例谈二阶导数在高中数学中的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例谈二阶导数在高中数学中的应用 作者:王耀民 来源:《新校园· 中旬刊》2014 年第 07 期 摘 要:导数是高中数学与高等数学的一个衔接点,也是高中学生进入高校进一步学习数 学的起点。导数的应用已经是高考试卷中的必选内容,而在课本中从未提及的二阶导数的使用 正在悄悄上演,什么是有二阶导数相关背景的问题?如何破解?本文拟对此加以分析。 关键词:高中数学;二阶导数;例题分析 导数在高中教材中所占篇幅并不大,但在高考中占分比却达到了 10%左右。主要涉及两方 面的问题:1.导数的运算:以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程,以微积分基本定理为 工具计算曲边梯形面积,是高考的重点;2.导数的应用:主要是利用导数研究函数的单调性、 极值与最值,以及与导数有关的恒成立问题,与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。近 年来,无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区,导数几乎都在压轴题位置,足见其重要 性。导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了,二阶导数的使用也渐渐登上舞 台,本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。 一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题 例 1:【2012· 自贡三模改编】对于三次函数 f(x)=ax3+ bx2+cx+d(a≠0),定义 y=f' (x)是 y=f(x)的导函数,f''(x)是 y=f'(x)的导函数,若方程 f(x)=0 有实数解 x0, 则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”。有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”; 任何三次函数都有对称中心;且对称中心就是“拐点”。请你根据这一发现判断下列命题: (1)任意三次函数都关于点(-■,f(-■))对称; (2)存在三次函数,f(x)=0 有实数解 x0,(x0,f(x0))点为函数 y=f(x)的对称 中心; (3)存在三次函数有两个及两个以上的对称中心; (4)若函数 g(x)=x3-3x2,则 g(■)+g(■)+g(■)+…+g(■)=-8054. 其中正确命题的序号为 。 【解析】(1)由题意,f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),f(x)=6ax+2b(a≠0), 令 f(x)=0,得 x=-■,所以任意三次函数都关于点(-■,f(-■))对称,故(1)正 确。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (2)由(1)知,x0=-■,代入 f'(x)=0,可得 b2=3ac,即存在三次函数,f'(x)=0 有 实解 x0,点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的对称中心,故(2)正确; (3)由(1)知,三次函数有且只有一个对称中心,即不存在三次函数有两个及两个以上 的对称中心,故(3)不正确; (4)∵g(x)=x3-3x2,∴g'(x)=3x2-6x,g(x)=6x-6. 令 g(x)=0,得 x=1,g(1)=-2.∴g(x)=x3-3x2 的对称中心为(1-2). ∴g(x)+g(2-x)=-4,∴g(■)+g(■)+g(■)+…+g(■)=-8054 ∴(4)正确。故正确命题序号为(1)(2)(4). 这里对三次函数的拐点即二阶导数的实际意义的介绍是在一阶导数基础上比较好的背景拓 展。 例 2:【乌鲁木齐地区 2014 年高三第二次诊断理科数学 16】已知直线 x+y+1=0 与曲线 C:y=x3-3px2 相交于点 A,B,且曲线 C 在 A,B 处的切线平行,则实数 p 的值为 。 【解析 1】曲线 C:y=x

相关文档

例谈导数在高中数学中的应用
2018学年高中数学选修2-2学案:1.4 导数在实际生活中的应用 含解析
论高中数学导数问题中继承和构造思想的应用
(全国通用版)高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大小值与导数(二)学案
2019年人教A版选修2-2高中数学《1.4 导数在实际生活中的应用》优质课教案
(全国通用版)高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数(二)学案
电脑版