【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评二 圆锥曲线与方程

高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1

单元测评(二)

圆锥曲线与方程

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.F1、F2 是定点,|F1F2|=7,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=7,则 M 的轨 迹是( ) B.直线 D.圆

A.椭圆 C.线段

解析:由于点 M 满足|MF1|+|MF2|=|F1F2|,点 M 在线段 F1F2 上,故选 C. 答案:C x2 2 2.已知双曲线a2-y =1(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合, 则此双曲线的渐近线方程是( A.y=± 5x C.y=± 3x
2

) 5 B.y=± 5 x 3 D.y=± 3 x

x2 2 解析:∵y =8x 焦点是(2,0),∴双曲线a2-y =1 的半焦距 c=2,又∵ 虚半轴长 b=1 且 a>0, ∴a= 22-12= 3, 3 ∴双曲线的渐近线方程是 y=± 3 x. 答案:D 9 3.设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+a(a
1

高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 >0),则点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.不存在 ) B.线段 D.椭圆或线段

9 解析: 由|PF1|+|PF2|=a+a≥2 9=6, 当|PF1|+|PF2|=6 时轨迹为线段, 当|PF1|+|PF2|>6 时轨迹为椭圆. 答案:D 4. 抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是( 4 A.3 8 C.5 7 B.5 D.3 )

解析:设与直线 4x+3y-8=0 平行的直线方程为 4x+3y+c=0,与抛
?4x+3y+c=0, ? 物线联立方程组得? 消去 y 得 3x2-4x-c=0,Δ=(-4)2- 2 ?y=-x , ?

4 4×3×(-c)=0,解得 c=-3,则抛物线与直线 4x+3y-8=0 平行的切线 4 是 4x+3y-3=0,问题转化为两平行线间的距离,利用两平行线间的距离 4 |-3+8| 4 +3
2

公式得 d=

2=3,故选

4

A.

答案:A x2 y2 x2 y2 5.设 k<3,k≠0,则二次曲线 - =1 与 5 + 2 =1 必有( 3-k k A.不同的顶点 C.相同的焦点 B.不同的准线 D.相同的离心率 )

解析:当 0<k<3 时,则 0<3-k<3,
2

高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 x2 y2 ∴ - =1 表示实轴为 x 轴的双曲线,a2+b2=3=c2. 3-k k ∴两曲线有相同焦点; 当 k<0 时,-k>0 且 3-k>-k, x2 y2 ∴ + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆. 3-k -k a2=3-k,b2=-k.∴a2-b2=3=c2 与已知椭圆有相同焦点. 答案:C 6.(2013· 广东惠州一调)已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲 x2 2 线m+y =1 的离心率为( 30 A. 6 30 C. 6 或 7 ) B. 7 5 D.6或 7

解析:因 4,m,9 成等比数列,则 m2=36,∴m=± 6.当 m=6 时圆锥曲 x2 2 30 线为椭圆 6 +y =1,其离心率为 6 ;当 m=-6 时圆锥曲线为双曲线 y2- x2 6 =1,其离心率为 7,故选 C. 答案:C 7.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在抛物线 x2=y 的图象上,则使得△ ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( A.4 个 C.2 个 ) B.3 个 D.1 个

解析:由已知可得|AB|=2 2,要使 S△ABC=2,则点 C 到直线 AB 的距 |x+x2-2| 离必须为 2,设 C(x,x ),而 lAB:x+y-2=0,所以有 = 2,所 2
2 3

高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 以 x2+x-2=± 2,当 x2+x-2=2 时,有两个不同的 C 点;当 x2+x-2=- 2 时,亦有两个不同的 C 点. 因此满足条件的 C 点有 4 个,故应选 A. 答案:A 8.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的 焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 B.2 2 D.4 )

解析:设 P(a,b)为抛物线上在第一象限内的点,则 a+ 2=4 2,得 1 a=3 2, 因为点 P(a, b)在抛物线上, 所以 b=2 6, 所以 S△POF=2× 2×2 6 =2 3,故选 C. 答案:C x2 y2 π 9.已知双曲线a2- 2 =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的 离心率为( 2 3 A. 3 C. 3 ) 2 6 B. 3 D.2

2 π 解析:如图所示,双曲线的渐近线方程为:y=± a x,若∠AOB=3, π 2 3 则 θ=6,tanθ= a = 3 , ∴a= 6> 2.

4

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c 2 2 2 3 又∵c= 6+2=2 2,∴e=a= = 3 . 6 答案:A x2 y2 10.(2013· 四川卷)从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线, 垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴 的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( 2 A. 4 2 C. 2 1 B.2 3 D. 2
2

)

b? ? 解析:由已知,点 P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得 P?-c, a ?, ? ? b b2 ∵AB∥OP,∴kAB=kOP,-a=-ac,b=c, 2 ∴该椭圆的离心率 e= 2 ,选 C. 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.已知正方形 ABCD,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的 离心率为__________.
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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 解析:设正方形边长为 1,则|AB|=2c=1, 1 ∴c=2,|AC|+|BC|=1+ 2=2a, 1 2 2+1 c ∴a= 2 ,∴e=a= = 2-1. 2 +1 2 答案: 2-1 12.以抛物线 y2=8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x± 3y= 0 的双曲线方程为__________. 解析:抛物线 y2=8 3x 的焦点 F 为(2 3,0),设双曲线方程为 x2-3y2 4λ x2 y2 2 =λ, 3 =(2 3) ,∴λ=9,双曲线方程为 9 - 3 =1. x2 y2 答案: 9 - 3 =1 y2 x|x| 13.直线 y=x+3 与曲线 9 - 4 =1 的公共点的个数为__________个.

y2 x|x| y2 x2 y2 x|x| 解析:当 x≥0 时,方程 9 - 4 =1 化为 9 - 4 =1;当 x<0 时,9 - 4 y2 x2 y2 x|x| =1 化为 9 + 4 =1,∴曲线 9 - 4 =1 是由半个双曲线和半个椭圆组成的图

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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 y2 x|x| 形,结合图象可知(如图),直线 y=x+3 与曲线 9 - 4 =1 的公共点的个数 为 3 个. 答案:3 个 14.抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称,则 m 的取值 范围是__________. 解析:设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=m(x-3)对称, A,B 中点 M(x,y),则当 m=0 时,有直线 y=0,显然存在点关于它对称. 当 m≠0 时,
2 ? ?y1=x1, y1-y2 1 1 1 ? 2 ? = =2y=-m, x1-x2 y1+y2 ?y2=x2 ?

m? ?5 m 所以 y=- 2 ,所以 M 的坐标为?2,- 2 ?,
? ?

5 ? m? ∵M 在抛物线内,则有2>?- 2 ?2,
? ?

得- 10<m< 10且 m≠0, 综上所述,m∈(- 10, 10). 答案:(- 10, 10) 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15.(12 分)已知椭圆的中心在原点,焦点为 F1(0,-2 2),F2(0,2 2), 2 2 且离心率 e= 3 . (1)求椭圆的方程; (2)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中 1 点的横坐标为-2,求直线 l 斜率的取值范围.

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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 y2 x2 c 2 2 解:(1)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),由已知 c=2 2,又a= 3 , 解得 a=3,所以 b=1, y2 2 故所求方程为 9 +x =1.(6 分) (2)设直线 l 的方程为 y=kx+t(k≠0)代入椭圆方程整理得 (k2+9)x2+ 2ktx+t2-9=0,

?Δ=?2kt? -4?k +9??t -9?>0, 由题意得? 2kt - 2 ? k +9=-1,
解得 k> 3或 k<- 3.(12 分) 16.(12 分)已知动圆 C 过定点 F(0,1),且与直线 l1:y=-1 相切,圆 心 C 的轨迹为 E. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)已知直线 l2 交轨迹 E 于两点 P, Q, 且 PQ 中点的纵坐标为 2, 则|PQ| 的最大值为多少? 解:如图所示,(1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为 x2=4y.(4 分)

2

2

2

8

高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 (2)由题意易知直线 l2 的斜率存在,又抛物线方程为 x2=4y,当直线 AB 斜率为 0 时|PQ|=4 2. 当直线 AB 斜率 k 不为 0 时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
2 则有 x2 1=4y1,x2=4y2, 2 两式作差得 x2 1-x2=4(y1-y2),

即得 k=

x1+x2 t 4 =2,

t 则直线方程为 y-2=2(x-t),与 x2=4y 联立得 x2-2tx+2t2-8=0. 由根与系数的关系得 x1+x2=2t,x1x2=2t2-8, |PQ|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = t? ? ?1+ ?[4t2-4?2t2-8?] 4? ?
2

= ?8-t2??4+t2?≤6, 即|PQ|的最大值为 6.(12 分) x2 y2 17.(12 分)设双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 e,若右准 a2 线 l:x= c 与两条渐近线相交于 P,Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三 角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值; b2e2 (2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得弦长为 a ,求双曲线 C 的方程. a2 解:(1)双曲线 C 的右准线 l 的方程为:x= c ,与 x 轴的交点为 M,两 b 条渐近线方程为:y=± ax.
9

高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 ab? ab? ?a ?a ∴两交点坐标为 P? c , c ?,Q? c ,- c ?. ? ? ? ? 3 ∵△PFQ 为等边三角形,则有|MF|= 2 |PQ|(如图).
2 2

c2-a2 a2 3 ?ab ab? 3ab ? + ?,即 ∴c- c = 2 · = c? c c . ?c 解得 b= 3a,c=2a, c ∴e=a=2.(4 分) x2 y2 (2)由(1)得双曲线 C 的方程为a2-3a2=1. 把 y=ax+ 3a 代入得 (a2-3)x2+2 3a2x+6a2=0.
2 ? ?a -3≠0, 依题意? 4 2 2 ?Δ=12a -24?a -3?a >0, ?

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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 ∴a2<6,且 a2≠3. ∴双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为 ?x1-x2?2+?y1-y2?2= ?1+a2??x1-x2?2 = ?1+a2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 12a4-24?a2-3?a2 ?1+a ? . ?a2-3?2
2

b2e2 ∵ a =12a, 72a2-12a4 ∴144a =(1+a )· 2 , ?a -3?2
2 2

整理得 13a4-77a2+102=0. 51 ∴a2=2 或 a2=13, x2 y2 13x2 13y2 ∴双曲线 C 的方程为 2 - 6 =1 或 51 - 153 =1. (12 分) y2 18. (14 分)设椭圆方程为 x + 4 =1, 过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A,
2

→ 1 → → ?1 1? B,O 是坐标原点,点 P 满足OP=2(OA+OB),点 N 的坐标为?2,2?,当 l
? ?

绕点 M 旋转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; → (2)|NP|的最小值与最大值. 解:(1)直线 l 过点 M(0,1),设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 由 题 设 可 得 点 A 、 B 的 坐 标 是 方 程 组

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?y=kx+1 ? 2 y2 ?x + 4 =1

① ② 的解.

将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,

? ∴? 8 y +y = . ? 4+k
x1+x2=-
1 2 2

2k , 4+k2

→ 1 → → ?x + x y + y ? 1 2 1 2 ? 于是OP=2(OA+OB)=? , 2 ? ? 2 =?
? -k ?4+k
2,

4 ? ?,(6 分) 4+k2?
2

k , ?x=4- +k 设点 P 的坐标为(x,y),则? 4 y= ? 4+k ,
2

消去参数 k 得 4x2+y2-y=0

③ 当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③, 所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0.(8 分) 1 1 1 (2)由点 P 的轨迹方程知 x2≤16,即-4≤x≤4. → 1? ? 1? ? ∴|NP|2=?x-2?2+?y-2?2
? ? ? ?

1? ? 1 =?x-2?2+y2-y+4
? ? ? ?

1? 1 ? =?x-2?2+4-4x2

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1? ? 7 =-3?x+6?2+12,
? ?

→ 1 1 故当 x=4时,|NP|取得最小值,最小值为4. → 1 21 当 x=-6时,|NP|取得最大值,最大值为 6 .(14 分)

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