第四章理论分布与抽样分布(1).ppt_图文

第四章 理论分布与抽样分布
&4.1 事件与概率 &4.2 正态分布

&4.3 二项分布和普阿松分布
&4.4 抽样分布

&4.1 事件与概率
一、事件及其相互关系 (一)事件的意义
1.必然事件 2.不可能事件 3.随机事件 在一定条件下,可能发生,也可能不 发生的现象称为随机事件。

(二)、事件的相互关系
1. 和事件 事件A和事件B至少有一个发生,这 一事件称为和事件,记为“A+B”,读 作“或A发生,或B发生”。

2.积事件

事件A和事件B同时发生,这一事件 称为积事件,记为“AB”。 3.互斥事件(不相容事件)
事件A和事件B不能同时发生,这 一事件称为互斥事件,记为“A.B=V”

4.对立事件

若事件A与B是互不相容,且A+B为 必然事件,则称A为B的对立事件。
例如、“产品合格”A和“产品不合 格”B,A+B=必然事件,AB=不可能事 件。

5.完全事件系 若事件A1、A2、A3、…、An两两互斥, 且每次试验结果必发生其一,则称这n

个事件为完全事件系。

6.

事件的独立性

若事件A发生与否不影响事件B发生的 可能性,则称事件A和事件B相互独立。 例如花色与产量无关的例。

二 、概率的统计定义及估计方法
表3.1 在相同条件下水稻种子发芽试验结果
试验粒数(n)
发芽粒数(a)

5
5

10
8

50 100 200
44 91 179

500
452

1000
901

发芽频率(a/n) 1.0 0.8 0.88 0.91 0.895 0.904 0.901

(一)概率的统计定义 假定在相似条件下重复进行同一类试 验,调查事件A发生的次数a与试验总次数

n的比数称为频率(a/n),则在试验总次数n
逐渐增大时,事件A的频率愈来愈稳定的

接近一个定值P,则定义为事件A发生的
概率.记为
P(A)=p=a/n

概率的基本性质: 1、任何事件的概率都在0与1之间,即:

0≤P(A) ≤ 1 2、必然事件的概率等于1,即:
P(U)=1

3、不可能事件的概率等于0,即:
P(V)=0

(二)概率的运算方法

1.加法定理
两个互斥事件A和B的和事件的概 率等于事件A和事件B各自的概率之和, 既:P(A+B)=P(A)+P(B)
例如 有一批种子,其中二级占5%,一级占 10%,其余为三级,问三级种子占多少?

2.乘法定理 两个独立事件A和B的积事件的概 率等于事件A和事件B各自概率的乘积, 即: P(A×B)=P(A) ×P(B) 若一批玉米种子发芽率为0.9,发芽后能 出土的概率为0.8,求这批种子的出苗率?

P(A×B)=P(A) ×P(B)=0.9×0.8=0.72

3.对立事件的概率

若事件A的概率为P(A),那么对立 事件的概率 A 为: P( A )=1-P(A)
若一批种子发芽率为0.9,则不发芽率的概 率为1-0.9=0.1

4.完全事件系的概率

若有几个事件A1,A2,…..,An是试验的完 全事件系,则这些事件的概率之和为1。
即:P(A1+A2+… + An)

=P(A1)+P(A2) + … +(An)
=1

一批棉花纤维长度<28cm事件A1,概率 为0.2; 28-30cm事件A2,概率为0.6; >30cm 事件A3,概率为0.2;这三种情况构成一个完 全事件系,其概率之和为:

P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0. 2+0.6+0.2=1

三. 小概率事件实际不可能性
随机事件概率的大小客观地反映事件

在一次试验中发生的可能性的大小。概率
大表示该事件发生的可能性大;概率小,

说明该事件发生的可能性小;
农业研究中多采用5%、1%这两个标准 作为小概率事件。

&4.2 正态分布
一、正态分布的概念

正态分布或称高斯(Gauss)分布,
是连续性随机变量的一种最重要的理 论分布。

正态分布概率密度函数:

1 f(x )? e ?2 ?

1x ? ?2 ?( ) 2 ?

x
f ( x)

: 所研究的变数;

:x的函数值,称为概率密度函数;

? :总体平均数;
? :总体标准差
2 ? ? 其中 , 是两个常数,正态分布记为N( ? , ? 2) ,

表示具有平均数为 ?,方差为? 2 的正态分布。

二、正态分布曲线的特征:
1、正态分布曲线围绕算术平均数向左右两侧
作对称分布,所以它是一条对称曲线。

2、正态分布的算术平均数、中数及众数三者
合一,都位于?点。

3、正态分布的多数观察值集中于算术平均数?
的附近,离平均数愈远,相应的次数愈少, 在??-??≥3? 以外,次数极少。

4、正态分布曲线的形状完全取决于? 和? 两个参数。 ? 确定正态分布在X轴上的 中心位置,?确定正态分布的变异度。
5、正态分布概率密度函数曲线与X轴所围 成的全部面积必等于1;

6、正态分布曲线在 ??? 和? ? ? 处各有一 拐点。曲线两尾向左右伸展,永不接触 横 轴,x 的取值范围[-?,+ ?]。

三、正态分布的概率计算
?根据正态分布的性质,变量在两个定值间 取值的概率等于曲线与其x轴在该区间围成 的面积。

?因此概率的计算即正态分布概率密度函数 的定积分计算。 ? 应用,需将正态分布标准化。
N(?,?2) 是一个曲线系统。为了一般化的

正态分布的标准化 将随机变量x~ N(?,?
2

) 标准化,令

u?

x??

?

u称标准正态离差,表示离开平均数?有 几个标准差单位。

标准化正态分布函数:

?(u) ?

1 2 ?

e

1 ? u2 2

?(u) 称为标准化正态分布密度函数,即

? =0, ? =1时的正态分布记作N(0,1)

从N(?, ?2 )到 N(0,1),从几何意义上说,仅仅是将 变量x作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。

对标准正态分布方程计算从-∞到ui的累积
概率计算公式如下:

F ( u ? p ( u ? u ? ( u ) du N i) i) ??
u i ? ?

前人已计算出从-3到3之间 各个u值的FN(ui) 值,列入

P357附表2。

【例如】有一随机变数X服从正态分布, 平均数 =30,标准差 ? =5,试计算X小 于26,大于40,介于26-40区间的概率。

?

x小于26:

u?
查附表1,

x??

?

=(26-30)/5= -0.8

p ( x ? 26 ) ? p ( u ? ? 0 . 8 ) ? 0 . 2119

大于40:

u?

x??

?

=(40-30)/5=2

查表1, F(u=2)=0.9773 则

p ( x ? 40 ) ? 1 ? p ( x ? 40 ) ? 1 ? 0 . 9773 ? 0 . 02

x介于26与40之间:

p ( 26 ? x ? 40 ) ? p ( ? 0 . 8 ? u ? 2 ) ? F ( u ? 2 ) ? F ( u ? ? 0 . 8 ) ? 0 . 9773 ? 0 . 2119 =0.7654

【例如】已知某正态分布 ? =30, ? =5 ,试计 算x偏离平均数?达9.8和14.9 以上的概率?

( x ? ? ? 9 . 8 ) 和 p ( x ? ? ? 14 . 9 ) 计算 p
标准化
u 1? x?? ? x?30 ? 9 .8 ?1 .96

5 5 x?? x?30 14 .9 u2? ? ? ?2 .58 ? 5 5

?

查附表 2 ,得知它们对应的概率分别为 0.05 和 0.01,即
P(|x-μ|≥9.80)=P(|x-μ|≥1.96σ)=0.05 =P[(x-?)≥1.96σ]+P[(x-?)≤-1.96σ] P(|x-μ|≥14.90)=P(|x-μ|≥2.58σ)=0.01 =P[(x-?)≥2.58σ]+P[(x-?)≤-2.58σ]

以上两式等号右侧的前一项为右尾概率,后一 项为左尾概率,其和概率为两尾概率。附表2 列出的就是两尾概率。

&4.3 二项分布和泊松分布
一、二项总体与二项分布

在独立重复试验中,总体的某个性状每
一次试验只有非此即彼两个可能结果,这种 A 非此即彼事件所构成的总体叫二项总体,也 叫0,1总体。

当每次独立的从二项总体抽取n个个 体,这n个个体:“此”事件出现的次数 X可能有0、1、2、….n,共有n+1种,这n+1 种可能性有它各自的概率,组成一个分布, 此分布叫二项概率分布或简称二项分布。 二项分布是一种离散型分布。

例如,观察玉米播种后的出苗数,出苗记为“此” 事件,概率为 p ;不出苗记为彼事件,概率为 q 。

?若每窝播种5粒种子,则对每窝出苗情况的观 察结果会有如下几种可能:

X : 0 P: P(0)

1 P(1)

2 P(2)

3 P(3)

4 P(4)

5 P(5)

由这6种情况的相应概率组成的分布,就是 n=5时出苗数的二项分布。

二、二项分布的概率计算 1、二项分布的概率密度函数

现以玉米种子播种后的出苗和不出 苗为例,说明二项分布的概率密度函 数。出苗看作“此”事件,p=0.7, 不出 苗看作“彼”事件,q=0.3, 每窝中种子 的出苗与不出苗为对立事件。

?若每窝种1粒种子,相当于n=1, 则出苗数有2种情况即: x=0;x=1 相应的概率f(x=0)=q=0.3; 相应的概率为 f(x=1)=p=0.7.

?若每窝种2粒种子,相当于n=2, 则出苗数有3种情况:x=0, 1, 2, 相应的概率为: f(x=0)=qq=0.3?0.3=0.09 f(x=1)=pq+qp=2pq=2?0.3?0.7=0.42 f(x=2)=pp=0.7?0.7=0.49

?若每窝种3粒种子,n=3, 则出苗数有0,1,2,3四种情况, 其相应的概率为: f(x=0)=qqq=0.027 f(x=1)=pqq+qpq+qqp=3?0.7?0.3?0.3=0.189

f(x=2)=ppq+pqp+qpp=3?0.7?0.7?0.3=0.441
f(x=3)=ppp=0.7?0.7?0.7=0.343

由上面的分析可看出: (p+q)n=(p+q)1=0.3+0.7=1 (p+q)n=(p+q)2=p2+2pq+q2 =0.49+0.42+0.09=1 (p+q)n=(p+q)3=p3+3p2q +3pq2+q3 =0.343+0.441+0.189+0.027=1

n 0 0 n 1 1 n ? 1 i i n ? i n n 0 ( p ? q ) ? C p q ? C p q ? ? ? C p q ? ? ? C p q n n n n

二项式展开后的各项系数,正是从 n 个事物种抽 得x个的组合数即

n! C ? x!(n ? x)!
x n

由此得出二项分布中任何一项的概率通式:

f( x ) ? C p q
即为二项分布的概率函数

x x ( n ? x ) n

二项分布的概率累积函数:
FN ( x ? m) ? ? Cnx p x q n ? x
x ?0 m

且满足 ? C p q
x ?0 x n x

n

n? x

?1

由于变量x=0,1,2, …,n,为完全事件系,所 以这个分布的概率之和必等于1。

?

【例如】有一批玉米种子,其发芽 率为70%,如每窝播种4粒,问出 苗数为2和3时的概率分别为多少?

0 0 4 1 1 3 2 2 2 3 3 1 4 4 0 (q?p )4 ?C p q ? C p q ? C p q ? C p q ? C 4 4 4 4 4pq

出苗数为 2 概率:
2 2 2 2 2 C p q ? 6 ? 0 . 7 ? 0 . 3 ?0 .2646 4

出苗率为 3 概率:
3 3 1 3 1 C p q ? 4 ? 0 . 7 ? 0 . 3 ?0 .4116 4

例:某小麦品种在田间出现自然变异的概率为0.0045,
(1)调查100株,获得两株或两株以上变异植株的概率是多少? (2)期望有0.99的概率获得1株或1株以上的变异植株,至少应 调查多少株? n=100, p=0.0045 P(x≥2)=1- P(0)- P(1)=0.0751

P(0)=0.01
00 n P ( 0 ) ? C p ( 1 ? p ) n

n=1021(株)

三、二项分布的形状和参数

1、二项分布的形状B(n,p)
二项分布的形状决定于n和p的大小。如p=q,二项分布呈对称 分布;如p≠q 为偏斜分布。 (1)当p值较小且n不大时,分布是偏倚 的。随n的增大,分布趋于对称;

(2)当p值趋于0.5时,分布趋于对称。

2、二项总体的参数
对于一个给定的二项分布,n和p是常数。 二项总体的平均数、方差和标准差的计算公 式如下: ? ? x ? np 2 ???p (xi )xi ? ? x ? npq 2 2 ? ??p (xi )( xi ?? )

?

? x

?

npq

在n较大,np、nq较接近时,二项分布接近于正态分布;当n→∞时,二 项分布的极限分布是正态分布。

三、泊松分布
二项总体中稀有事件的概率分布不呈 二项分布,而是遵从另一种理论分布—— 泊松分布(poisson distribution) 1、统计定义 若变量x服从二项分布,当P很小,n→∞ 且np=m为一常数时,该二项分布的极限为普 阿松分布。

2、概率函数

m p(x) ? e ?m x! x ? 0 ,1, 2 ..., ?

x

其中m=np, e=2.71828 普阿松分布的平均数和方差都等于常数m,即:

? ? ?? m , ? ?m
2

3.泊松分布的概率计算
【例3.9】田间分区调查“岱字棉”的纯度, 每区一亩,调查了 310 个区,共发现杂株 341 株,试求变量x的概率分布。 首先求平均数=341/310=1.1株,即每区(亩) 出现杂株为 1.1株,这在种植密度上千株的一 亩棉田里,是一个很小的数,因此可以认为 不纯株出现的概率分布服从普阿松分布。

mx ?m p(x) ? e x!
P(x=0)=e-1.1=0.3329 P(x=1)=1.1×e-1.1=0.3662 P(x=2)=1.12/2×e-1.1=0.2014 P(x=3)=1.13/6×e-1.1=0.0738 P(x=4)=1.14/24×e-1.1=0.0203 P(x=5)=1.15/120×e-1.1=0.0045 P(x=6)=1.16/720×e-1.1=0.0008 P(x≥7)=1-∑60f(x)=1-0.9999=0.0001

泊松分布是一个偏斜分布,但随着m

的增大,分布渐趋对称,接近正态分
布。通常当m大于50时,可用正态分

布来处理普阿松分布的问题。

第四节 抽样分布
统计学:1、总体 样本 抽样分布

2、样本
一、抽样分布试验 复置抽样

总体

统计推断

不复置抽样





……. 样本1
x

样本2
x

样本n
x

例如,设有一个N=4的有限总体,其变 量值为2、3、3、4。
总体的平均数、方差和标准差
2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ( x ? ? ) / N ? ( 2 ? 3 ) ? ( 3 ? 3 ) ? ( 3 ? 3 ) ? ( 4 ? 3 ) / 4 ? 1 / 2 ? ? ?1 / 2 ? 0 . 707

x? ? ? ( 2 ? 3 ? 3 ? 4 ) / 4 ? 3 ? N

当以样本容量n=2进行独立抽样,
n 2 抽取的所有可能样本数 N ? 4 ? 16 ,

其平均数、方差和标准差如下表。

? (x ? x)
( n ? 1)

2

?(x ? x)
n

2

样本观察值x
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 2

∑x
4 5 5 6 5 6 6 7 5 6 6 7 6 7 7 8

3
3 4 2 3 3 4 2 3

3
4 2 3 3 4

2.0 2.5 2.5 3.0 2.5 3.0 3.0 3.5 2.5 3.0 3.0 3.5 3.0 3.5 3.5 4.0

x

s2
0.0 0.5 0.5 2.0 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 2.0 0.5 0.5 0.0

s 02
0.00 0.25 0.25 1.00 0.25 0.00 0.00 0.25 0.25 0.00 0.00 0.25 1.00 0.25 0.25 0.00

s
0.000 0.707 0.707 1.414 0.707 0.000 0.000 0.707 0.707 0.000 0.000 0.707 1.414 0.707 0.707 0.000

96

48

8.0

4.0

8.484

各样本均数总和之均数:
48 ? ? x ? ? 3 ? ? ? 16 16
x

2 s 以自由度(n-1)作分母计算的样本方差 之均数:
2 s ? 2 ? ? ? 8 / 16 ? 1 / 2 ? ? 2 s 16

2 s 以样本容量n作分母计算的样本方差 0 之均数: 2 S ? 0 2 ? ? ? 4 / 16 ? 1 / 4 ? ? 2 s 0 16

样本标准差S之均数: s ? ? ? 8 . 484 / 16 ? 0 . 530 ? ? s? 16

如果所有可能样本的某一统计数的 平均数等于该总体的相应参数,则称该 统计数为总体参数的无偏估计值 (unbiased estimate)。

? x 是
2

? 的无偏估计值;
的无偏估计值;

抽样结论

2 s ? ? 是

? 以n为分母得到的样本方差 无偏估计值; ? S不是

s

2 0

不是 ?

2



?的无偏估计值;
2

因此,为了得到? 的无偏估计值,估算样本 方差时,必须以自由度df=n-1而不用n做分 母。

二、样本平均数的分布
按上述抽样方法,再以n=4,从上述有

限总体2,3,3,4中抽出全部所有样本,同样可
以计算出所有样本的平均数、方差和标准差。

各种不同样本容量的样本平均数 x 的抽样分布
x
2 n=1

f 1

x
2.0 2.5

n=2

f
1 4 6 4 1

x
2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25

n=4

f
1 8 28 56 70 56

3

2

3.0 3.5

3.50
3.75 4.00

28
8 1

4

1

4.0

n=1;?2=1/2 f
6 5 4 3 2 1 0

n=2; ?2=1/4 f
70 60 50 40 30 20 10 0

n=4; ?2=1/8

f
2 1 0

2

3

4

x

2

3

4

x

2

3

4

x

各种不同样本容量 x 的分布图

从上述的表和图来看,从总体抽出的 全部所有样本的平均数,当n增大时,其方 柱形图逐渐趋向于正态分布曲线形状,说 明样本平均数是做正态分布的。

样本平均数分布的平均数 ? x、标准差 ? x 与其原总体平均数 ? 、标准差 ? 的关 系为: 2 ? ? 2 ?x ? ?x ? ?x ? ? n n

根据次数表,n=2抽样的样本平均数为:
f x 48 ? u? ? ? 3 ? ?
x

N

n

16

样本平均数的方差为:

?

2 2 ( f x ) 48 . 0 2 ? f x ? n 148 . 00 ? 2 ? 1 1 2 N ? 16 ? ? ? () / 2 ? x n N 16 4 2 n

?

当n=4时,同理可得:
f x 768 ? ?? ? ? 3 ? ?
x n N

256

2 2 ( f x ) 768 ? 2 f x ? 2336 ? 2 ? n 1 1 ? 2 N ? 256 ? ? ? ? () / 4 ? x n N 256 82 n

? ?x ? , n

? x 称为样本平均数的标准差,简称标准误 (standard error),度量平均数抽样误差的大小。

xn ? 从正态总体抽出的样本,x 1, x 2....

无论

样本容量的大小,其样本平均数 x 的抽 样分布必做成正态分布,具有平均数?x ? ?

和方差 ? 为:

2 x

? ?

2

n

,而且方差随样本容量 。

的增大而降低。平均数的分布一般记
?2 N (? , ) n

?如果总体不是正态分布,但如具有一 定量的 ?2和平均数?,那么,当样本容量 足够大时 ,从这一总体抽出的样本平均

数的抽样分布也必趋于近正态分布,具
有平均数 ? 和方差 n
?
2

,这称为中心极

限定理。

随着样本容量的增加,分布的集中程度增加了,说明方差减少了。

f

n= 9 n=4

n= 1
?-3? ?-2? ?-1? ? ?+1? ?+2? ?+3?

(二)样本平均数差数的抽样分布
设有两个总体:

N(?1,?1)

抽k个样本容量为n1 抽m个样本容量为n2

N (? ,? 2 2)
抽样试验表明:

表3.6 抽样平均数次数分布表

x1
2.0

f1
1

x2
1.0

f2
1

2.5
3.0 3.5 4.0 ∑

4
6 4 1 16

1.5
2.0 2.5 3.0

2
3 2 1 9

表3.7 样本平均数差数(d)的分布及其平均数与方差计算
(x 1 ?x 2)

f

f (x x 1? 2)

2 2 ? ? ? ? ( x ? x ) ? ( ? ? ? ) ( x ? x ) ? ( ? ? ? ) 1 2 1 2 f 1 2 1 2

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ∑

1 6 17 30 36 30 17 6 1 144

-1.0 -3.0 0.0 15 36 45 34 15 3.0 144

4.00 2.25 1.00 0.25 0.00 0.25 1.00 2.25 4.00 15.00

4.0 13.5 17.0 7.5 0.0 7.5 17.0 13.5 4.0 84.0

144 ?d ? ? 1 ? ?1 ? ? 2 144 2 2 84 7 ? 1 ? 2 2 ?d ? ? ? ? 144 12 n1 n2

若 x1 和x2所在总体呈正态分布,其平均数 分别为? 1 和?2 ,方差分别为?12 和?2 2,不论 样本容量大小,则两样本平均数的差数呈正态分 布,具有平均数?d 和方差?d2 。 样本平均数差数的平均数必等于两个总体平均 数的差数:

? ? ? d? 1? 2

样本平均数差数的方差必等于两个总体平均数 方差的总和: 2 2 ? ? 2 2 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ( ? ) d x x
1 2

n 1

n 2

三 二项总体的抽样分布
(一) 二项总体的分布参数
为了说明二项(0,1)总体的抽样分布特征,以总体内包 含5个个体为例,每一个体,y=0或y=1。若总体的变量 为:0,1,0,1,1,则总体平均数和方差为: μ=(0+1+0+1+1)/5=3/5=0.6 σ2=[(0-0.6)2+(1-0.6)2+(0-0.6)2+(10.6)2+(1-0.6)2]/5=0.24 σ=0.241/2 =0.49 二项总体的平均数为 μ= p 方差为 σ2= p(1-p)= pq 标准差为 ? x ? pq 其中p为二项总体中要研究的属性事件发生的概率,q=1-p。

(二) 样本平均数(成数)的抽样分布
从二项总体进行抽样得到样本,样本平均数(成数)的分布 为二项式分布。样本平均数抽样分布的参数为: 平均数 μx= p 方 差 σ2x= p(1-p)/n= pq/n 标准误 σx=(pq/n)1/2 样本观察值中有“0”和“1”两种观察值,将样本观察值 总加起来后除以样本容量(n)得到的平均数实际上就是 “1”所占的比例数,即成数,或百分数。

(三) 样本总和数(次数)的抽样分布 ? 从二项总体进行抽样得到样本,样本总和数 (次数)的分布为二项分布。样本总和数的抽样 分布参数为: 平均数 μ∑x= np 方 差 σ2∑x= npq= np(1-p) 标准误 σ∑x=(npq)1/2=[np(1-p)]1/2

[例]

棉田盲椿象危害棉株分为受害株与未受害株。假定调查 2000株作为一个总体,受害株为704株。计算出受害率p=35.2%, σ=47.76%。现从这一总体抽样,以株为单位,用简单随机抽样方 法,调查200株棉株,获得74株受害。观察受害率(就是成数,或 者说是样本平均数)py=74/200=37.0%,试问样本平均数与总体真 值的差数的概率为多少?

总体真值p=0.352,差数 = px-p=0.370-0.352=0.018 成数的标准差σx=(pq/n)1/2=0.034 二项式分布中当n大时计算比较繁复,但由于二项分布在np 及np大于5时,趋近于正态分布,本例样本较大可看为正 态分布,采用正态离差u查出概率。 u=(px-p)/σx =0.018/0.034=0.53 查附表3,当u=0.53,概率值为0.59,即获得这种|py-p|的概 率(两尾概率)为0.59 这就说明样本估计的受害率为37.0%有代表性(可以近似代 表总体的受害率)。

如果以次数资料(或称为“样本总和数资料” )表示也可得 到同样效果。总体调查2000株受害株有704株,调查200 株的理论次数应为

npx=200×0.352=70.4株 现观察受害株为74株(总和数), 差数=(npx-np)=70.4-74=-3.6株 u=(npx-np)/(npq)1/2= -3.6/6.754=0.53
查附表3,获得这种差数的概率为0.59。


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