北京市一零一中学2018届高三3月月考数学(理)试题 Word版含答案

北京 101 中学 2018 届下学期高三年级 3 月月考数学试卷(理科)

一、选择题:共 8 小题,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 在复平面内,复数 z 满足 z(1+i)=2,则 z 的共轭复数对应的点位于( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ) )

2. 已知直线 l1:x+ay-1=0,l2: (a+1)x-ay=0,若 p:l1∥l2;q:a=-2,则 p 是 q 的( A. 充要条件 C. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 3. 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z=-2x+y 的最小值为( ? x ? 0, y ? 0 ?
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2



4. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺, 两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如 图所示,则输出的行值 n 为( )

A. 5
2 |x|

B. 4

C. 3 )

D. 2

5. 函数 y=2x -e 在[-2,2]的图象大致为(

-1-

6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有 ( )
2 4 A. A 6 ×A 5 种 2 B. A 6 ×5 种
4

2 C. C 6 ×5 种
4

2 4 D. C 6 ×A 5 种

7. 设函数 f(x)=Asin( ? x+ ? ) (A, ? , ? 是常数,A>0, ? >0) ,且函数 f(x)的部 分图象如图所示,则有( )

A. f ( ? B. f ( ? C. f (

3? 5? 7? )? f( )? f( ) 4 3 6 3? 7? 5? )? f( )? f( ) 4 6 3

3? 5? 7? ) ? f ( ) ? f (? ) 4 3 6

-2-

D. f (

3? 5? 7? ) < f (? ) ? f ( ) 4 3 6

8. 已知 A、B 是单位圆 O 上的两点(O 为圆心) ,∠AOB=120°,点 C 是线段 AB 上不与 A、B 重合的动点。MN 是圆 O 的一条直径,则 CM ? CN 的取值范围是( A. [ ? )

3 ,0) 4

B. [ ?

3 ,0] 4

C. [ ?

1 ,1) 2

D. [ ?

1 ,1] 2

二、填空题:共 6 小题,共 30 分。 9. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 的值为 _______。 10. 在极坐标系中,过点(2,

? )且与极轴平行的直线的极坐标方程是________。 2
2 1 ? 的最小值为__________。 x y

11. 已知 x>0,y>0,x+2y=1,则

12. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________。

13. 在(x+

a 5 ) (2x-1) 展开式中,各项系数之和为 4,则展开式中的常数项为_______。 x

14. 已知函数 f(x) ,对于给定的实数 t,若存在 a>0,b>0,满足: ? x ? [t-a,t+b],使 得|f(x)-f(t)| ? 2,则记 a+b 的最大值为 H(t) 。 (1)当 f(x)=2x 时,H(0)=_________; (2)当 f(x)=x 且 t∈[1,2]时,函数 H(t)的值域为__________。
2

-3-

三、解答题:共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. 在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足(2a-c)cosB=bcosC。 (I)求角 B 的大小; (II)若 ? ABC 的面积为

3 3 ,且 b= 3 ,求 a+c 的值. 4

16. 某中学有初中学生 1800 人,高中学生 1200 人。为了解学生本学期课外阅读时间,现 采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中 学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为 5 组:[0, 10) ,[10,20) ,[20,30) ,[30,40) ,[40,50],并分别加以统计,得到如下图所示的频率 分布直方图。

(I)写出 a 的值; (II)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生人数; (III)从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人,并用 X 表示其中初中生 的人数,求 X 的分布列和数学期望。 17. 如图, 四边形 ABCD 是梯形, AD∥BC, ∠BAD=90°, 四边形 CC1D1D 为矩形, 已知 AB⊥BC1, AD=4,AB=2,BC=1。

-4-

(I)求证:BC1∥平面 ADD1; (II)若 DD1=2,求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值; (III)设 P 为线段 C1D 上的一个动点(端点除外) ,判断直线 BC1 与直线 CP 能否垂直?并 说明理由。 18. 如图,已知椭圆 C: 0) ,|AF|=3。

x2 y 2 1 ? ? 1(a>b>0)的离心率为 ,F 为椭圆 C 的右焦点。A(-a, a 2 b2 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 O 为原点,P 为椭圆上一点,AP 的中点为 M。直线 OM 与直线 x=4 交于点 D,过 O 且平行于 AP 的直线与直线 x=4 交于点 E。求证:∠ODF=∠OEF。 19. 已知函数 f(x)=

ln(2 x ) 。 x

(I)求 f(x)在区间[1,a](a>1)上的最小值; (II)若关于 x 的不等式 f (x)+mf(x)>0 只有两个整数解,求实数 m 的取值范围。 20. 设数列{an}满足: ①a1=1; ②所有项 an∈N*; ③1=a1<a2<…<an<an+1<…。 设集合 Am={n|an≤m, m∈N*) ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm,即 bm 是数列{an}中满足不等式 an≤m 的所有项的
2

-5-

项数的最大值。我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列。 例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3。 (I)若数列{an}的伴随数列为 1,1,2,2,2,3,3,3,3……,请写出数列{an}; (II)设 an=4 ,求数列{an}的伴随数列{bn}的前 50 项之和; (III)若数列{an}的前 n 项和 S n ? n 2 ? c (其中 c 为常数) ,求数列{an}的伴随数列{bm} 的前 m 项和 Tm。
n-1

-6-

参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,共 40 分。 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 C 7 D 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分。 9. 6 13. 30 10. ? sin ? ? 2 11. 8 12. 8 3 +6 ?

14. 2; [ 6 ? 2 ,2) ? [2 3 ,4]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 (解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 15. (本小题 13 分) 解: (I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴2acosB=bcosC+ccosB, ∴2 sinAcosB=sin BcosC+sinBcosC=sin(B+C)=sin( ? -A)=sin A ∵0<A< ? ,∴sin A>0,∴2cosB=1,cosB= 又∵0<B< ? ,∴B=

1 2

? …………………………………………7 分 3

(II)S=
2 2 2

1 1 3 3 3 acsinB= ac = ,ac=6, 2 2 2 2
2 2 2

b =a +c -2accosB=a +c -ac=(a+c) -3ac=3 ∴(a+c) =21,∴a+c= 21 16. (本小题 13 分) (I)解:a=0.03。 ……………3 分
2

…………………………13 分

(II)解:由分层抽样,知抽取的初中生有 60 名,高中生有 40 名。…………4 分 因为初中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为(0.02+0.005)×10=0.25, 所以所有的初中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 0.25×1800=450 人, ………………6 分 同理,高中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为(0.03+0.005)×10=0.35, 学生人数约有 0.35×1200=420 人。 所以该校所有学生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有 450+420=870 人。 ………………8 分 (III)解:初中生中,阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005×10=0.05,样本人 数为 0.05×60=3 人。 同理,高中生中,阅读时间不足 10 个小时的学生样本人数为(0.005×10)×40=2 人。
-7-

故 X 的可能取值为 l,2,3. ………………9 分 则 P(X=1)=
1 2 2 1 3 C3 ? C2 C3 ? C2 C3 3 3 1 , P ( X=2 ) = , P ( X=3 ) = ? ? ? 。 3 3 3 10 5 C5 C5 C5 10

所以 X 的分布列为: X P 1 2 3

3 10

3 5

1 10

………………12 分 所以 E(X)=1×

3 3 1 9 +2× +3× = 。 10 5 10 5

………13 分

17. (本小题 14 分) (I)证明:由 CC1D1D 为矩形,得 CC1∥DD1,又因为 DD1 ? 平面 ADD1,CC1 ? 平面 ADD1, 所以 CC1∥平面 ADD1, ………………2 分

同理 BC∥平面 ADD1,又因为 BC ? CC1=C,所以平面 BCC1∥平面 ADD1, ……3 分 又因为 BC1 ? 平面 BCC1,所以 BC1∥平面 ADD1。 ………4 分

(II) 解: 由平面 ABCD 中, AD∥BC, ∠BAD=90°, 得 AB⊥BC, 又因为 AB⊥BC1, BC ? BC1=B, 所以 AB⊥平面 BCC1,所以 AB⊥CC1,又因为四边形 CC1D1D 为矩形,且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相 交一点,所以 CC1⊥平面 ABCD,因为 CC1∥DD1,所以 DD1⊥平面 ABCD。 过 D 在底面 ABCD 中作 DM⊥AD,所以 DA,DM,DD1 两两垂直,以 DA,DM,DD1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系, ………………6 分

则 D(0,0,0) ,A(4,0,0) ,B(4,2,0) ,C(3,2,0) ,C1(3,2,2) ,D1(0, 0, 2) , 所以 AC1 =(-l,2,2) , AD1 =(-4,0,2) 。 设平面 AC1D1 的一个法向量为 m=(x,y,z) ,

-8-

由 m· AC1 =0,m· AD1 =0,得 ? 令 x=2,得 m=(2,-3,4)

?? x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?? 4 x ? 2 z ? 0,
…………8 分

易得平面 ADD1 的法向量 n=(0,1,0) 。 所以 cos<m,n>=

m?n 3 29 。 ?? | m || n | 29
3 29 。…………10 分 29

即平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值为 (III)结论:直线 BC1 与 CP ………………11 分

证明:设 DD1=m(m>0) , DP = ? DC1 ( ? ∈(0,1) ) , 由 B(4,2,0) ,C(3,2,0) ,C1(3,2,m) ,D(0,0,0) , 得 BC1 =(-l,0,m) , DC1 =(3,2,m) , DP = ? DC1 =(3 ? ,2 ? , ? m) , CD =(-3, -2,0) , CP = CD + DP =(3 ? -3, 2 ? -2, ? m) 。
2

………………12 分
2

若 BC1⊥CP,则 BC1 · CP =-(3 ? -3)+ ? m =0,即(m -3) ? =-3,因为 ? ≠0, 所以 m =2

3

?

+3>0,解得 ? >1,这与 0< ? <l 矛盾。 ……………14 分

所以直线 BC1 与 CP 不可能垂直。 18. (本小题 14 分)

解: (I)设椭圆 C 的半焦距为 c。依题意,得

c 1 ? ,a+c=3。 a 2
解得 a=2,c=1。 所以 b =a -c =3,
2 2 2

[2 分]

x2 y2 ? ?1 所以椭圆 C 的方程是 4 3

[4 分]

(II)解法一:由(I)得 A(-2,0) 。设 AP 的中点 M(x0,y0) ,P(x1,y1) 。
-9-

设直线 AP 的方程为:y=k(x+2) (k≠0) ,将其代入椭圆方程,整理得 (4k +3)x +16k x+16k -12=0, 所以-2+x1=
2 2 2 2

[6 分] [7 分]

? 16k 2 . 4k 2 ? 3

所以 x0=

6k ? 8k 2 ,y0=k(x0+2)= 2 , 2 4k ? 3 4k ? 3
[8 分]

即 M(

6k ? 8k 2 , 2 ). 2 4k ? 3 4 k ? 3

6k k2 ? ? 3 , 所以直线 OM 的斜率是 ? 8 2 4k 4k ? 3
所以直线 OM 的方程是 y=-

[9 分]

3 3 x。令 x=4,得 D(4,- ) 。 4k k

[10 分] [11 分]

直线 OE 的方程是 y=kx。令 x=4,得 E(4,4k) 。 由 F(1,0) ,得直线 EF 的斜率是

4k 4k = ,所以 EF⊥OM,记垂足为 H; 4 ?1 3

3 1 因为直线 DF 的斜率是 k = ? ,所以 DF⊥OE,记垂足为 G. k 4 ?1 ?
在 Rt△EHO 和 Rt△DGO 中,∠ODF 和∠OEF 都与∠EOD 互余, 所以∠ODF=∠OEF. 19. (本小题 13 分) 解: (1)f '(x)= [14 分]

[13 分]

1 ? ln(2 x) e ,令 f '(x)>0 得 f(x)的递增区间为(0, ) ; 2 x 2

令 f '(x)<0 得 f(x)的递减区间为( ∵x∈[l,a],则当 1<a≤ f(1)=ln2; 当 a> (1) , ∴若

e ,+ ? ) , 2

……………2 分

e 时,f(x)在[1,a]上为增函数,f(x)的最小值为 2

. . . . . . . . . . . 3分

e e e ln 4 时,f(x)在[1, )上为增函数,在( ,a]上为减函数,f(2)= =ln2=f 2 2 2 2 e <a≤2,f(x)的最小值为 f(1)=ln2, 2
ln 2 a , a

………4 分

若 a>2,f(x)的最小值为 f(a)=

………5 分

综上,当 1<a≤2 时,f(x)的最小值为 f(1)=ln2;

- 10 -

当 a>2,f(x)的最小值为 f(a)=

ln 2 a . a

……………6 分

(2)由(1)知,f(x)的递增区间为(0,

e e e ) ,递减区间为( ,+∞) ,且在( , 2 2 2
1 )=0. 2

+ ? )上 ln2x>lne=1>0,又 x>0,则 f(x)>0. 又 f(
2

∴m>0 时,由不等式 f (x)+mf(x)>0 得 f(x)>0 或 f(x)<-m,而 f(x)>0 解集为 (

1 ,+ ? ) ,整数解有无数多个,不合题意; 2
2

……………9 分,

m=0 时,由不等式 f (x)+mf(x)>0 得 f(x)≠0,解集为(0, 整数解有无数多个,不合题意;
2

1 1 ) ? ( ,+∞) , 2 2

. . . . . 10 分

m<0 时,由不等式 f (x)+mf(x)>0 得 f(x)>-m 或 f(x)<0,∵f(x)<0 解集为(0,

1 2 )无整数解,若不等式 f (x)+mf(x)>0 有两整数解,则 f(3)≤-m<f(1)=f(2) , 2
∴-ln2<m≤-

1 ln6 3 1 ln6] 3
. . . . . . 13 分

综上,实数 m 的取值范围是(-ln2,20. (本小题 13 分) (I)1,3,6
n-1

………………3 分 ……………4 分

(II)由 an=4 ≤m,得 n≤l+log4m(m∈N*) 当 1≤m≤3,m∈N*时,b1=b2=b3=1

……………5 分 ……………………6 分 ……………7 分 …………………8 分

当 4≤m≤15,m∈N*时,b4=b5=…=b15=2 当 16≤m≤50,m∈N*时,b16=b17=…=b50=3 ∴b1+b2+…+b50=1×3+2×12+3×35=132 (III)∵a1=S1=1+c=1 ∴c=0

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1 由 an=2n-l≤m 得,n≤

∴an=2n-1(n∈N*)

……9 分

m ?1 (m∈N*) 2

因为使得 an≤m 成立的 n 的最大值为 bm, 所以 b1=b2=1,b3=b4=2,…,b2t-1=b2t=t(t∈N*) 当 m=2t-1(t∈N*)时; Tm=2·

1 ? (t ? 1) 2 1 2 ·(t-1)+t=t = (m+1) 2 4

. . . . . . . . . . . . . . 11 分

当 m=2t (t∈N*)时;

- 11 -

Tm=2·

1 1? t 2 ·t=t +t= m(m+2) 4 2

……………12 分

? (m ? 1) 2 (m ? 2t ? 1, t ? N *) ? ? 所以 Tm= ? 4 ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N *) ? 4 ?

…………13 分

- 12 -


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