例谈二阶导数在高中数学中的应用

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例谈二阶导数在高中数学中的应用 作者:王耀民 来源:《新校园· 中旬刊》2014 年第 07 期 摘 要:导数是高中数学与高等数学的一个衔接点,也是高中学生进入高校进一步学习数 学的起点。导数的应用已经是高考试卷中的必选内容,而在课本中从未提及的二阶导数的使用 正在悄悄上演,什么是有二阶导数相关背景的问题?如何破解?本文拟对此加以分析。 关键词:高中数学;二阶导数;例题分析 导数在高中教材中所占篇幅并不大,但在高考中占分比却达到了 10%左右。主要涉及两方 面的问题:1.导数的运算:以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程,以微积分基本定理为 工具计算曲边梯形面积,是高考的重点;2.导数的应用:主要是利用导数研究函数的单调性、 极值与最值,以及与导数有关的恒成立问题,与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。近 年来,无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区,导数几乎都在压轴题位置,足见其重要 性。导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了,二阶导数的使用也渐渐登上舞 台,本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。 一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题 例 1:【2012· 自贡三模改编】对于三次函数 f(x)=ax3+ bx2+cx+d(a≠0),定义 y=f' (x)是 y=f(x)的导函数,f''(x)是 y=f'(x)的导函数,若方程 f(x)=0 有实数解 x0, 则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”。有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”; 任何三次函数都有对称中心;且对称中心就是“拐点”。请你根据这一发现判断下列命题: (1)任意三次函数都关于点(-■,f(-■))对称; (2)存在三次函数,f(x)=0 有实数解 x0,(x0,f(x0))点为函数 y=f(x)的对称 中心; (3)存在三次函数有两个及两个以上的对称中心; (4)若函数 g(x)=x3-3x2,则 g(■)+g(■)+g(■)+…+g(■)=-8054. 其中正确命题的序号为 。 【解析】(1)由题意,f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),f(x)=6ax+2b(a≠0), 令 f(x)=0,得 x=-■,所以任意三次函数都关于点(-■,f(-■))对称,故(1)正 确。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (2)由(1)知,x0=-■,代入 f'(x)=0,可得 b2=3ac,即存在三次函数,f'(x)=0 有 实解 x0,点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的对称中心,故(2)正确; (3)由(1)知,三次函数有且只有一个对称中心,即不存在三次函数有两个及两个以上 的对称中心,故(3)不正确; (4)∵g(x)=x3-3x2,∴g'(x)=3x2-6x,g(x)=6x-6. 令 g(x)=0,得 x=1,g(1)=-2.∴g(x)=x3-3x2 的对称中心为(1-2). ∴g(x)+g(2-x)=-4,∴g(■)+g(■)+g(■)+…+g(■)=-8054 ∴(4)正确。故正确命题序号为(1)(2)(4). 这里对三次函数的拐点即二阶导数的实际意义的介绍是在一阶导数基础上比较好的背景拓 展。 例 2:【乌鲁木齐地区 2014 年高三第二次诊断理科数学 16】已知直线 x+y+1=0 与曲线 C:y=x3-3px2 相交于点 A,B,且曲线 C 在 A,B 处的切线平行,则实数 p 的值为 。 【解析 1】曲线 C:y=x3-3px2,则 y'=3x2-6px,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 依题意知 m=3x21-6px1…⑴,m=3x22-6px2…⑵,∴x1,x2 是方程 3x2-6px-m=0 的两个根 ∴x1+x2=2p…⑶,下证线段 AB 的中点在曲线 C 上, ∵■ =■ =■=-2p3, 而(■)3-3p(■)2=(■)3-3p(■)2=-2p3 ∴线段 AB 的中点在曲线 C 上,由⑶知线段 AB 的中点为(p,p-1) -p-1=p3-3p· p2=-2p3,解得 p=1. 【解析 2】由上例 1 关于三次函数的背景认识可知,三次函数的图像是中心对称图形,且 其对称中心为三次函数的拐点。由本题中题意,结合三次函数图像分析可知:仅当直线通过三 次函数的拐点(对称中心)时,其与函数图象的另外两个交点处的切线平行。 由 C:y=x3-3px2,则 y'=3x2-6px,y=6x-6p 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 令 y=6x-6p=0,得 x=p,将其代入函数解析式,可得函数的对称中心为 M(p,-2p3). 由上分析则点 M 在直线 x+y+1=0 上,故 p-2p3+1=0,解之得 p=1: 本题在考试后统计发现,对学生来说这是地地道道的难题。而且【解析 1】需要学生有较 强的推理能力,相比较而言,在导数的教学中,若能以【例 1】的方式抛出三次函数图像具备 中心对称的图形特征以及中心的求解方法,以此为背景解决类似问题便轻而易举,再如: 例 3:【2012 眉山一模】函数 f(x)=ax3-6ax2+3bx+b 其图象在 x=2 处的切线方程为 3x+y-11=0.(1)求函数的解析式;(2)若关于 x 的方程 f(x)-m=0 在[■,4]上恰有两个不等 实根,求实数的取值范围;(3)函数 y=f(x)的图象是否存在对称中心?若存在,求出坐 标;若不存在,说明理由。 【解析】结合本文主题,仅看问题(3)解法 1:若函数 f(x)图象存在对称中心则其极 值点也关于此中心对称,故可先求出函数 f(x)的极值点然后利用中点坐标公式求出的中点即 为对称中心,然后再利用对称的定义证明则曲线 y=f(x)关于此点对称即可;解法 2:相比较 而言,由上给出的信息,可以利用二阶导数求出该三次函数的对称中心坐标,后面只需证明函 数关于该点

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