meimeizaixiushebeikuanggan:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角PPT优秀课件2_图文

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2.4平面向量的数量积 2.4.2平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角

问题提出
1.向量a与b的数量积的含义是什么?
a·b=|a||b|cosθ. 其中θ为向量a与b的夹角

2.向量的数量积具有哪些运算性质?
(1)a⊥b ?a·b=0(a≠0,b≠0); (2)a2=︱a︱2; (3)a·b=b·a;
(4)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(5)(a+b)·c=a·c+b·c; (6)︱a·b︱≤︱a︱︱b︱.

3.平面向量的表示方法有几何法和坐标 法,向量的表示形式不同,对其运算的 表示方式也会改变.向量的坐标表示,对 向量的加、减、数乘运算带来了很大的 方便.若已知向量a与b的坐标,则其数量 积是唯一确定的,因此,如何用坐标表 示向量的数量积就成为我们需要研究的 课题.

平面向量数量积的

探究(一):平面向量数量积的坐标表示
思考1:设i、j是分别与x轴、y轴同向的 两个单位向量,若两个非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2),则向量a与b用i、j分别 如何表示?
a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
思考2:对于上述向量i、j,则i2,j2,i·j 分别等于什么?
i2=1,j2=1,i·j=0.

思考3:根据数量积的运算性质,a·b等 于什么?
a·b=x1x2+y1y2
思考4:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2,这就是平面向量数量 积的坐标表示.你能用文字描述这一结论 吗?
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.

思考5:如何利用数量积的坐标表示证明 (a+b)·c=a·c+b·c?

探究(二):向量的模和夹角的坐标表示
思考1:设向量a=(x,y),利用数量积 的坐标表示,︱a︱等于什么?
︱a︱= x2 + y2 思考2:如果表示向量a的有向线段的起点 和终点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 那么向量a的坐标如何表示?︱a︱等于什 么?a=(x2-x1,y2-y1);
︱a︱= (x2?x1)2?(y2?y1)2

思考3:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 若a⊥b,则x1,y1,x2,y2之间的关系如何 反之成立吗?
a⊥b ?x1x2+y1y2=0.
思? 考4:设a、b是两个非零向量,其夹角 为θ ,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那 么cosθ 如何用坐标表示?
co ?? sa?b? x1x2?y1y2
ab x12?y12 x22?y22

理论迁移
例1 已知向量a=(4,3),b=(-1,2), 求: (1) a·b; (2) (a+2b)·(a-b); (3) |a|2-4a·b.
(1) 2;(2)17;(3)-3.

例2 已知点A(1,2),B(2,3), C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给 出证明.
△ABC是直角三角形
例3 已知向量a=(5,-7),b= (-6,-4),求向量a 与b的夹角θ (精确到1°).
cosθ ≈-0.03,θ ≈92°.

例4 已知向量a=(λ ,-2),b= (-3,5),若向量a 与b的夹角为钝角, 求λ 的取值范围.
(- 10,6)U(6,+? ) 35 5
例5 已知b=(1,1),a·b=3, |a-b|=2,求|a|.
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小结作业
1.a∥b ? x1y2?x2y1?0
a⊥b ? x1x2?y1y2?0
二者有着本质区别.
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角(钝 角),则a·b>0(<0),反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系,解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题,可以考虑 用向量方法来解决.

作业: P107练习:1,2. P108习题2.4A组:9,10,11.

85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
87.当一切毫无希望时,我看着切石工人在他的石头上,敲击了上百次,而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时,石头被劈成两半。我体会到,并非那一击,而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想,因为梦想一死,生命就如一只羽翼受创的小鸟,无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术,而较不像跳舞的艺术;最重要的是:站稳脚步,为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里,确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
94.对一个适度工作的人而言,快乐来自于工作,有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了,因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣,就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己;而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳,只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利,如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。--[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由,完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票,明天是张信用卡,只有今天才是现金;要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事,浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地,努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验,但适度的休息绝不可少,否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程,而是螺旋形的路径,时而前进,时而折回,停滞后又前进,有失有得,有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代,能量之所以能够带来奇迹,主要源于一股活力,而活力的核心元素乃是意志。无论何处,活力皆是所谓“人格力量”的原动力,也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的:一种人无法做被吩咐去做的事,另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言,机会就像波浪般奔向茫茫的大海,或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的,而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现,而是需要开拓,开路的过程,便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害,如果他很慈悲,如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物,都存在着正、反两面,所以要养成由后面.里面,甚至是由相反的一面,来观看事物的态度――。[老子]
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖,经历过各种人生烦恼的人,才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小;但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少,他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于:一个人能够轻蔑、藐视或批评什么,而是在于:他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]


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