【人教A版】2.1.2指数函数及其性质教案

2.1.2 指数函数及其性质

一、教学目标

1.了解指数函数的概念,掌握指数函数的定义域、值域的求法;

2.会绘制指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质;

3.能利用指数函数的单调性比较幂的大小.

二、教学重难点

重点:有理数指数幂的运算

难点:

三、知识结构

课题名称 指数函数的概念
性质的应用 与指数函数有关的复合函
数 四、导入

重点 函数的图象 单调性、必过定点
求定义域

难点 函数的性质 比较大小
求值域

这节课我们一起来了解指数函数.

五、名师解析

知识点一:指数函数的概念

1.指数函数的定义

一般地,函数 y ? a x ( a >0,且 a ? 1)叫做指数函数,其中 x 是自变量.它的结构特征:

(1)底数:大于零且不等于 1 的常数;(2)指数:仅有自变量 x ;(3)系数: a x 的系数是 1.

2.指数函数的图象与性质
a ?1

0? a ?1

图象

定义域



值域

过定点



单调性

奇偶性

R (0,??)

( 0,1)

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

非奇非偶函数

例 1.下列函数中,哪些是指数函数?
(1) y ? 4x ;(2) y ? x4 ;(3) y ? ?4x ;(4) y ? (?4)x ; (5) y ? ? x ;(6) y ? 4x2 ;(7) y ? xx ; (8)y=(2a-1)x(a>12且 a≠1).

例 2.求下列函数的定义域与值域:
1
(1) y ? 2 x?4 ;

(2) y ? ( 2)? x . 3

例 3.当 a >0 且 a ? 1 时,函数 f (x) ? a x?2 ? 3必过定点________.
例 4.图中的曲线是指数函数 y=ax 的图象,已知 a 的值取 3 , 1 , 4 , 3 四个值,则相 10 3 5
应的曲线 C1,C2,C3,C4 的 a 的值依次是( )

A. 4 , 3 , 1 , 3

3

10 5

C. 1 , 3 , 4 , 3 10 5 3

例 5.解不等式: ( 1 )x2 ?2 ? 2 2

B.3 , 1 , 3 , 4

5 10

3

D.

3

,43,

3 5



1 10

巩固练习:

1.函数 y=(2a2-3a+2)·ax 是指数函数,则 a 的值________.

2.指数函数 f(x)的图象过点(-3, 1 ),则 f(2)=________. 8

3.函数 f (x) ? 1? a x?1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点 P

.

4.解不等式:(1)23?2x ? ( 1 )3x?4 ; 2

(2)a2x?1 ? a x?5 (a ? 0且a ? 1) .

知识点二:指数函数单调性的应用
1.比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判 断;
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间 值来比较.
2.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域
形如 y ? a f (x) 的函数的定义域就是 f (x) 的定义域.

求形如 y ? a f (x) 的函数的值域,应先求出 f (x) 的值域,再由单调性求出 y ? a f (x) 的值域.若 a 的范围不确定,则需对 a 进行讨论. 求 形 如 y ? a f (x) 的 函 数 的 值 域 , 要 先 求 出 u ? ax 的 值 域 , 再 结 合 y ? f (u) 确 定 出

y ? f (a x ) 的值域.
(2)判断复合函数的单调性
令 u ? f (x) , x ??m, n?,如果复合的两个函数 y ? au 与 u ? f (x) 的单调性相同,那么复

? ? 合后的函数 y ? a f (x) 在 m, n 上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),那和复合

? ? 函数 y ? a f (x) 在 m, n 上是减函数.

(3)研究函数的奇偶性

一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式子 f (x) 与 f (?x) 的关系,最后确

定函数的奇偶性.

二是图象法,作出函数图象或从已知函数图象观察,若图象关于原点或 y 轴对称,则函数具

有奇偶性.

例 6.比较下列每组中两个数的大小:

(1)1.72.5 ,1.73 ;

(2) 0.8?0.1 , 0.8?0.2 ;

(3)1.70.3 , 0.93.1 .

例 7.讨论函数 f(x)=( 1 )x2-2x 的单调性,并求其值域. 3

例 8.求函数 y=( 1 )x+( 1 )x+1 的值域. 42

巩固练习:

1.比较下列各题中两个值的大小:

(1)1.8-0.11,8-0.2;

(2)1.90.3, 0.73.1;

(3)a1.3,a2.5(a>0,且 a≠1).

2.求函数

f(x)=(

1

2
)x -6x+17

的定义域、值域、单调区间.

2

3.已知 9x ?10?3x ? 9 ? 0 ,求函数 y ? ( 1 )x?1 ? 4(1 )x ? 2 的最大值与最小值.

4

2

六、课后练习

1.下列各函数中,是指数函数的是( )

A.y=(-3)x

B.y=-3x

C.y=3x-1

2.函数 y= 4 ? 2x 的定义域是( )

A.(0,2]

B.(-∞,2]

C.(2,+∞)

3.函数①y=3x;②y=2x;③y=( 1 )x;④y=( 1 )x.的图象对应正确的为(

2

3

D.y=3x
D.[1,+∞) )

A.①-a ②-b ③-c ④-d

B.①-c ②-d ③-a ④-b

C.①-c ②-d ③-b ④-a

D.①-d ②-c ③-a ④-b

4.已知 f(x)=a ? x (a>0,且 a≠1),且 f(-2)>f(-3),则 a 的取值范围是(

A.a>0

B.a>1

C.a<1

) D.0<a<1

5.函数 y=( 1 )x2-3x+2 在下列哪个区间上是增函数(

)

2

A.(-∞, 3 ] 2

B.[ 3 ,+∞) 2

C.[1,2]

D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

6.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b

?a(x ?1) ?1, x ? ?1,

7.若函数

f(x)=

? ?a

?

x

,

x

?

?1

(a>0,且 a ? 1)是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范

围是

.

8.函数 y=( 2 ) 1?x 的单调递减区间是________. 3

9.若 ax+1>( 1 )5-3x(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围. a

七、课堂反馈


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