高考数学一轮复习人教A版函数的奇偶性及周期性名师公开课省级获奖课件_图文

第三节 函数的奇偶性及周期性 基础盘查一 函数的奇偶性 (一)循纲忆知 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. (二)小题查验 1.判断正误 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0 ( √ ) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点 ( × ) (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x) 是偶函数 (√ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( √ ) 2. (人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x(1-x) 当 x≥0 时,f(x)=x(1+x),则 x<0 时,f(x)=________. 3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 1 3 的值是________ . 基础盘查二 函数的周期性 (一)循纲忆知 了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的 周期性. (二)小题查验 1.判断正误 (1)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期 (√ ) (2)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数 (√ ) 2.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2, -1 则f(8)-f(14)=________. 考点一 函数奇偶性的判断 (基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f( - x) = f(x)[或 f(-x)=-f(x)],那么函数 f(x)就叫做偶函数(奇函数). [提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件. [题组练透] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3 x; - 4-x2 (4)f(x)= ; |x+3|-3 2 ? ?x +x,x>0, (5)f(x)=? 2 ? ?x -x,x<0. 2 ? x ? -1≥0, 解:(1)∵由? 2 ? 1 - x ≥0, ? 得x=± 1, ∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)∵函数f(x)= 3-2x+ 不关于坐标原点对称, ∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. ? ?3? ? ? 2x-3的定义域为?2? , ? ? ? (3)∵f(x)的定义域为R, ∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 2 ? ?4-x ≥0, (4)∵由? ? ?|x+3|-3≠0, 得-2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = = x , |x+3|-3 ?x+3?-3 ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (5)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 关于原点对称,又当x>0时,f(x)=x2+x, 则当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. [类题通法] 判定函数奇偶性的常用方法及思路 1.定义法: 2.图象法: 3.性质法: (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶, “奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶, “偶÷ 偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. [提醒] (1)“ 性质法 ” 中的结论是在两个函数的公共 定义域内才成立的. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x) 的关系,只有对各段上的 x 都满足相同的关系时,才能判断 其奇偶性. 考点二 函数的周期性 (题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周 期函数,称T为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [一题多变] [典型母题] 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)= -f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求函数的最小正周期; (2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015). [解] (1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)的最小正周期为 4. (2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1. 又∵f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴ f(0)+ f(1)+ f(2) + f(3)= f(4) + f(5) + f(6)+ f(7)= … = f(2 012) +f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0. [题点发散 1] 本例条件若改为:设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x +2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时, f(x)=2x-x2.试计算 f(0)+f(1)+f(2) +…+f(2 015)的值. 解:因为 f(x+2)=f(x),所以周期 T=2. 又 f(0)=0,

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