椭圆综合训练


椭圆综合训练 【例 1】已知点 A,B 的坐标分别是 (0, 1) , (0,1) ,直线 AM , BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 1
(1)求点 M 轨迹 C 的方程 (2)若过点 D (2, 0) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 D、F 之间) ,试求 ODE 与 ODF 面积之比的取值范围(O 为坐标原点)
2

【 例 2 】 如 图 , 已 知 椭 圆

x2 y 2 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的 焦 点 a b
顶点分别为 F1 、 F2 、 B , 我们称 F1 BF2 为椭圆 C 的特征三角形. 特征三角形是相似的, 则称这 两个椭圆的 椭圆是 “相似椭圆” 且三角形的相似比即为 , 的相似比. 2 ( 1 ) 已 知 椭 圆 C : x + y2 = 1 和 1 4

和 上

如 果 两 个 椭 圆

C2 :

x2 y2 + = 1 ,判断 C2 与 C1 是否相似, 16 4

如 果 说 明 似 且 上 是 在,则

相似则求出 C2 与 C1 的相似比, 若不相似请 理由; (2)已知直线 l :

y = x + 1 ,与椭圆 C1 相

半短轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程, 在椭圆 Cb 否存在两点 M 、 N 关于直线 l 对称,若存 求出函数

f ( b ) = MN

的解析式.

(3)根据与椭圆 C1 相似且半短轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程,提出你认为有价值的 相似椭圆之间的三种性质(不需证明) ;

(1)椭圆 C2 与 C1 相似. 因为 C2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 2 3 的等腰三角形,而椭 解: 圆 C1 的特征三角形是腰长为 2,底边长为

3 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为
y = x + t , MN 中点为 ( x0 , y0 ) .

2 :1 .
2 2 (2)椭圆 Cb 的方程为: x + y = 1(b > 0) . 2 2

假定存在,则设 M 、 N 所在直线为

4b

b



y = x + t x2 y2 + 2 =1 2 b 4b

5 x 2 8 xt + 4(t 2 b 2 ) = 0 .

所以 x 0

=

x1 + x2 4t t = , y0 = . 2 5 5

中点在直线

y = x + 1 上,所以有 t = 5 .
3

( x1 x2 =

40 2 100 ) 20( 4b 2 ) 4 25 . 3 9 5b 2 = 5 5 9

f (b) = MN = 2 x1 x2 =

4 50 5 . 10b 2 (b > ) 5 9 3
b

2 2 (3)椭圆 Cb 的方程为: x + y = 1(b > 0) . 2 2

4b

两个相似椭圆之间的性质有: ① ②

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方;

分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比; 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合;

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. 【 例 3 】 椭 圆 C 的 中 心 坐 标 为 原 点 O , 焦 点 在 y 轴 上 , 焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 以 及 离 心 率 均 为

2 , 直线 l与 y轴交于点 P (0, m ), 与椭圆 C交于相异两点 A, B , 且 AP = λ PB. 2
(1)求椭圆方程; (2)若 OA + λ OB = 4OP, 求m 的取值范围。 (1)设椭圆 C 的方程: 解:

y2 x2 + = 1(a > b > 0), 则c 2 = a 2 b 2 , a2 b2

由条件知

a2 b2 2 c 2 2 c = = , = , 所以a = 1, b = c = , c c 2 a 2 2 故椭圆C的方程为y 2 + 2 x 2 = 1. 4分

(2)由 AP

= λ PB, 得OP OA = λ (OB OP),

∴ OA + λ OB = (1 + λ )OP . ∵ OA + λ OB = 4OP , ∴ λ + 1 = 4, λ = 3 . 设 l与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), y = kx + m , 2 2 2 x + y = 1, 得 ( k 2 + 2) x 2 + 2 kmx + ( m 2 1) = 0, 因此 = ( 2 km ) 2 4 ( k 2 + 2)( m 2 1)

= 4(k 2 2m 2 + 2) > 0,
则x1 + x 2 =



2km m2 1 , x1 x 2 = 2 . 2 k +2 k +1 x1 + x 2 = 2 x 2 , ∵ AP = 3PB,∴ x1 = 3 x 2 , 得 2 x1 x 2 = 3x 2 , 得3( x1 + x 2 ) 2 + 4 x1 x 2 = 0, ∴ 3( 2km 2 m2 1 ) +4 2 = 0, 2 k +2 k +2 整理得 : 4k 2 m 2 + 2m 2 k 2 2 = 0.

1 当m 2 = 时, 上式不成立. 4 1 2 2 2m 2 2 ∴m ≠ ,k = . 4 4m 2 1 由①式得 k 2 > 2m 2 2,

∵ λ = 3,∴ k ≠ 0, k 2 =

2 2m 2 > 0, 4m 2 1 1 1 所以 1 < m < 或 < m < 1. 2 2 1 1 即所求m的取值范围为(1, ) ∪ ( ,1) 14分 2 2


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