1.1.4集合的全集与补集

第 4 课时 集合的全集与补集

(一)教学目标

1.知识与技能

(1)了解全集的意义.

(2)理解补集的含义,会求给定子集的补集.

2.过程与方法

通过示例认识全集,类比实数的减法运算认识补集,加深对补集概念的理解,完善集合

运算体系,提高思维能力.

3.情感、态度与价值观

通过补集概念的形成与发展、理解与掌握,感知事物具有相对性,渗透相对的辨证观点.

(二)教学重点与难点

重点:补集概念的理解;难点:有关补集的综合运算.

(三)教学方法

通过示例,尝试发现式学习法;通过示例的分析、探究,培养发现探索一般性规律的能力.

(四)教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

示例 1:数集的拓展

提出问题

示例 2:方程(x – 2) (x2 – 3) = 0 的解 学生思考讨论.

导入课题 集. ①在有理数范围内,②在实数范围

内.

挖掘旧知,导 入新知,激发
学习兴趣.

1.全集的定义.

如果一个集合含有我们所研究问题

中涉及的所有元素,称这个集合为全集,师:教学学科中许多时候,许 多问

记作 U.

题都是在某一范围内进行研究.

示例 3:A = {全班参加数学兴趣小 如实例 1 是在实数集范围内不

组的同学},B = {全班设有参加数学兴趣 断扩大数集. 实例 2:①在有理

小组的同学},U = {全班同学},问 U、A、 数范围内求解;②在实数范围

B 三个集关系如何.

内求解. 类似这些给定的集合 合作交流,探

形成概念

2.补集的定义

就是全集.

补集:对于一个集合 A,由全集 U 师生合作,分析示例

究新知,了解 全集、补集的

中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 生:①U = A∪B,

含义.

称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作 ②U 中元素减去 A 中元素就构

? UA. 即 ? UA = {x | x∈U,且 x? A }, Venn 图表示

成 B. 师:类似②这种运算得到的集合 B
称为集合 A 的补集,生师合作

U
A
? UA

交流探究补集的概念.

例 1 设 U = {x | x 是小于 9 的正整 学生先尝试求解,老师指导、点评. 加深对补集

应用举例 数},A = {1,2,3},B = {3,4,5,6},例 1 解:根据题意可知,U = {1,2,概念的理解,

深化概念 求 ? UA, ? UB.

3,4,5,6,7,8},所以 ? UA = {4, 初步学会求

例 2 设全集 U = {x | x 是三角形}, 5, 6, 7, 8},

集合的补集.

A = {x|x 是锐角三角形},B = {x | x 是钝

? UB = {1, 2, 7, 8}.

角三角形}. 求 A∩B, ? U (A∪B).

例 2 解:根据三角形的分类可知 A

∩B = ? ,

A∪B = {x | x 是锐角三角形或钝角

三角形},

? U (A∪B) = {x | x 是直角三角形}. 师:提出问题

生:合作交流,探讨

师生:学生说明性质①、②成立的

补集的性质: ①A∪( ? UA) = U,

理由,老师点评、阐述. 师:变式练习:求 A∪B,求 ? U (A ∪B)并比较与( ? UA)∩( ? UB)的结

性质探究

②A∩( ? UA) = ? .
练习 1:已知全集 U = {1, A={2, 4, 5},B = {1, 3,

2, 3, 4, 5, 6, 5, 7},求

果. A7∩},解 {2,:4,因6}为,?所UA以=A{∩1,(3?,

6, 7}, ? UB) = {2,

UB = 4},

能力提升. 探 究补集的性 质,提高学生

( ? UB),( ? UA)∩( ? UB). 总结:

( ? UA)∩( ? UB) = {6}.

的归纳能力.

( ? UA)∩( ? UB) = ? U (A∪B), ( ? UA)∪( ? UB) = ? U (A∩B).

师生合作分析例题.

例 2(1):主要是比较 A 及 S 的区

例 2 填空

别,从而求 ? SA .

(1)若 S = {2,3,4},A = {4,3},则 例 2(2):由三角形的分类找 B 的

? SA =

.

补集.

(2)若 S = {三角形},B = {锐角三角形},例 2(3):运用空集的定义.

则 ? SB =

.

例 2(4):利用集合元素的特征.

(3)若 S = {1,2,4,8},A = ? ,则 ? SA 综合应用并集、补集知识求解.

=

.

例 2(7):解答过程中渗透分类讨论

(4)若 U = {1,3,a2 + 3a + 1},A = {1,思想.

进一步深化 理解补集的

应用举例

3}, ? UA = {5},则 a

.

例 2(1)解: ? SA = {2}

(5)已知 A = {0,2,4}, ? UA = {–1, 例 2(2)解:? SB = {直角三角形或

1}, ? UB = {–1,0,2},求 B =

钝角三角形}

概念. 掌握补 集的求法.

.

例 2(3)解: ? SA = S

(6)设全集 U = {2,3,m2 + 2m – 3}, 例 2(4)解:a2 + 3a + 1 = 5,

A = {|m + 1| ,2}, ? UA = {5},求 m. a = – 4 或 1. (7)设全集 U = {1,2,3,4},A = {x | 例 2(5)解:利用韦恩图由 A 设 ? UA x2 – 5x + m = 0,x∈U},求 ? UA、m. 先求 U = {–1,0,1,2,4},再求 B
= {1,4}.

例 2(6)解:由题 m2 + 2m – 3 = 5

且|m + 1| = 3,

解之 m = – 4 或 m = 2.

例 2(7)解:将 x = 1、2、3、4 代

入 x2 – 5x + m = 0 中,m = 4 或 m = 6,

当 m = 4 时,x2 – 5x + 4 = 0,即 A =

{1,4}, 又当 m = 6 时,x2 – 5x + 6 = 0,即 A

= {2,3}.

1.全集的概念,补集的概念.

故满足条件:? UA = {1,4},m = 4; ? UB = {2,3},m = 6.

2. ? UA ={x | x∈U,且 x? A }. 3.补集的性质: 归纳总结 ①( ? UA)∪A = U,( ? UA)∩A = ? , ② ? U ? = U, ? UU = ? , ③( ? UA)∩( ? UB) = ? U (A∪B),
( ? UA)∪( ? UB) = ? U (A∩B)
课后作业 1.1 第四课时习案

引导学生自

师生合作交流,共同归纳、总结, 我回顾、反

思、归纳、总

逐步完善.

结,形成知识

体系.

学生独立完成

巩固基础、提 升能力

备选例题

例 1 已知 A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ? SB = {–1,0,2},用列举法 写出集合 B.

【解析】∵A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ∴S = {–3,–1,0,1,2,3,4,6}

而 ? SB = {–1,0,2},∴B = ? S ( ? SB) = {–3,1,3,4,6}. 例 2 已知全集 S = {1,3,x3 + 3x2 + 2x},A = {1,|2x – 1|},如果 ? SA = {0},则这样的 实数 x 是否存在?若存在,求出 x;若不存在,请说明理由.

【解析】∵ ? SA = {0},∴0∈S,但 0? A,∴x3 + 3x2 + 2x = 0,x(x + 1) (x + 2) = 0, 即 x1 = 0,x2 = –1,x3 = –2. 当 x = 0 时,|2x – 1| = 1,A 中已有元素 1,不满足集合的性质;

当 x= –1 时,|2x – 1| = 3,3∈S; 当 x = –2 时,|2x – 1| = 5,但 5? S.

∴实数 x 的值存在,它只能是–1.

例 3 已知集合 S = {x | 1<x≤7},A = {x | 2≤x<5},B = {x | 3≤x<7}. 求:

(1)( ? SA)∩( ? SB);(2) ? S (A∪B);(3)( ? SA)∪( ? SB);(4) ? S (A∩B). 【解析】如图所示,可得

A∩B = {x | 3≤x<5},A∪B = {x | 2≤x<7}, ? SA = {x | 1<x<2,或 5≤x≤7}, ? SB = {x | 1<x<3}∪{7}. 由此可得:(1)( ? SA)∩( ? SB) = {x | 1<x<2}∪{7}; (2) ? S (A∪B) = {x | 1<x<2}∪{7}; (3)( ? SA)∪( ? SB) = {x | 1<x<3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或 5≤x≤7}; (4) ? S (A∩B) = {x | 1<x<3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或 5≤x≤7}. 例 4 若集合 S = {小于 10 的正整数}, A ? S , B ? S ,且( ? SA)∩B = {1,9},A∩B =

{2},( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8},求 A 和 B. 【解析】由( ? SA)∩B = {1,9}可知 1,9? A,但 1,9∈B, 由 A∩B = {2}知,2∈A,2∈B. 由( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8}知 4,6,8? A,且 4,6,8? B 下列考虑 3,5,7 是否在 A,B 中: 若 3∈B,则因 3? A∩B,得 3? A. 于是 3∈ ? SA,所以 3∈( ? SA)∩B, 这与( ? SA)∩B = {1,9}相矛盾. 故 3? B,即 3∈( ? SB),又∵3? ( ? SA)∩( ? SB), ∴3? ( ? SA),从而 3∈A;同理可得:5∈A,5? B;7∈A,7? B. 故 A = {2,3,5,7},B = {1,2,9}. 评注:此题 Venn 图求解更易.


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