河北省永年县第二中学2015-2016学年高一12月月考数学试题


永年二中高一数学第二次月考数学试题
一、选择题
1.空间四点最多可确定平面的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 4 ) D.8

2.设集合 P ? {x| x2 ? 1} ,那么集合 P 的真子集个数是 ( A.3 B.4 C.7

3.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( ) A. ? 内的所有直线都与直线 a 异面 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 C. ? 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 ? 有公共点 4.函数 f ( x) ? a x?1 ? 4 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像过一个定点,则这个定点坐标是( A. (5,1) B. (1,5) C. (1,4) D. (4,1) )

5.点 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB,BC,CD,AD 的中点,若 AC=BD,且 AC 与 BD 所成角的大小为 90°, 则四边形 EFGH 是( A.梯形 ) B.空间四边形 C.正方形 D.有一内角为 60 的菱形
o

6.下列函数中,在 ?0, ? ? ? 上为减函数的是 A. f ?x? ? 3x B. f ?x ? ? log1 x
2

C. f ?x ? ?

x

D.

f ?x ? ? ?

1 x

7.如图 1,一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成 的相同的图形,俯视图是一个半径为 3 的圆(包括圆心) .则该组合体的表面积等于 ( ) A. 15 ? B. 18 ? C. 21? D. 24 ? ( )

8.如图,正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1ACC1 所成的角为 A. 90
?

B. 30

?

C.

60?

D. 45

?

9.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? lg x, 则 f ( f (

1 )) =( 100

)

A.

1 lg 2

B. ?

1 lg 2

C. lg 2 ) C.1∶3

D.- lg 2

10.正方体内切球与外接球体积之比为 ( A.1∶ 3 3 B.1∶3

D.1∶9

11.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线 ;③ CN 与 BM 成 60 °角; ④DM 与 BN 是异面直线 ,以上四个结论中,正确的是

(

) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

12.如图,正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕边 DE 旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线 BC∥平面 A′DE;②恒有直线 DE⊥平 面 A′FG,③恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE.其中正确命题的个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )

二、填空题
13.已知 y ? loga (a ? 0, 且a ? 1)在x ??2,4? 上的最大值比最小值多 1,则 a=
x



14.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是

cm .

3

?2 x , x ? 1 15.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (3) ? f (0) ? ?log3 x, x ? 1


2 4 2 3 4 正视图 侧视图 2 4 2 俯视图 (14 题)

16.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命 题: (1)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; (2)若 m , n 在平面 ? 内, m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; (3)若 ? // ? , l 在平面 ? 内,则 l // ? ; (4)若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l // ? ,则 m // n . 其中正确的命题是 . (填序号)

三、解答题
17.已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? x | 2a ? x ? a ? 1, a ? R 。
2

?

?

(Ⅰ)求 A ? B , (C R A) ? B ; (Ⅱ)若 C ? ? A ? B ? ,求实数 a 的取值范围.

18.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把是 BC 上的△ABD 折起,使∠BDC=90°. (1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)设 BD=1,求三棱锥 D﹣ABC 的表面积.

19.设 a>0,f(x)=

3x a + x 是 R 上的偶函数. a 3

(1)求 a 的值;(2)判断并证明函数 f(x)在[0,+∞)上的单调性;

20.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O,E 分别为 B1D,AB 的中点. (1)求证:OE∥平面 BCC1B1. (2)求证:平面 B1DC⊥平面 B1DE.

21. 如图, 在四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE ,BC ? 2, CD ? 2, AB ? AC . (1)求证: BE ? 面 ABC ; (2)设 ?ABC 为等边三角形,求直线 CE 与平面 ABE 所成角的正弦值.

22.在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? ,

PA ? 平面ABCD , E 为 PD 的中点, M 为 AD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 .
(1)求证: EM // 平面PAB ; (2)求证: PC ? AE ; (3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V .

1.空间四点最多可确定平面的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 解析:当四点确定的两条直线异面时,四点不共面,此时空间四点确定的平面个数最多,如三棱锥的顶点和底面上 的顶点,这四个点确定 4 个平面,故选 D. 2.设集合 P ? {x| x2 ? 1} ,那么集合 P 的真子集个数是 ( A.3 B.4 C.7 ) D.8

解析: x 2 ? 1 ? x ? ?1,所以 P ? ?1, ?1? .集合 P ? ?1, ?1? 的真子集有 ?,?1 ?,??1? 共 3 个.故 A 正确. 3.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( ) A. ? 内的所有直线都与直线 a 异面 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 C. ? 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 ? 有公共点 【答案】D 【解析】 试题分析:直线 a 不平行于平面 ? ,则 a 与平面 ? 相交或 a ? ? ,所以 D 正确. 4.函数 f ( x) ? a x ?1 ? 4 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像过一个定点,则这个定点坐标是( A. (5,1) 【答案】B 【解析】 B. (1,5) C. (1,4) D. (4,1) )

试题分析:令 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,则 x ? 1 时,函数 f ( x) ? a 0 ? 4 ? 5 ,即函数图象恒过一个定点 (1,5) ,故选 B. 5.点 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB,BC,CD,AD 的中点,若 AC=BD,且 AC 与 BD 所成角的大小为 90°, 则四边形 EFGH 是( ) o A.梯形 B.空间四边形 C.正方形 D.有一内角为 60 的菱形 【答案】C 解 析 : 如 图 所 示 : 因 为 点 E , F , G , H 分 别 为 空 间 四 边 形 ABCD 中 AB , BC , CD , AD 的 中 点 , 所 以

EF // HG//

1 1 AC , EH // FG // BD ,所以, EF ? FG ? GH ? HE ,并且所成角为直角,所以四边形为正方形. 2 2

6.下列函数中,在 ?0, ? ? ? 上为减函数的是 A. f ? x ? ? 3 x B. f ? x ? ? log 1 x
2

C. f ?x ? ?

x

D. f ? x ? ? ?

1 x

【答案】B 【解析】本题考查基本初等函数的单调性.

f ? x ? ? 3 x 是指数函数, 底数 3 ? 1, 是增函数;f ? x ? ? log 1 x
2

0?
是对数函数, 底数

1 1 ? 1, f ? x? ? x ? x2 2 是减函数;

是幂函数, 2 ? 0, 是增函数; f ? x ? ? ?

1

1 ?1 ? 0, ?0, ? ? ? 上为增函数.故选 B x 是反比例函数,比例系数 在

7.如图,一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形,俯视图是一个 半径为 3 的圆(包括圆心) .则该组合体的表面积等于( A. 15? B. 18? C. 21? ) D. 24 ?

解析: 由题意可知三视图复原的几何体是下部为圆柱, 上部为圆锥的几何体, 所以几何体的表面积为: π ( 3 ) +2 3
2

π ×2 3 +

1 ×2 3 π ×2 3 =21π 故选 C 2

8.如图,正方体

ABCD -A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1ACC1 所成的角为 (

)

A.

B.

C.

D.

【解析】选 D.如图,连接 BD 交 AC 于 O,连接 C1O,则∠BC1O 为直线 BC1 与平面 A1ACC1 所成 的角,BO=BC1,故∠BC1O= .

9.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? lg x, 则 f ( f (

1 )) 的值等于( 100

)

A.

1 lg 2

B. ?

1 lg 2

C. lg 2

D.- lg 2

【解析】因为 f ( f (

1 1 )) ? f (lg ) ? f (?2) ? ? f (2) ? ? lg 2 ,故选 D. 100 100

10.正方体内切球与外接球体积之比为

(

)

A.1∶ C.1∶3

B.1∶3 D.1∶9

【解析】选 C.设正方体棱长为 a,内切球半径为 R1,外接球半径为 R2.R1= ,R2=

a,

V 内∶V 外=



=1∶3

,故选 C.

11.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,

①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 是异面直线, 以上四个结论中,正确的是 ( )

A.①②③

B.②④

C.③④

D.②③④

【解析】选 C.由题可知,将正方体的平面展开图还原,①BM 与 ED 是异面 直线,故错误;②CN 与 BE 平行,故错误;③因为三角形 BEM 是等边三角 形,BM 与 BE 成 60°角,又因为 BE∥CN,所以 CN 与 BM 成 60°角,故正确; ④从图中显然得到 DM 与 BN 是异面直线,故正确.
12.如图,正三角形

ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕边

DE 旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线 BC∥平面 A′DE;②恒有直线

DE⊥平面 A′FG,③恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE.其中正确命题的个数为 (

)

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】 选 D.①根据 BC∥DE 知,恒有直线 BC∥平面 A′DE;②根据 DE⊥A′G,DE⊥FG 知, 恒有直线 DE⊥平面 A′FG;③根据直线 DE⊥平面 A′FG,DE?平面 A′DE 知,恒有平面 A′ FG⊥平面 A′DE.
x 13.已知 y ? log a (a ? 0, 且a ? 1)在x ? ? 2, 4? 上的最大值比最小值多 1,则 a=



【答案】2 或

1 2
1 log a 2 ? log a 4 ? 1, a ? . 2
cm .
3

log a 4 ? log a 2 ? 1, a ? 2. 当 0 ? a ? 1 时, 解析: 当 a ? 1 时,

14.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是
242 3 4 正视图 2 4 2 俯视图 (第 14 题) 侧视图

【 解 析 】 此 几 何 体 是 一 个 组 合 体 , 上 面 上 一 个 圆 台 , 下 面 是 半 个 球 . 故 其 体 积

1 V? V V ? ? ? 3 ? ( 22? ? 2 ?4 圆台 ? 半球 3
15.已知函数

2

f ? x? ?

?

2 ? ? 4 ) ? 3

21 ?2 3 ? 4 3


2x , x ?1 x log3 , x ?1 ,则 f ? 3? ? f ? 0 ? ?

解析:? 3 ? 1, 则 f ? 3? ? log3 3 ? 1 ,? 0 ? 1 ,则 f ? 0 ? ? 20 ? 1 所以 f ? 3? ? f ? 0 ? ? 2.

16.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
? (1)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; (2)若 m ? ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ;

(3)若 ? // ? , l ? (4)若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l // ? ,则 m // n . ? ? ,则 l // ? ; 其中正确的命题是 . (填序号) 解析: (1)不正确,面 ? , ? 可能相交。 (2)不正确,当直线 m, n 平行时, ? , ? 还可能相交;根据面面平行的判定 定理只有当 m, n 相交时, ? // ? 。 (3)正确,根据面面平行定义可知 l 与 ? 无公共点,即可知 l // ? 。 (4)正确,因 为 ? ? ? ? l ,可知 l ? ? ,又因为 l // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n 。综上可得 D 正确。 17.已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? x | 2a ? x ? a 2 ? 1, a ? R 。 (Ⅰ)求 A ? B , (CR A) ? B ; (Ⅱ)若 C ? ? A ? B ? ,求实数 a 的取值范围. 解析: (Ⅰ) A ? B ? ? x | 2 ? x ? 10? 因为 ?R A ? ? ??,3? ? ? 7, ?? ? 所以 ?R A ? B ? ? 2,3? ? ? 7,10 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? B ? ? x | 2 ? x ? 10?
?C ? A ? B

?

?

(2 分) (4 分) (6 分)

?

?

又 a 2 ? 1 ? 2a 恒成立,故 C ? ?

?a 2 ? 1 ? 10 即 a ? ?1,3? ?? ? 2a ? 2

(12 分)

18.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把是 BC 上的△ABD 折起,使∠BDC=90°.

(Ⅰ)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (Ⅱ)设 BD=1,求三棱锥 D﹣ABC 的表面积. 解: (Ⅰ)∵折起前 AD 是 BC 边上的高,∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC,∵AD?平面 ABD.∴平面 ADB⊥平面 BDC (Ⅱ)由(Ⅰ)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,∵DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA= , 从而 ,

所以三棱锥 D﹣ABC 的表面积为:

19.设 a>0,f(x)=

3x a + x 是 R 上的偶函数. a 3

(1)求 a 的值;(2)判断并证明函数 f(x)在[0,+∞)上的单调性; 【解析】(1)因为 f(x)为偶函数,故 f(1)=f(-1), 于是

9+a 2 9a 2+1 3 a 1 .因为 a>0,故 a=1. = ? = +3a,即 3a 3a a 3 3a
1 x -1).因为 3 为增函数,且 x2>x1, 3 x2+x1 1 1 <1,即 -1<0, 3 x2+x1 3 x2+x1

(2)设 x2>x1≥0,f(x1)-f(x2)=(3x2-3x1)(

故 3x2-3x1>0.因为 x2>0,x1≥0,故 x2+x1>0,于是

所以 f(x1)-f(x2)<0,所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数. 20.如图,在正方体

ABCD-A1B1C1D1 中,点 O,E 分别为 B1D,AB 的中点.

(1)求证:OE∥平面 BCC1B1. (2)求证:平面 B1DC⊥平面 B1DE. 【证明】(1)连接 BC1,设 BC1∩B1C=F,连接 OF, 因为 O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OF∥DC,且 OF=DC,又 E 为 AB 中点,所以 EB∥DC, 且 EB=DC,从而 OF∥EB,OF=EB,即四边形 OEBF 是平行四边形,所以 OE∥BF,又 OE?面 BCC1B1,BF?面 BCC1B1,所以 OE∥面 BCC1B1.

(2)因为 DC⊥平面 BCC1B1,BC1?平面 BCC1B1,所以 BC1⊥DC,又 BC1⊥B1C, 且 DC,B1C?平面 B1DC,DC∩B1C=C,所以 BC1⊥平面 B1DC,而 BC1∥OE,所以 OE⊥平面 B1DC,又 OE?平面 B1DE,所以平面 B1DC⊥平面 B1DE.
21 . 如 图 , 在 四 棱 锥 A ? BCDE 中 , 底 面 BCDE 为 矩 形 , 侧 面 ABC ? 底 面 B C D E,

BC ? 2, CD ? 2, AB ? AC .

(1)求证: BE ? 面 ABC ; (2)设 ?ABC 为等边三角形,求直线 CE 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解析: (1)∵底面 BCDE 为矩形 ∴ BE ? BC .∵侧面 ABC ? 底面 BCDE ,且交线为 BC , BE ? 平面 ABCD. ∴ BE ? 面 ABC . (2)由(1)可知 BE ? 面 ABC 。∵ BE ? 平面 ABE. ∴平面 ABE ? 底面 ABC ,且交线为 AB 。 取 AB 的中 H ,连接 EH .∵ ?ABC 为等边三角形 ∴ CH ? AB, CH ? 平面 ABE .∴ ?CEH 是直线 CE 与平面 ABE 所成角. 在矩形 BCDE 中, CE ? 6 . 在正 ?ABC 中, CH ? 3. ∴ sin ?CEH ?

CH ? CE

3 2 ? .. 2 6

22.在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平面ABCD , E 为 PD 的 中点, M 为 AD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 .

(1)求证: EM // 平面PAB ; (2)求证: PC ? AE ; (3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V . 解析: (1)因为 E 为 PD 的中点, M 为 AD 的中点,则在 ?PAD 的中, ME // PA 又 PA ? 平面PAB,ME ? 平面PAB 则 EM ∥平面 PAB . (2)证明:取 PC 中点 F ,连接 AF , EF .

在 Rt ?ABC 中, AB ? 2 , ?BAC ? 60? ,则 BC ? 2 3 , AC ? 4 . 而 PA ? 4 ,则在等腰三角形 APC 中 PC ? AF . ① 又在 ?PCD 中, PE ? ED, PF ? FC , 则 EF ∥ CD 因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,则 PA ? CD ,
? 又 ?ACD ? 90 ,即 CD ? AC ,则 CD ? 平面 PAC ,所以 CD ? PC

因此 EF ? PC . ②,又 EF ? AF ? F ,由①②知 PC ? 平面 AEF . 故 PC ? AE (3)由(1) (2)知 AC ? 4 , CD ? 4 3 , EF ?

1 CD ? 2 3 2
因此 EF 为三棱锥 E ? PAC 的高

因为 CD ? 平面 PAC , EF ∥ CD ,则 EF ? 平面 PAC 而 S Rt ?PAC ?

1 1 1 1 16 3 PA ? AC ? ? 4 ? 4 ? 8 故 VP ? AEC ? VE ? PAC ? S Rt?PAC ? EF ? ? 8 ? 2 3 ? 2 2 3 3 3


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