河南省南阳市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.9)理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试题(12.9)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.设 A ? x ? Z | x ? 2 , B ? y | y ? x ? 1, x ? A ,则 B 的元素个数是(

?

?

?

?



A.3

B.4
2

C.5

D.无数个 )

? a?i ? 2.设复数 z ? ? ? 其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为( ? 1? i ?
A. ?

1 2

B. ?

1 i 2

C. ?

3 2

D. ?

3 i 2

3.函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? (其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? 到 y ? cos 2 x 的图象,则只要将 f ? x ? 的图象( )

? )的图象如图所示,为了得 2

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 12
A.向左平移

B.向右平移

? 个单位长度 6 ? D.向右平移 个单位长度 12


4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

8? 3

B. 3?

C.

10? 3

D. 6?

5. ?ABC 外接圆圆心 O , 半径为 1, 则向量 BA 在向量 BC 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB , 方向的投影为( A. ? ) B. ?

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 2

3 2

C.

3 2

D.

1 2

? x? y?2? 0 x? y ? 6.设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 ? ? 的取值范围是( x ? 1 ? y?2?0 ?
A. ?1, ?



? 2? ? 3?

B. ?1, ? 3

? 2? ? ?

C. ?1, ? 2

? 3? ? ?

D. ?1, ?

? 3? ? 2?

7.已知 ?ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 周长为( A.18 8.定义 ) B.21 C. 15 D.24

3 ,则这个三角形的 2

n 为 n 个正数 p1 ? p2 ? p3 ? … ? pn 的“均倒数” ,已知各项均 p1 ? p2 ? p3 ? … ? pn
a ?1 1 ,又 bn ? n ,则 2n ? 1 4

为正数的数列 ?an ? 的前 n 项的“均倒数”为

1 1 1 ? ?…? ?( b1b2 b2b3 b10b11
A.



9 10

B.

10 11

C.

11 12

D.

1 12

9.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,都有

x2 f ? x1 ? ? x1 f ? x2 ? 5 f0 2 .? 记a ? 2 ? 0, x1 ? x2
A. c ? b ? a B. b ? a ? c

2

? ,b ? f ?1? ,c ? ? log
C. c ? a ? b

5

? ? 则 ( 3 ? f ? log 1 5 ? , ? 3 ?
D. a ? b ? c



10.已知点 M ?1,0? , A, B 是椭圆 值范围是( A. ? ,9 ? 3 ) B. ?1,9?

???? ???? ???? ??? ? x2 ? y 2 ? 1上的动点,且 MA?MB ? 0 ,则 MA?BA 的取 4

?2 ?

? ?

C. ? ,1?

?2 ? ?3 ?

D. ?

? 6 ? ,3? ? 3 ?

11.三棱锥 P ? ABC 中,已知 ?APC ? ?BPC ? ?APB ?

?
3

,点 M 是 ?ABC 的重心,且

??? ? ??? ? PA?PB ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? PB?PC ? PC ?PA ? 9 ,则 PM 的最小值为(
A.



4 3 3

B. 6

C.2

D. 2 2

12.已知函数 f ? x ? ? ? 数 m 的取值范围为( A. ?

? ?

ex , x ? 1 ,若方程 f ? x ? ? mx ?1 ? 0 恰有两个不同实根,则实 ? f ? x ? 2? , x ? 1 ?
) B. ?

? e ?1 ? ,1? ? ?1, e ? 1? ? 2 ?

? e ?1 ? ,1? ? ?1, e ? 1? ? 2 ?

C. ?

? e ?1 ? ,1? ? ?1, e ? 1? ? 3 ?

D. ? 第Ⅱ卷(共 90 分)

? e ?1 ? ,1? ? ?1, e ? 1? ? 3 ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.以下四个命题,正确的是 .

①命题“若 f ? x ? 是周期函数,则 f ? x ? 是三角函数”的否命题是“若 f ? x ? 是周期函数” , 则 f ? x ? 不是三角函数;②命题“存在 x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是“对于任意 x ? R ,
2

x2 ? x ? 0 ” ; ③在 ?ABC 中, “ sin A ? sin B ” 是 “A? B” 成立的充要条件; ④若函数 f ? x ?
在 ? 2015,2017? 上有零点,则一定有 f ? 2015??f ? 2017? ? 0 . 14.在 ?ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 的离心率 e ? .

7 ,若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆 18

15.在直角梯形 ABCD , AB ? CD , DC / / AB , AD ? DC ? 1 , AB ? 2 , E , F 分别为

AB, AC 的中点,点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DE 上变动(如图所示).若

??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? ED ? ? AF ,其中 ? , ? ? R ,则 2? ? ? 的取值范围是



16.已知三棱锥 O ? ABC , A, B, C 三点均在球心为 O 的球表面上, AB ? BC ? 1 ,

?ABC ? 120? ,三棱锥 O ? ABC 的体积为

5 ,则球 O 的表面积是 4



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , cos 2B ? 5cos ? A ? C ? ? 2 . (1)求角 B 的值; (2)若 cos A ?

1 , ?ABC 的面积为 10 3 ,求 BC 边上的中线长. 7

18. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 ,
2 2 . Sn ? b12 ? b2 ? …? bn

an?1 ? an 8 1 ? n ? N ? ? ,设 bn ? , ? n ?1 an?1 ? an an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证: S n ?

1 ; 4
n ?1

n (3)若数列 ?cn ? 满足 cn ? 3 ? ? ?1?

?2n ?? ( ? 为非零常数) ,确定 ? 的取值范围,使

n ? N ? 时,都有 cn?1 ? cn .
19. (本小题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 中,点 P 在平面 ABCD 内的射影 H 在棱 AD 上, PA ? PD ,底面

ABCD 是梯形, BC / / AD , AB ? AD ,且 AB ? BC ? 1 , AD ? 2 .

(1)求证: 平面PAB ? 平面PAD ; (2)若直线 AC 与 PD 所成角为 60 ? ,求二面角 A ? PC ? D 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F , 0? , F2 ?1,0? ,短轴的两个端点分别为 B1, B2 . 1 ? ?1 (1)若 ?F 1B 1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴为 2,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,且 F 1P ? FQ 1 ,求 直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? a ln x ? (1)当 a ? ?

????

????

a ?1 2 x ?1 . 2

1 ?1 ? 时,求 f ? x ? 在区间 ? , e ? 上的最值; 2 ?e ?

(2)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (3)当 ?1 ? a ? 0 时,有 f ? x ? ? 1 ?

a ln ? ?a ? 恒成立,求 a 的取值范围. 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,半 圆 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? , ? ? ? (1)求半圆 C1 的普通方程; (2)设动点 A 在半圆 C1 上,动线段 OA 的中点 M 的轨迹为 C2 , C2 与直线 y ? 3x ? 2 交 点为 D ,求点 D 的直角坐标. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 m, n ? R , f ? x ? ? x ? m ? 2x ? n . (1)求 f ? x ? 的最小值; (2)若 f ? x ? 的最小值为 2,求 m ?
2

?? ? ,? . ?2 ? ?

n2 的最小值. 4

试卷答案 一、选择题 1-5: ACCBD 二、填空题 13.③ 三、解答题 17.(1)由条件知,即 2cos B ? 5cos B ? 3 ? 0 ,解得 cos B ?
2

6-10: DCBAA

11、12: CD

14.

3 8

15. ??1,1?

16. 64?

又 0 ? B ? ? ,∴B ?

?
3

1 或 cos B ? ?3 (舍去) , 2

.

由①②知, b ? 7 , c ? 5 ,由余弦定理得, a ? 5 ? 7 ? 2 ? 5 ? 7 ?
2 2

1 ? 8 , BC 边上的中 7

线 AD ? 5 ? 4 ? 2 ? 5 ? 4 ?
2 2

1 ? 21 . 2

18.(1)?

an?1 ? an 8 2 2 ,∴an?1 ? an ? 8 ? n ? 1? ,则 ? n ?1 an?1 ? an
2

2 2 2 2 2 2 2 2 an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? … ? ? a2 ? a1 ? ? a1 ? 8 ? ?n ? ? n ? 1? ? … ? 2 ? ? +9= ? 2n ? 1?

∴an ? 2n ?1? n ? 2? ,当 n ? 1 时, a1 ? 2 ?1 ? 1 ? 3 也适合,∴an ? 2n ?1? n ? N? ? .
2 (2) bn ?

1 1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?, 2 2 an ? 2n ? 1? 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n 4n ? n ? 1? 4 ? n n ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ?1 ∴Sn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? . 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 4 ? n ? 1 ? 4
n (3)? Cn ? 3 ? ? ?1? n ?1

? 2n ,∴Cn?1 ? Cn ,对 n ? N? 恒成立.
n ?1

即3

n ?1

? ? ?1? ? 2n ?1 ? 3n ? ? ?1?
n n n

? 2n ,即 3n ?1 ? 3n ? ? ?1? ? 2n ?1 ? ? ?1?
n

n ?1

? 2n ? 0 ,

?2? 3n n ? 3? 3 ? ? ?1? ? 3?2 ? 0 ,∴? ?1? ? ? 即 2? ,即 ? ?1? ? ? ? ? ? n 3?2 ? 2?
n

n

n ?1

,对 n ? N ? 恒成立,

当 n 为偶数时, ? ? ? ?

?3? ? ?2?

n ?1

对 n ? N ? 恒成立, ? ?

?3? ? ?2?
n ?1

n ?1

3 3 ? ? ,∴? ? ? , 2 2

当 n 为奇数时, ? ? ?

?3? ? ?2?

n ?1

对 n ? N ? 恒成立, ?

?3? ? ?2?

? 1 ,∴? ? 1 ,

又已知 ? ? 0 ,∴?

3 3 ? ? ? ? ? 1 且 ? ? 0 ,∴? 范围是 ?? | ? ? ?且? ? 0? . 2 2 ? ?

19.(1)? PH ? 平面ABCD , AB ? 平面ABCD ,∴PH ? AB ,

? AB ? AD , AD ? PH ? H , AD, PH ? 平面PAD ,

∴AB ? 平面PAD ,又 AB ? 平面PAB , ∴平面PAB ? 平面PAD .
(2)以 A 为原点,如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

? PH ? 平面ABCD ,∴z轴//PH ,
则 A ? 0, 0, 0? , C ?11 , , 0? , D ? 0, 2, 0? ,设 AH ? ? , PH ? h ? 0 ? a ? 2, h ? 0? ,

??? ? ??? ? ??? ? ∴P ? 0, a, h? , AP ? ? 0, a, h ? , DP ? ? 0, a ? 2, h ? , AC ? ?1,1,0? ,
? PA ? PD ,∴ AP?DP ? a ? a ? 2? ? h2 ? 0 ,? AC 与 PD 所成角为 60 ? ,

??? ? ??? ?

???? ??? ? ∴cos ? AC , DP ??

a?2 2 ? ? a ? 2 ? ? h2
2

?

1 2 2 ,∴? a ? 2 ? ? h ,∴? a ? 2?? a ?1? ? 0 , 2

? 0 ? a ? 2 ,∴a ? 1 ,? h ? 0 ,∴h ? 1 ,∴P ? 0,1,1? ,

??? ? ??? ? ??? ? ???? ∴AP ? ? 0,1,1? , AC ? ?1,1,0? , PC ? ?1, 0, ?1? , DC ? ?1, ?1,0? ,设平面 APC 的法向

量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ? ? ? n?AP ? y ? z ? 0 由 ? ???? ,得平面 APC 的一个法向量为 n ? ?1, ?1,1? , n ? AC ? x ? y ? 0 ? ? ??? ? ? ? m?PC ? x ? z ? 0 设平面 DPC 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,由 ? ???? ,得平面 DPC 的一个法向 ? ?m?DC ? x ? y ? 0
量为 ?1,1,1? ,

∴cos ? m, n ??

m?n 1 ? ,? 二面角 A ? PC ? D 的平面角为钝角, m n 3

1 ∴ 二面角 A ? PC ? D 的余弦值为 ? . 3

20.(1) ?F 1B 1B2 为等边三角形,则

? 2 4 a ? 2 2 2 ? ? ? a ? b ? 3 b 3x 2 ?c ? 3b ? 3 ? ? ? C : ? 3 y 2 ? 1; ? ? 2 2 ? 4 ? ? a ?b ?1 ? c ?1 ? b2 ? 1 ? 3 ?
(2)容易求得椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1,当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不 2

? y ? k ? x ? 1? ? 符合题意;当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? ,由 ? x 2 得 2 ? ? y ?1 ? 2

? 2k

2

? 1? x 2 ? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1?

2 ? k 2 ? 1? ???? 4k 2 ? 0, 设 P ? x1 , y1 ? , 则 x1 ? x2 ? , , x ?x ? Q ? x2 , y2 ? , F1P ? ? x1 ? 1, y1 ? , 2k 2 ? 1 1 2 2k 2 ? 1 ???? ???? ???? ???? ???? , , ? F P ? FQ ∴ F1P?FQ ? 0 ,即 FQ ? x ? 1, y ? ? 1 1 1 1 2 2

? x1 ?1?? x2 ?1? ? y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? x2 ?
?1 ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 ?
k2 ?

7k 2 ? 1 ? 0 ,解得 2k 2 ? 1

1 7 ,即 k ? ? ,故直线 l 的方程为 x ? 7 y ?1 ? 0 或 x ? 7 y ?1 ? 0 . 7 7

1 1 x2 1 x x2 ? 1 ? 1 ,∴f ′ 21.(1)当 a ? ? 时, f ? x ? ? ? ln x ? .? f ? x ? 的 ? x? = ? ? ? 2 2 4 2x 2 2x
定义域为 ? 0, ??? ,∴ 由 f ′ ? x? ? 0 ,得 x ? 1 ,∴f ? x ? 在区间 ? , e ? 上的最值只可能在 e

?1 ? ? ?

5 1 e2 ?1? ?1? 3 1 f ?1? , f ? ? , f ? e ? 取到,而 f ?1? ? , f ? ? ? ? 2 , f ? e ? ? ? , 4 2 4 ?e? ? e ? 2 4e

f ? x ?max ? f ? e ? ?
(2)f ′ ? x?

5 1 e2 ? , f ? x ?min ? f ?1? ? . 4 2 4
①当 a ? 1 ? 0 , 即 a ? ?1 时,f ′ x ?? 0, ??? , ∴f ? x ? ? x? ? 0 ,

a ? 1? x 2 ? a ? , ? x

在 ? 0, ??? 单调递减;②当 a ? 0 时, f ′ ? x? ? 0 ,∴f ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增;③当

?1 ? a ? 0 时,由 f ′ ? x? ? 0 得 x 2 ?

?a ,∴x ? a ?1

?a ?a 或x?? (舍) ,∴f ? x ? 在 a ?1 a ?1

? ?a ? ? ?a ? , ?? 递增,在 ? 0, ;综上,当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ??? 递增; ? ? ? ? a ?1 ? ? ? 上递减; a ? 1 ? ? ? ?
当 ?1 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 在 ? 0, ??? 递减. (3)由(2)知,当 ?1 ? a ? 0 时, f ? x ?min ? f ? ?

? ?a ? ? ?a ? ? a ? 1 , ?? ? ? 递增,在 ? ? 0, a ? 1 ? ? 上递减.当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ? ? ?

?

?a ? ? ? ,即原不等式等价于 a ? 1 ? ?

? ?a ? a ?a a ? 1 ?a a f? ? 1 ? ln ? a ,即 a ln ? ? ? 1 ? 1 ? ln ? ?a ? ,整理得, ? ? ? ? a ?1 ? 2 a ?1 2 a ?1 2 ? ?

ln ? a ?1? ? ?1

a?

1 ?1 ? ? 1 ,又? ?1 ? a ? 0 ,∴ a 的取值范围为 ? ? 1,0 ? . e ?e ?

22.解: (1)由互化公式 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,且 ? ? ?

?? ? , ? 得,半圆 C1 的普通方程: ?2 ? ?

x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 ? ?2 ? x ? 0, 0 ? y ? 4 ? .
2

(2)设 M ? x, y ? ,由中点坐标公式得曲线 C2 的普通方程为

? 3 1? 2 x 2 ? ? y ? 1? ? 1? ?1 ? x ? 0, 0 ? y ? 2 ? , 与直线 y ? 3x ? 2 联立, 所以点 D ? ? ? 2 ,2? ?或 ? ?

D ? 0,2? .
? ?3 x ? m ? n, x ? ? m ? ? ? x ? m ? n, ? m ? x ? n n? ? ?n ? ? f ? x? ? ? 23.解: (1) 在 ? , ?? ? ∴f ? x ? 在 ? ??, ? 是减函数, 2, 2? ? ?2 ? ? n ? 3 x ? m ? n, x ? ? 2
是增函数,∴ 当 x ?

n 时, f ? x ? 取最小值 2

n ?n? f ? ? ? m? . 2 ?2?

(2)由(1)知, f ? x ? 的最小值为 m ?
?

n n ,∴m ? ? 2 . 2 2
2

? 2 n2 ? 1 ? 2 n2 ? 1 ? n? n 当且仅当 m ? , 即 m ? 1, ? m, n ? R ,? m ? ? ? ?2 ? m ? ? ? ? m ? ? ? 2 , 4? 2 ? 4 ? 2? 4? 2 ?
n ? 2 时,取等号,∴4 ? m 2 ?

? ?

n2 ? ? 的最小值为 2. 4?


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