即(2sin α -2) +(2cos α ) =2, 即为 4sin α +4-8sin α +4cos α =2, 3 即有 8-8sin α =2,可得 sin α = , 4 9 1 2 即有 cos 2α =1-2sin α =1-2? =- . 16 8
2 2 2 2 2 2

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.设 x∈R,向量 a=(1,x),b=(2,-4),且 a∥b,则 a?b=( A.-6 C. 5 B. 10 D.10 )

解析:选 D ∵a=(1,x),b=(2,-4)且 a∥b, ∴-4-2x=0,x=-2,∴a=(1,-2),a?b=10,故选 D. 2π 2.(2017?河南八市重点高中质检)已知平面向量 a,b 的夹角为 ,且 a?(a-b)=8, 3 |a|=2,则|b|等于( A. 3 C.3 ) B.2 3 D.4
2

解析:选 D 因为 a?(a-b)=8,所以 a?a-a?b=8,即|a| -|a||b|cos?a,b?= 1 8,所以 4+2|b|? =8,解得|b|=4. 2 3.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)?(a-3b)=-18,则 a 与 b 的夹角为( )

32

A.30° C.120°

B.60° D.150°

解析:选 B (a+2b)?(a-3b)=-18, ∴a -6b -a?b=-18, ∵|a|=3,|b|=2,∴9-24-a?b=-18,
2 2

a?b 3 1 ∴a?b=3,∴cos?a,b?= = = , |a||b| 6 2
∴?a,b?=60°. 4.已知 a=(m+1,-3),b=(1,m-1),且(a+b)⊥(a-b),则 m 的值是________. 解析:a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-2-m), ∵(a+b)⊥(a-b),∴m(m+2)-(m-4)(m+2)=0, ∴m=-2. 答案:-2 2π ― → ― → ― → ― → 5.△ABC 中,∠BAC= ,AB=2,AC=1, DC =2 BD ,则 AD ? BC =________. 3 ― → ― → ― → 1 ― → ― → 解析:由 DC =2 BD ,得 AD = ( AC +2 AB ). 3 ― → ― → 1 ― → ― → ― → ― → ∴ AD ? BC = ( AC +2 AB )?( AC - AB ) 3 1 ― →2 ― → ― → ― →2 = ( AC + AC ? AB -2 AB ) 3 1? 2 8 ? 1? 2? = ?1 +1?2??- ?-2?2 ?=- . 3? 3 ? 2? ? 8 答案:- 3 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.已知向量 a=(1,x),b=(-1,x),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=( A. 2 C.2 B. 3 D.4
2 2

)

解析:选 C 由已知得 2a-b=(3,x),而(2a-b)?b=0? -3+x =0? x =3,所以|a| = 1+x = 4=2. π 2.(2017?贵州适应性考试)若单位向量 e1,e2 的夹角为 ,向量 a=e1+λ e2(λ ∈R), 3 且|a|= 3 ,则 λ =( 2 )
2

33

1 A.- 2 1 C. 2

B.

3 -1 2 3 2
2

D.

1 1 3 2 2 2 解析:选 A 由题意可得 e1?e2= ,|a| =(e1+λ e2) =1+2λ ? +λ = ,化简得 λ 2 2 4 1 1 +λ + =0,解得 λ =- ,故选 A. 4 2 ― → ― → ― → ― → ― → 3. 平面四边形 ABCD 中, AB + CD =0, ( AB - AD )? AC =0, 则四边形 ABCD 是( A.矩形 C.菱形 B.正方形 D.梯形

)

― → ― → ― → ― → ― → 解析:选 C 因为 AB + CD =0,所以 AB =- CD = DC ,所以四边形 ABCD 是平行四边 ― → ― → ― → ― → ― → 形.又( AB - AD )? AC = DB ? AC =0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形 ABCD 是菱形. 2π 4.(2016?重庆适应性测试)设单位向量 e1,e2 的夹角为 ,a=e1+2e2,b=2e1-3e2, 3 则 b 在 a 方向上的投影为( 3 3 A.- 2 C. 3 解析:选 A ) B.- 3 3 3 D. 2 依 题 意 得 e1?e2 = 1?1?cos 2π 1 2 = - , |a| = ?e1+2e2? = 3 2

2 e2 3, 1+4e2+4e1?e2=

9 a?b 2 a?b=(e1+2e2)?(2e1-3e2)=2e2 1-6e2+e1?e2=- ,因此 b 在 a 方向上的投影为 2 |a| 9 - 2 3 3 = =- ,故选 A. 2 3 π ― → ― → 5.(2017?成都模拟)已知菱形 ABCD 边长为 2,∠B= ,点 P 满足 AP =λ AB ,λ ∈R, 3 ― → ― → 若 BD ? CP =-3,则 λ 的值为( 1 A. 2 1 C. 3 ) 1 B.- 2 1 D.- 3
34

π ― → ― → 解析:选 A 法一:由题意可得 BA ? BC =2?2cos =2, 3 ― → ― → ― → ― → ― → BD ?CP― →=( BA + BC ) ?( BP - BC ) ― → ― → ― → ― → ― → =( BA + BC )?[( AP - AB )- BC ] ― → ― → ― → ― → =( BA + BC )?[(λ -1)? AB - BC ] ― →2 ― → ― → ― → ― → ― →2 =(1-λ ) BA - BA ? BC +(1-λ ) BA ? BC - BC =(1-λ )?4-2+2(1-λ )-4 =-6λ =-3, 1 ∴λ = ,故选 A. 2

法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(2,0),C(1, 3),D(-1, 3). ― → 令 P(x,0),由 BD ?CP― →=(-3, 3)?(x-1,- 3)=-3x+3-3=-3x=-3 得 x =1. 1 ― → ― → ∵ AP =λ AB ,∴λ = .故选 A. 2 6.已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a-(a?b)b,则|c|=________. 解析:由题意可得 a?b=2?1+4?(-2)=-6, ∴c=a-(a?b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8), ∴|c|= 8 +?-8? =8 2. 答案:8 2 7.已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量 m,n 的夹角的 余弦值为________. 解析:因为 m+n=(2λ +3,3),m-n=(-1,-1), 所以由(m+n)⊥(m-n)得(m+n)?(m-n)=0, 即(2λ +3)?(-1)+3?(-1)=0,解得 λ =-3, 则 m=(-2,1),n=(-1,2),
2 2

m?n 4 所以 cos〈m,n〉= = . |m||n| 5
4 答案: 5
35

― → ― → ― → ― → ― → 8. 如图所示, 在等腰直角三角形 AOB 中, OA=OB=1, AB =4 AC , 则 OC ?( OB - OA ) =________. 2 ― → ― → 解析:由已知得| AB |= 2,| AC |= , 4 3π 2 ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 则 OC ?( OB - OA ) = ( OA + AC )? AB = OA ? AB + AC ? AB = 2cos + 4 4 1 ? 2=- . 2 1 答案:- 2 9.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).

? 1? 解:由已知得,a?b=4?8??- ?=-16. ? 2?
(1)①∵|a+b| =a +2a?b+b =16+2?(-16)+64=48,∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b| =16a -16a?b+4b =16?16-16?(-16)+4?64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)?(ka-b)=0, ∴ka +(2k-1)a?b-2b =0, 即 16k-16(2k-1)-2?64=0.∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直.
2 2 2 2 2 2 2 2

― → ― → 10.如图,已知 O 为坐标原点,向量 OA =(3cos x,3sin x), OB = ― → ? π? (3cos x,sin x), OC =( 3,0),x∈?0, ?. 2? ? ― → ― → ― → (1)求证:( OA - OB )⊥ OC ; (2)若△ABC 是等腰三角形,求 x 的值. ― → ― → 解:(1)证明: OA - OB =(0,2sin x), ― → ― → ― → ∴( OA - OB )? OC =0? 3+2sin x?0=0, ― → ― → ― → ∴( OA - OB )⊥ OC . (2)若△ABC 是等腰三角形,则 AB=BC,

36

∴(2sin x) =(3cos x- 3) +sin x, 整理得 2cos x- 3cos x=0, 解得 cos x=0,或 cos x= 3 . 2
2

2

2

2

? π? ∵x∈?0, ?, 2? ?
∴cos x= 3 π ,x= . 2 6

?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.(2016?商丘二模)已知 a,b 均为单位向量,且 a?b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5, 则|c+a|的取值范围是( A.[3, 10 ] ) B.[3,5] C.[3,4] D.[ 10,5]

解析:选 B ∵a,b 均为单位向量,且 a?b=0,

∴设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 代入|c-4a|+|c-3b|=5,得 ?x-4? +y + x +?y-3? =5. 即(x,y)到 A(4,0)和 B(0,3)的距离和为 5,∴c 的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线 段, |c+a|= ?x+1? +y ,表示 M(-1,0)到线段 AB 上点的距离,最小值是点(-1,0)到 直线 3x+4y-12=0 的距离. |-3-12| ∴|c+a|min= =3. 5 最大值为|MA|=5. ∴|c+a|的取值范围是[3,5]. ― → ― → ― → ― → 2. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足( 2a-c) BA ? BC =c CB ? CA . (1)求角 B 的大小; ― → ― → (2)若| BA - BC |= 6,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由题意得( 2a-c)cos B=bcos C. 根据正弦定理得( 2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以 2sin Acos B=sin(C+B), 即 2sin Acos B=sin A,因为 A∈(0,π ),所以 sin A>0,
37
2 2 2 2 2 2

所以 cos B=

2 π ,又 B∈(0,π ),所以 B= . 2 4

― → ― → ― → (2)因为| BA - BC |= 6,所以| CA |= 6, 即 b= 6 , 根据余弦定理及基本不等式得 6=a +c - 2ac≥2ac- 2ac=(2- 2)ac(当 且仅当 a=c 时取等号), 1 3? 2+1? 即 ac≤3(2+ 2),故△ABC 的面积 S= acsin B≤ , 2 2 即△ABC 的面积的最大值为 3 2+3 . 2
2 2

第四节

数系的扩充与复数的引入

1.复数的有关概念 (1)复数的概念: 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+

bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复数的模: ― → 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi| = a +b . 2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi― →复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). ― → (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)― → 平面向量 OZ . 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1?z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
38
2 2

④除法: =

z1 a+bi ?a+bi??c-di? ac+bd bc-ad = = + i(c+di≠0). z2 c+di ?c+di??c-di? c2+d2 c2+d2

(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +z3=z1+(z2+z3).

[小题体验] ?2+i? 1.若复数 z 满足 =i,则 z=________.
2

z

?2+i? 3+4i 解析:由题意得,z= = =4-3i. i i 答案:4-3i 2 .(2016?江苏高考)复数 z =(1+ 2i)(3- i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是 ________. 解析:因为 z=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i =5+5i,所以 z 的实部是 5. 答案:5 3.(教材习题改编)四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形,A,B,C 三点对应的复数分 别是 1+3i,-i,2+i,则点 D 对应的复数为________. 答案:3+5i
2

2

1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.两个虚数不能比较大小. 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1,
2 2 z2∈C,z2 1+z2=0,就不能推出 z1=z2=0;z <0 在复数范围内有可能成立.

[小题纠偏] 1.设复数 z1=2-i,z2=a+2i(i 是虚数单位,a∈R),若 z1?z2∈R,则 a=________. 解析:依题意,复数 z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数,因此 4-a=0,

a=4.
答案:4 2.设 i 是虚数单位,若复数 (2+ ai)i 的实部与虚部互为相反数,则实数 a 的值为 ________. 解析:因为(2+ai)i=-a+2i,又其实部与虚部互为相反数,所以-a+2=0,即 a=2. 答案:2

39

考点一 复数的有关概念?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透] 2+ i 1.(2017?皖南八校联考)i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则 lg(a+b)的值是 1+ i ( ) A.-2 C.0 B.-1 1 D. 2

?2+i??1-i? 3-i 3 1 解析:选 C ∵ = = - i=a+bi, ?1+i??1-i? 2 2 2 3 a= , ? ? 2 ∴? 1 b=- , ? ? 2

∴lg(a+b)=lg 1=0.

2-i 2.(2016?河南六市一联)已知 i 为虚数单位,a∈R,若 为纯虚数,则复数 z=2a+ a+i 2i 的模等于( A. 2 C. 3 解析:选 C 由题意得, ) B. 11 D. 6
? ?-t=2, 2-i =ti(t≠0),∴2-i=-t+tai,∴? a+i ?ta=-1, ?

解得

t=-2, ? ? ? 1 ?a=2, ?

∴z=2a+ 2i=1+ 2i,|z|= 3,故选 C.

3.(易错题)设复数 z=-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为 z ,则|(1-z)? z | =( ) A. 10 C. 2 B.2 D.1

解析:选 A 依题意得(1-z)? z =(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1-z)? z |=|-3

40

+i|= ?-3? +1 = 10. 4.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1?z2 是实数,则 z2=________. 解析:(z1-2)(1+i)=1-i? z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1?z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1?z2∈R,∴a=4. ∴z2=4+2i. 答案:4+2i [谨记通法] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所 以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即 a+bi(a,b∈R)的形 式,再根据题意求解,如“题组练透”第 3 题.

2

2

考点二 复数的几何意义?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透] 3+i 1. (2016?河南八市重点高中质检)复数 z= +3i 在复平面内对应的点所在的象限为 1+i ( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

3+i ?3+i??1-i? 4-2i 解析:选 A z= +3i= +3i= +3i=2-i+3i=2+2i,故 1+i ?1+i??1-i? 2

z 在复平面内对应的点在第一象限.
2i 2. (2017?河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数 z= 所对应的点关于实轴对称 1+i 的点为 A,则 A 对应的复数为( A.1+i C.-1-i ) B.1-i D.-1+i

2i 2i?1-i? 解析:选 B 因为 z= = =i(1-i)=1+i,所以 A 点坐标为(1, 1+i ?1+i??1-i? -1),其对应的复数为 1-i. 3.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为 A,B,
41

C,若 OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值是________.
― → ― → 解析:由条件得 OC =(3,-4), OA =(-1,2), ― → OB =(1,-1), ― → ― → ― → 根据 OC =λ OA +μ OB 得 (3,-4)=λ (-1,2)+μ (1,-1)=(-λ +μ ,2λ -μ ),
? ?-λ +μ =3, ∴? ?2λ -μ =-4, ? ?λ =-1, ? 解得? ?μ =2. ?

― →

― →

― →

∴λ +μ =1. 答案:1 [谨记通法] 对复数几何意义的理解及应用 ― → ― → (1)复数 z、 复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系, 即 z=a+bi(a, b∈R)?Z(a, b)? OZ . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联 系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 考点三 复数的代数运算?基础送分型考点——自主练透? [题组练透] 1+2i 1.(2016?北京高考)复数 =( 2-i A.i C.-i ) B.1+i D.1-i

1+2i ?1+2i??2+i? 5i 解析:选 A 法一: = = =i. 2-i ?2-i??2+i? 5 1+2i i?1+2i? i?1+2i? 法二: = = =i. 2-i i?2-i? 2i+1 2.(2017?重庆第一次适应性测试)已知(1-i)z=2+i,则 z 的共轭复数 z =( 1 3 A. + i 2 2 3 1 C. + i 2 2 1 3 B. - i 2 2 3 1 D. - i 2 2 )

2+i ?2+i??1+i? 1 3 1 3 解析:选 B 依题意得 z= = = + i,因此 z = - i,选 B. 1-i ?1-i??1+i? 2 2 2 2

42

3+i - 3.已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则 z? z =________. 2 ?1- 3i? 3+i 3+i 3+i ? 3+i??1- 3i? 解析:∵z= = = = 2 ?1- 3i? -2-2 3i -2?1+ 3i? -2?1+ 3i??1- 3i? = 2 3-2i 3 1 =- + i, -8 4 4

故 z =-

3 1 - i, 4 4

∴z? z =?- 1 答案: 4

? ?

3 1 ?? 3 1 ? 3 1 1 + i??- - i?= + = . 4 4 ?? 4 4 ? 16 16 4

? 2 ?2 016 ?1+i?6 4.已知 i 是虚数单位,? ? +?1-i? =________. ? ? ?1-i? ?? 2 ?2?1 008 ?1+i?6 ? 2 ?1 008 6 1 008 6 4?252 4+2 2 解析:原式=?? ? ? +?1-i? =?-2i? +i =i +i =i +i =1+i =0. ? ? ? ? ??1-i? ?
答案:0 [谨记通法] 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法: 复数的乘法类似于多项式的四则运算, 可将含有虚数单位 i 的看作一类 同类项,不含 i 的看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法: 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数, 解题中要注意把 i 的幂 写成最简形式. [提醒] 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. 1+i 1-i 2 (1)(1±i) =±2i; =i; =-i; 1-i 1+i (2)-b+ai=i(a+bi); (3)i =1,i i +i
4n 4n+1 4n 4n+1

=i,i
4n+3

4n+2

=-1,i
*

4n+3

=-i,

+i

4n+2

+i

=0,n∈N .

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1-3i 1.i 是虚数单位,复数 =( 1-i )

43

A.2+i C.-1+2i 解析:选 B

B.2-i D.-1-2i 1-3i ?1-3i??1+i? 4-2i = = =2-i. 1-i ?1-i??1+i? 2

2 2.(2017?郑州检测)设 z=1+i(i 是虚数单位),则 - z =(

z

)

A.i C.1-i

B.2-i D.0

2 2 2?1-i? 解析:选 D 因为 - z = -1+i= -1+i=1-i-1+i=0,故 z 1+i ?1+i??1-i? 选 D.

z
3.(2016?全国丙卷)若 z=4+3i,则 A.1 4 3 C. + i 5 5 =( |z| B.-1 4 3 D. - i 5 5
2 2

)

解析:选 D ∵z=4+3i,∴ z =4-3i,|z|= 4 +3 =5, 4-3i 4 3 = = - i. |z| 5 5 5

z



4.复数|1+ 2i|+?

?1- 3i?2 ? =________. ? 1+i ?
2

?1- 3i? -2-2 3i 2 2 解析:原式= 1 +? 2? + = 3+i- 3=i. 2 = 3+ ?1+i? 2i 答案:i 5.(2015?重庆高考)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=________. 解析:∵|a+bi|= a +b = 3, ∴(a+bi)(a-bi)=a +b =3. 答案:3 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.若 i 是虚数单位,复数 z 满足(1-i)z=1,则|2z-3|=( A. 3 C. 6 解析:选 B 由(1-i)z=1 得 z= B. 5 D. 7 1 1+i = ,则|2z-3|=|-2+i|= 5. 1-i 2 )
44
2 2 2 2

)

2.已知实数 a,b 满足(a+i)(1-i)=3+bi,则复数 a+bi 的模为(

A. 2 C. 5

B.2 D.5 解得 a=2, b=-1,

?a+1=3, ? 解析: 选 C 依题意, (a+1)+(1-a)i=3+bi, 因此? ?1-a=b, ?

所以 a+bi=2-i,|a+bi|=|2-i|= 2 +?-1? = 5,选 C. 3.(2016?福州二检)定义运算? 共轭复数 z 在复平面内对应的点在( A.第一象限 C.第三象限

2

2

?a b? ?z 1+i? ?=ad-bc,则符合条件? ?=0 的复数 z 的 ?c d? ?-i 2i?
) B.第二象限 D.第四象限 -i?1+i? 1 1 =- - i,∴ z = 2i 2 2

解析:选 B 由题意得,2zi-[-i(1+i)]=0,则 z= 1 1 - + i,其在复平面内对应的点在第二象限,故选 B. 2 2 4.已知复数 z=1+ A.1+i C.i 2i 2 2 017 ,则 1+z+z +?+z =( 1-i B.1-i D.0

)

2i 2i?1+i? 1??1-z 2 2 017 解析: 选 A ∵z=1+ =1+ = i, ∴1+z+z +?+z = 1-i 2 1-z = 1-i 1-i ?i = =1+i. 1-i 1-i 5.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若|z1-z2|=0,则 z 1= z B.若 z1= z 2,则 z 1=z2 C.若|z1|=|z2|,则 z1? z 1=z2? z D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2
2 2 2 2 2 018 4?504 2

2 018

?

)

解析:选 D 对于 A,|z1-z2|=0? z1=z2? z 1= z 2,是真命题;对于 B,C 易判断是 真命题;对于 D,若 z1=2,z2=1+ 3i,则|z1|=|z2|,但 z1=4,z2=-2+2 3i,是假命 题. 6.若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则?z+
2 2

? ?

1? ?? z =________.

z?

解析:∵z=1+2i,∴ z =1-2i.
45

∴?z+

? ?

1?

? z =z? z +1=5+1=6. z? ?

答案:6 7.已知复数 z 满足 解析:由 答案:2 1+ai 8.已知 a∈R,若 为实数,则 a=________. 2-i 1+ai ?1+ai??2+i? 2+i+2ai-a 2-a 1+2a 解析: = = = + i, 2-i ?2-i??2+i? 5 5 5 ∵ 1+ai 1+2a 1 为实数,∴ =0,∴a=- . 2-i 5 2

z+2 =i(其中 i 是虚数单位),则|z|=________. z-2

z+2 -2-2i |-2-2i| 2 2 =i 知,z+2=zi-2i,即 z= ,所以|z|= = =2. z-2 1-i |1-i| 2

1 答案:- 2 9.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 的最大值为________. 解析:∵|z-2|= ?x-2? +y = 3, ∴(x-2) +y =3. 由图可知? ?max= x 答案: 3 ?-1+i??2+i? 10.计算:(1) ; 3 i ?1+2i? +3?1-i? (2) ; 2+i 1-i 1+i (3) 2+ 2; ?1+i? ?1-i? 1- 3i (4) . 2 ? 3+i? ?-1+i??2+i? -3+i 解:(1) = =-1-3i. 3 i -i ?1+2i? +3?1-i? -3+4i+3-3i i i?2-i? 1 2 (2) = = = = + i. 2+i 2+i 2+i 5 5 5 1-i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) + = + =-1. 2+ 2= ?1+i? ?1-i? 2i -2i -2 2
2 2 2 2 2 2

y x

?y? ? ?

3 = 3. 1

46

1- 3i ? 3+i??-i? -i ?-i?? 3-i? 1 3 (4) = = = =- - i. 2 2 4 4 4 ? 3+i? ? 3+i? 3+i ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1. 已知 t∈R, i 为虚数单位, 复数 z1=3+4i, z2=t+i, 且 z1?z2 是实数, 则 t 等于( 3 A. 4 4 B. 3 4 C.- 3 3 D.- 4 )

解析:选 D 因为 z1=3+4i,z2=t+i, 所以 z1?z2=(3t-4)+(4t+3)i, 3 又 z1?z2 是实数,所以 4t+3=0,所以 t=- ,故选 D. 4 2.已知复数 z1=cos 15°+sin 15°i 和复数 z2=cos 45°+sin 45°i,则 z1?z2= ________. 解析:z1?z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°- 1 sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i= + 2 3 i. 2 1 3 答案: + i 2 2 3.复数 z1= 3 2 2 +(10-a )i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. a+5 1-a 3 2 2 +(a -10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

解: z 1+z2= =? =

? 3 + 2 ?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ?a+5 1-a?
a-13 2 +(a +2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a +2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. ∵a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3.
2

命题点一 平面向量基本定理 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:低 题型:选择题、填空题

47

― → ― → 1. (2015?全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1), B(3,2), 向量 AC =(-4, -3), 则向量 BC =( A.(-7,-4) C.(-1,4) 解析:选 A 法一:设 C(x,y), ― → 则 AC =(x,y-1)=(-4,-3), 所以?
?x=-4, ? ?y=-2, ?

)

B.(7,4) D.(1,4)

― → 从而 BC =(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选 A. ― → 法二: AB =(3,2)-(0,1)=(3,1), ― → ― → ― → BC = AC - AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选 A. ― → ― → 2.(2014?全国卷Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB + FC =( ) ― → A. AD ― → C. BC 解析:选 A 1― → B. AD 2 1― → D. BC 2 ― → ― → 1 ― → ― → 1 ― → ― → EB + FC = ( AB + CB )+ ( AC + BC )= 2 2

1 ― → ― → ― → ( AB + AC )= AD ,故选 A. 2 ― → ― → 3.(2015?全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点, BC =3 CD ,则( 1― ― → → 4― → A. AD =- AB + AC 3 3 ― → 1― → 4― → B. AD = AB - AC 3 3 ― → 4― → 1― → C. AD = AB + AC 3 3 ― → 4― → 1― → D. AD = AB - AC 3 3 解析:选 A 1 ― → ― → ― → ― → 1― → ― → 1 ― → ― → 4― → 1― → AD = AC + CD = AC + BC = AC + ( AC - AB )= AC - AB =- 3 3 3 3 3 )

― → 4― → AB + AC ,故选 A. 3 4.(2015?全国卷Ⅱ)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则实数 λ =

48

________. 解析:∵λ a+b 与 a+2b 平行,∴λ a+b=t(a+2b), 1 λ = , ? ? 2 解得? 1 t= . ? ? 2

?λ =t, ? 即 λ a+b=ta+2tb,∴? ? ?1=2t,

1 答案: 2

命题点二 平面向量数量积 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:中、低 题型:选择题、填空题、解答题 )

1.(2016?全国甲卷)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m=( A.-8 C.6 B.-6 D.8

解析:选 D 法一:因为 a=(1,m),b=(3,-2),所以 a+b=(4,m-2). 因为(a+b)⊥b,所以(a+b)?b=0,所以 12-2(m-2)=0,解得 m=8. 法二:因为(a+b)⊥b,所以(a+b)?b=0,即 a?b+b =3-2m+3 +(-2) =16-2m =0,解得 m=8. ― → ?1 3? ― → ? 3 1? 2.(2016?全国丙卷)已知向量 BA =? , ?, BC =? , ?,则∠ABC=( ?2 2 ? ? 2 2? A.30° C.60° B.45° D.120° )
2 2 2

― → ?1 3? ― → ? 3 1? 解析:选 A 因为 BA =? , ?, BC =? , ?, ?2 2 ? ? 2 2? 3 3 3 ― → ― → 所以 BA ? BC = + = . 4 4 2 3 ― → ― → ― → ― → 又因为 BA ? BC =| BA || BC |cos∠ABC=1?1?cos∠ABC= , 2 所以 cos∠ABC= 3 . 2

又 0°≤∠ABC≤180°, 所以∠ABC=30°. 3.(2015?全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)?a=( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

49

解析:选 C 法一:∵a=(1,-1),b=(-1,2), ∴a =2,a?b=-3, 从而(2a+b)?a=2a +a?b=4-3=1. 法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2), ∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), 从而(2a+b)?a=(1,0)?(1,-1)=1,故选 C. 4.(2014?全国卷Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a?b=( A.1 C.3 解析:选 A 因为|a+b|= 10, 所以|a+b| =10, 即 a +2a?b+b =10. ① 又因为|a-b|= 6,所以|a-b| =6, 所以 a -2a?b+b =6. ② 由①-②得 4a?b=4,则 a?b=1. 5.(2016?天津高考)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的 ?BC 中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 AF― ― →的值为( 5 A.- 8 1 C. 4 解析:选 B 如图,由条件可知 =AC ,AF +DF BC― ― →-AB― ― →=AD― ― → 1 3 1 3 , 1 3 =?AC = AB+ DE= AB+ AC ― ― → ?AF ― ― → -AB)? AB+ AC 2 2 2 4 所以BC 2 4 . 3 1 1 ?AC 2 1的等边三角形, | = = AC - AB ― ― → - AB 因为△ABC是边长为 ― ― → 4 4 2 所以|AC |=1,∠BAC=60°, 3 1 1 1 |AB ― ― → ?AF= - - = . 所以BC 4 8 2 8 6 .(2016?全国乙卷 ) 设向量 a = (m,1) , b = (1,2) ,且 |a + b| = |a| + |b| ,则 m = ________. 解析:∵|a+b| =|a| +|b| +2a?b=|a| +|b| , ∴a?b=0. 又 a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.
50
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.2 D.5

)

1 B. 8 11 D. 8

答案:-2 ― → ― → 7.(2013?全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD = ________. ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 1― → ― → ― → 解析: 选向量的基底为 AB ,AD , 则 BD = AD - AB ,AE = AD + AB , 那么 AE ? BD 2 1 1 ― → ― → ? →+ AB― → ? =?AD― ??( AD - AB )=22-2?22=2. 2 ? ? 答案:2 8.(2013?全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b?c =0,则 t=________. 解析:因为向量 a,b 为单位向量,所以 b =1,又向量 a,b 的夹角为 60°,所以 a?b 1 1 2 = ,由 b?c=0 得 b?[ta+(1-t)b]=0,即 ta?b+(1-t)b =0,所以 t+(1-t)=0, 2 2 所以 t=2. 答案:2 ― → ― → ― → ― → ― → ― → 9. (2014?湖北高考)若向量 OA =(1, -3), | OA | =| OB |, OA ? OB =0, 则 | AB | =________. ― → ― → ― → ― → ― → 2 2 解析:法一:设 OB =(x,y),由| OA |=| OB |知, x +y = 10,又 OA ? OB =x ― → -3y=0,所以 x=3,y=1 或 x=-3,y=-1.当 x=3,y=1 时,| AB | =2 5;当 x= ― → ― → -3,y=-1 时,| AB | =2 5.则| AB | =2 5. ― → ― → ― → ― → 法二:由几何意义知,| AB |就是以 OA , OB 为邻边的正方形的对角线长,所以| AB | =2 5. 答案:2 5 10. (2015?广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 m=? 2? ? 2 n=(sin x, ,- ?, 2 ? ?2
2

? π? cos x),x∈?0, ?. 2? ?
(1)若 m⊥n,求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 解:(1)若 m⊥n,则 m?n=0. 由向量数量积的坐标公式得 ∴tan x=1.
51

2 2 sin x- cos x=0, 2 2

π (2)∵m 与 n 的夹角为 , 3 π ∴m?n=|m|?|n|cos , 3 即 2 2 1 sin x- cos x= , 2 2 2

? π? 1 ∴sin?x- ?= . 4? 2 ?
π ? π π? ? π? 又∵x∈?0, ?,∴x- ∈?- , ?, 2? 4 ? 4 4? ? π π 5π ∴x- = ,即 x= . 4 6 12 命题点三 复数 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:低 题型:选择题、填空题 )

1.(2015?全国卷Ⅱ)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( A.-1 C.1 B.0 D.2

解析:选 B ∵(2+ai)(a-2i)=-4i, ∴4a+(a -4)i=-4i.
?4a=0, ? ∴? 2 ? ?a -4=-4.
2

解得 a=0.故选 B.

2.(2016?全国甲卷)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实 数 m 的取值范围是( A.(-3,1) C.(1,+∞) 解析:选 A 由题意知?
? ?m+3>0, ? ?m-1<0,

) B.(-1,3) D.(-∞,-3) 即-3<m<1.故实数 m 的取值范围为(-3,1). )

3.(2016?全国乙卷)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( A.1 C. 3 B. 2 D.2

解析:选 B ∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi. 又∵x,y∈R,∴x=1,y=1. ∴|x+yi|=|1+i|= 2,故选 B. 2+ai 4.(2015?全国卷Ⅱ)若 a 为实数,且 =3+i,则 a=( 1+i )

52

A.-4 C.3

B.-3 D.4

2+ai 解析:选 D ∵ =3+i,∴2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,∴a=4,故选 D. 1+i 5.(2016?全国丙卷)若 z=1+2i,则 A.1 C.i 解析:选 C 4i 4i =( )

z z -1
B.-1 D.-i

因为 z=1+2i,则 z =1-2i,所以 z z =(1+2i)?(1-2i)=5,则

4i = =i.故选 C. z z -1 4 1+z 6.(2015?全国卷Ⅰ)设复数 z 满足 =i,则|z|=( 1-z A.1 C. 3 B. 2 D.2 )

1+z -1+i ?-1+i??1-i? 2i 解析:选 A 由 =i,得 z= = = =i,所以|z|=|i| 1-z 1+i 2 2 =1,故选 A.

53


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