基向量法解决立体几何问题

基向量法解决立体几何问题
? 教学目标:能够用基向量法解决立体几何中证明求解的问题。

? 教学重点:基底建模. ? 教学难点:基底建模. ? 教学过程:
问:空间向量基本定理的内容是什么?它的作用是什么? 答:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p 存在惟一的有序实数 组 x、y、z,使 p=x a+ y b+ z c. 作用:能将空间中任意向量用其他不共面向量表示。 引例:已知空间四边形 OABC 中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且 OA=OB=OC.M, 分别是 OA,BC 的中点,G 是 MN 的中点. 求证:OG⊥BC.
【分析】 要证 OG⊥BC,只须证明 OG ? BC ? 0 即 可. 而要证 OG ? BC ? 0 ,必须把 OG 、 BC 用一组 已知的空间基向量来表示 . 又已知条件为∠ AOB= ∠ BOC= ∠ AOC, 且 OA=OB=OC , 因 此 可 选

OA, OB, OC 为已知的基向量.
【过程】略

总结:基底建模法. 根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示 出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法。 它是利用向量的 非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法. 例 1:平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两夹 角为 60°.(1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.

练习:三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点 E、 F 分别是棱 AB、BB1 的中点,求直线 EF 和 BC1 所成的角是

例 2:如图,60°的二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面 角的两个半平面内,且都垂直 AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8,求 CD 的长

?
A

C

BB
D

?

小结:在四面体、平行六面体等图形中,当不易找到(或作出)从一点出发的三 条两两垂直的直线建立直坐标系时,可采用“基底建模法”选定从一点发的不共 面的三个向量作为基底,并用它们表示出指定的向量,再利用向量的运算证明平行 和垂直,求解角和距离。 “基底建模法”可作为空间直角坐标系的一个补充(尤其 是在传统几何法难作辅助线,向量坐标法又难以建系时),掌握该方法可有效地 提高利用空间向量解决立体几何问题的能力 作业:P107 :T1,T2 板书设计:
基向量法解决立体几何问题 基向量法: 引例 例1 练习 例2

课后反思:


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