福建省晋江市季延中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

高二下学期期末考试数学(文)试题
一、选挥题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 CU A ? ( A. ?1,3? B. ?3,9? C. ?3,5,9? D. )

?3,7,9?


2. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x 则 f (1) 等于 设 当 ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

3. 已知命题 p : ?x ? R,使得x+ 是( )

1 ? 2 , 命题q : ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 , 下列结论正确的 x

A.命题“ p ? q ”是真命题 C. 命题“ p ? (?q) ”是真命题

B. 命题“ (?p) ? q ”是真命题 D. 命题“ (?p ) ? (?q ) ”是真命题

4.已知点 P(3,-1)和 Q(-1,2)在直线 ax ? 2 y ? 1 的同侧,则实数 a 的取值范 围是( A. (1,3) ) B. (??,1) ? (3, ??) C. (??,1) ) D. (3, ??)

?log 2 x , x ? 0, 5.已知函数 f ( x) ? ? x 则 f ( f ( 1 )) 的值是( 4 ?3 ? 1, x ? 0,
A.10 B. 10 9 C.-2 D. -5

6.已知函数 f ( x) ? 3x ? x3 ,当 x ? a 时取得极小值 b ,则 a ? b 等于( A. ?3 B. 0 C. 3 D.-3



1 1 1 1 8.如右上图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? ? 的值的程序框图, 2 4 6 2012

其中判断框内应填入的是( A. i ? 2012? C. i ? 1006?



B. i ? 2012? D. i ? 1006?

9.关于函数 f ( x) ? 3x ? 3? x ( x ? R) 有下列三个结论: ① f ( x) 的值域为 R ; ② f ( x) 是 R 上的增函数;

③对任意 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? 0 成立. 其中所有正确结论的序号为( A.①② B.①③ ) C.②③

D. ①②③ 2 3 10. 若点 A(m, n) 在第一象限, 且在直线 2 x ? 3 y ? 5 上, 则 ? 的最小值为 ( m n 24 26 A. B. C. 4 D. 5 5 5 11.函数 f ( x) ? x3 ? sin x ? 2 的图象关于( A.关于点 (2, 0) 对称 C.关于点 (?2, 0) 对称 )



B.关于点 (0, 2) 对称 D.关于点 (0, ?2) 对称

12.函数 f ( x) 满足: (ⅰ)?x ? R, f ( x ? 2) ? f ( x) , (ⅱ)x ???1,1? , f ( x) ? ? x2 ? 1. 给出如下三个结论:
1 3 ①函数 f ( x) 在区间 ?1, 2? 单调递减;②函数 f ( x) 在点 ( , ) 处的切线方程为 2 4

4 x ? 4y ? 5? 0;③若 ? f ( x ) ? ? 2 f ( x) ? a ? 0 有实根,则 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .
2

其中正确结论的个数是( A.0 B.1

) C.2 D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分.

?1? 13. 命题“ ?x ? R, ? ? ? 0 ”的否定是 ?2?
14.函数 f ( x) ?

x



3x 2 ? lg(3x ? 1) 的定义域是___________. 1? x
.

15.在区间 [?2, 2] 任取一个实数,则该数是不等式 x2 ? 1 解的概率为

16.给出下列命题: ①y?

x2 ? 3 x2 ? 2

的最小值为 2;

②若 a ? b ,则

1 1 ? 成立的充要条件是 a b

ab ? 0 ;

③若不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0 对任意 x ? (? 1,1)恒成立,则实数 a 的取值范围为
(?3,3) .

真命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程和演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分) 命题 P :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 (其中 a ? 0 ),命题 Q :实数 x 满足
x 2 ? 6 x ? 8 ? 0,

且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 对定义在实数集上的函数 f ( x) ,若存在实数 x0 ,使得 f(x0)=x0,那么称 x0 为函数 f(x) 的一个不动点. (1) 已知函数 f(x)=ax2+bx-b(a≠0)有不动点 1 与-3,求 a、b; (2) 若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax2+bx-b (a≠0)总有两个相异的不动点, 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 经调查, 某种商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天) 的函数,且销售 1 量近似满足 g(t)=80-2t (件),价格近似满足 f(t)=20-2|t-10| (元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 20. (本小题满分 12 分)

函数 f ( x) 的定义域为 D ? ? x x ? 0, x ? R? ,且满足对于任意的 x1 , x2 ? D , 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . (1)求 f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明你的结论; (3)当 f (4) ? 1 , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数时,若 f ( x ? 1) ? 2 ,求 x 的取值范 围。

21. (本小题满分 12 分) 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车 有 和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每 辆车需满载且只运送一次, 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利 润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公 司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润,最大利润是多少 元?

22. (本小题满分 14 分) 1 1 已知函数 f ( x) ? (m ? ) ln x ? ? x (其中常数 m ? 0 ). m x (1)当 m ? 2 时,求 f ( x) 的极大值;

季延中学 2012—2013 学年度第二学期期末试卷

高二数学(文)参考答案及评分标准

一、 解答题 17.命题 P :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 (其中 a ? 0 ),命题 Q :实数 x 满足
x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

17.









P : A ? (3a, a)







Q : B ? ? ??, ?4? ? ??2, ??? .………………………………4 分
? ? p 是 ? q 的必要不充分条件 ?p

是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 即

A



B

的 真 子

集.………………………………………8 分 ? a ? ?4或 ? 2 ? 3a ? a ? 0 的 取 值 ?a







? ??, ? ? ? ?? ?

2 ? 4 ? .………………………………………………12 分 , 0 ? 3 ?

18.对定义在实数集上的函数 f ( x) ,若存在实数 x0 ,使得 f(x0)=x0,那么称 x0 为函数 f(x)的一个不动点. 已知函数 f(x)=ax2+bx-b(a≠0)有不动点 1 与-3, (1) 求 a、b; (2) 若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax2+bx-b (a≠0)总有两 个相异的不动点,求实数 a 的取值范围. 18.解 (1)∵函数 f(x)的不动点为 1 与-3, ?a+b-b=1, ∴? ∴a=1, b=3.………………………………………………6 ?9a-3b-b=-3, 分 (2)∵函数 f(x)总有两个相异的不动点 ∴方程 ax2+(b-1)x-b=0(a≠0)有两个相异实根 ∴Δ>0 2 即(b-1) +4ab>0 对 b∈R 恒成立……………………………8 分 Δ1<0,即(4a-2)2-4<0…………………………………………10 分 ∴0<a<1.…………………………………………12 分 19.经调查,某种商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天) 1 的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t (件),价格近似满足 f(t)=20- |t-10| 2 (元).

(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 1 19.解:(1)y=g(t)· f(t)=(80-2t)· (20-2|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|) ??30+t??40-t?, 0≤t<10, =? …………………………………………………… ??40-t??50-t?, 10≤t≤20. 4分 (2)当 0≤t<10 时, y ? ?(t ? 5)2 ? 1225 ∴y 的取值范围是[1 200,1 225] 在 t=5 时, 取得最大值为 1 225…………………………………………………… 7 y 分 当 10≤t≤20 时, y ? (t ? 45)2 ? 25 ∴y 的取值范围是[600,1 200] 在 t=20 时,y 取得最小值为 600…………………………………………………… 10 分 ∴第 5 天,日销售额 y 取得最大值为 1 225 元 第 20 天, 日销售额 y 取得最小值为 600 元……………………………………… 12 分 20.函数 f ( x) 的定义域为 D ? ? x x ? 0, x ? R? ,且满足对于任意的 x1 , x2 ? D ,有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
(1)求 f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明你的结论;

(3)当 f (4) ? 1 , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数时,若 f ( x ? 1) ? 2 ,求 x 的取值范 围。

∴ f ( x) 在 D 上为偶函数…………………………………………8 分 (3)由 f (4 ? 4) ? f (4)? f (4), f (4) ? 1 得 f (16) ? 2 ……………………………9 分 ∵ f ( x) 在 D 上为偶函数

? f ( x ?1) ? 2 ? f ( x ?1) ? 2 ………………………………………10 分
∵ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数

?0 ? x ?1 ? 16从而 ?15 ? x ? 17且x ? 1即x ? (?15,1) ? (1,17) ………………………
12 分 21.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车 和 7 辆载重量为 6 吨的 乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一 次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每 辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司该如何合理计划 当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润,最大利润是多少元?

21. 解:设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,获得的利润为 z 元,z=450x+ 350y………2 分

?2x+y≤19, ? 由题意,x、y 满足关系式?10x+6y≥72, ?0≤x≤8, ?0≤y≤7,
x+y≤12, 作出相应的平面区域如图阴影部分所示………………8 分 z=450x+350y=50(9x+7y) ?x+y=12, 由? 得交点(7,5) ………………10 分 ?2x+y=19 ? zmax ? 450 ? 7 ? 350 ? 5 ? 4900 答:该公司派用甲型卡车 7 辆,乙型卡车 5 辆,获得的利润最大,最大为 4900 元???12 分 22.已知函数 f ( x) ? (m ?
1 1 ) ln x ? ? x (其中常数 m ? 0 ). m x

(1)当 m ? 2 时,求 f ( x) 的极大值; (2)试讨论 f ( x) 在区间 (0, 1) 上的单调性; (3)当 m??3, ? ?? 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点 P( x1, f ( x1 )) 、

Q( x2 , f ( x2 )) ,使
得曲线 y ? f ( x) 在点 P 、 Q 处的切线互相平行,求 x1 ? x2 的取值范围.

1 1 ) 和 (2, ? ?) 上 单 调 递 减 , 在 ( , 2) 单 调 递 2 2 减 ………………3 分 5 3 故 f ( x)极大 =f (2) ? ln 2 ? ……………………… 4 分 2 2 ( 2 ) 1 1 1 m? x 2 ? (m ? ) x ? 1 ( x ? m)( x ? ) m ? 1 ?1 ? ? m m ( x ? 0, m ? 0) … … … … f ?( x) ? ?? x x2 x2 x2 …5 分 1 ①当 0 ? m ? 1 时, 则 ? 1 , x ? (0, m) 时,f ?( x) ? 0 ;x ? (m, 1) 时,f ?( x) ? 0 故 m

∴ f ( x) 在 (0,

此时 f ( x) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, 1) 单调递减; 分 ②当 m ? 1 时,则

……………………6

1 ( x ? 1) 2 ? 1 ,故 x ? (0, 1) ,有 f ?( x) ? ? ? 0 恒成立, m x2

此时 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递减; ③当 m ? 1 时, 0 ? 则

………………………………7 分

1 1 1 ? 1 , x ? (0, ) 时,f ?( x) ? 0 ;x ? ( , 1) 时,f ?( x) ? 0 故 m m m 1 1 , 1 ) 调 递 此 时 f ( x) 在 (0, ) 上 单 调 递 减 , 在 ( 单 m m 减 ……………………8 分

(3)由题意,可得 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ( x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 )
m? 1 1 m? 1 m? m ? 1 ?1 ?1 ? 2 x1 x1 x2 x2 2


x1 ? x2 ? (m ? 1 ) x1 x2 m

?

………………………………9 分
x1 ? x2 2 ) 恒成立,又 x1 , x2 , m ? 0 2

∵ x1 ? x2 ,由不等式性质可得 x1 x2 ? (

∴ x1 ? x2 ? (m ?

1 x1 ? x2 2 )( ) m 2

? x1 ? x2 ?

4 1 m? m

对 m??3, ? ?? 恒 成

立 …………………11 分 1 1 (m ? 1)(m ? 1) ? 0 对 m??3, ? ?? 恒 令 g (m) ? m ? (m ? 3) ,则 g ?(m) ? 1 ? 2 ? m m m2 成立 ∴
g ( m)
10 3



?3,

? ??















g (m) ? g (3) ?

……………………………… 12 分 ………………………………13 分



4 1 m? m

?

4 6 ? g (3) 5


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