广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学届高三数学五月联考(模拟)试题文-精


2015-2016 第二学期高三联考数学(文科)试题
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分). 1.复数 (1 ? 2i) 2 (其中 i 为虚数单位)的虚部为( A. 4 B . ?4 C . 4i ) D. ? 4 i )

2.已知集合 A ? { y | y ? ( ) A. {0, }

1 2

x 2 ?1

, x ? R} ,则满足 A ? B ? B 的集合 B 可以是(
C. {x | 0 ? x ? }

1 2

B. {x | ?1 ? x ? 1}

1 2

D. {x | x ? 0}

3.各项为正的等比数列 ?an ? 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 log 2 a7 ?log 2 a 11 的值 为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1

4、已知平面向量 a ? (0, ?1), b ? (2, 2), ? a ? b ? 2 ,则 ? 的值为 A. 1 ? 2 B. 2 ? 1 C. 2 D.1

?

?

? ?

x+y-1≤0, ? ? 5 .不等式组 ?x-y+1≥0, ? ?y≥0
内,则 r 的最小值是( A ) 1

表示的平面区域内的点都在圆 x ? ( y ? ) ? r ( r ? 0)
2 2 2

1 2

5 2

B

1 2

C

D

5
≤φ ≤π )的部分图象, ) D.1

6.如图所示为函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0, 其中 A,B 两点之间的距离为 5,那么 f(2016)=( A. B.﹣ C.- 1

开始

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

n ? n ?1
第 6 题图

S ? ?3?



n 输出n
7. 执行如图所示的程序框图,则输出的结 果是( (A) 16 (B) 17 (C)1 4 ) (D)15
结束



1

8、 在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 在线段 BD 1 上, 且 上的动点,则三棱锥 M ? PBC 的体积为( A.1 B. ) C.

BP 1 M 为线段 B1C1 ? , PD1 2

3 2

9 2

D.与 M 点的位置有关

9.已知抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,点 P 为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥ l, 垂足为 A,|PF|=2,则直线 AF 的倾斜角为( A. B. C. ) D.

10.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线 l 与 a 2 b2

双曲线 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点,若 AB : BF2 : AF2 ? 3: 4:5 ,则双曲线的离 心率为( A.2 ) C. 13 D. 15

B.4

11.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则 一个质点从扇形的圆心起始,绕几何体的侧面运动一 周回到起点,其最短路径为

4? B.6 3 3 2? C.4+ D.6 3 12 . 设 函 数 y ? f ( x) 对 任 意 的 x ? R 满 足 f (4 ? x) ? f (? x) , 当 x ? (??,2] 时 , 有
A.4+

f ( x) ? 2 ? x -5.若函数 f ( x) 在区间 (k , k ? 1)(k ? Z) 上有零点,则 k 的值为
A.-3 或 7 B.-4 或 7 C.-4 或 6 D.-3 或 6

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? n (n ? 2) , 则数列 {an } 的通项公式 an ? _________

14.若直线 2ax ? by ?1 ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 经过曲线 y ? cos ? x ?1? 0 ? x ? 1? 的对称中心, 则

2 1 ? 的最小值为 a b
15. 已知 ?EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直, EA ? EB ? 3, AD ? 2,

?AEB ? 60? ,则多面体 E ? ABCD 的外接球的表面积为

.

2

1 1 ? 1 ? x ? , x ? [0, ] ? ?x ? 2 4 2 ? 5 ? 2a(a ? 0) 若存在 x1 , 16.已知函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? a cos x 1 2 ? , x ? ( ,1] ? 2 ? x?2

x2 ∈[0,1],使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.某商区停车场临时停车按时段收费, 收费标准为: 每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二 人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 甲停车付费恰为 6 元的概率; (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同, 求甲、 乙二人停车付费之和为 36 元的概率. 18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, =

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率 为 ,求 3 12

(2)若 c=2,求使△ABC 面积最大时 a,b 的值.

19.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D, E 分别为 A1 B1 , AA1 的中点,点

F 在棱 AB 上,且 AF ?

1 AB . 4

(1)求证: EF / / 平面 BDC1 ; (2)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比 为 1:15 ,若存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

20. 已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为 (1)求椭圆 M 的方程;

2 ,且一个焦点坐标为 ( 2 ,0) . 2

(2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A, B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行

3

四边形 OAPB ,其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点.求点 O 到直线 l 的距 离的最小值. y

21. 已知函数

f ? x ? ? e 2 x ? 1 ? 2 x ? kx 2

.

o

x

(1)当 k ? 0 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交圆

E

O 于点 D , DE ? AC ,交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F .
(Ⅰ )求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若

C
A

D

F

AC 2 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

O

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 3t ? 3, ? 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数,t ? R ) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴 ? ? y ? ?3t ? 2.

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,? ? [0, 2?) . (Ⅰ)求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l 的距离最短.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? f ( x ? 5)≥ m ? 1 有解,求实数 m 的取值范围;
f ? ab ? |a| ?b? ? f ? ?. ?a?

(Ⅱ)若 | a |? 1,| b |? 3 ,且 a ? 0 ,证明:

2015-2016 第二学期高三联考数学(文科)答卷

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)
4

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. _____________

14

______________ 15 _______________ 16 _______________

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)

18(本小题满分 12 分)

5

19. (本小题满分 12 分)

y 20. (本小题满分 12 分)

o

x

6

21. (本小题满分 12 分)

22(或 23 或 24)(本小题满分 10 分)

E

C
A

D F
7

O

B

2015-2016 第二学期高三联考数学(文科)参考答案 一.选择题 (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 B 9 D 10 C 11 D 12 D

二 填空题 13.

(每小题 5 分,共 20 分) 14

1 n(n ? 1) 2

3? 2 2

15

16?

16

?7 ? ,5 ? ?3 ? ?

三 解答题 17. (本小题满分 12 分) (1)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A ,
8

则 P ( A) ? 1 ? ( ?

1 5 1 )? . 3 12 4 1 . 4
4分 6分

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是

(2)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 . 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), 10 分 (22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形.
其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ? 18. (本小题满分 12 分) (1)∵A+C=π ﹣B,即 cos(A+C)=﹣cosB, ∴由正弦定理化简已知等式得: 整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB, 即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA, ∵sinA≠0,∴cosC=﹣ , ∵C 为三角形内角,∴C= (Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣ , ∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 4=a +b +ab≥2ab+ab=3ab, ∴ab≤ ,(当且仅当 a=b 时成立), ∵S= absinC= ab≤ , ,此时 a=b= . , ????12 分
2 2 2 2 2

4 1 ? . 16 4

12 分

=





????.. 6 分

∴当 a=b 时,△ABC 面积最大为 则当 a=b=

时,△ABC 的面积最大为

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 M,? AF ? 又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM , A1 D ? BM ,
9

1 AB ? F 为 AM 的中点, 4

? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD ? EF // BD,
? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ? EF // 平面 BC1 D

???6



(Ⅱ)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2

1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC
3 AC ? AC 2

?

1 AG 1 ? ? , 24 AC 16

?

AG 3 ? , AC 2

? AG ?

所以符合要求的点 G 不存在 20. (本小题满分 12 分) .

?????.12 分

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,则 c ? 2 .????1 分 a2 b2 x2 y2 c 2 ? ? 1 ??4 分 由e ? ? ,得 a ? 2, a 2 ? 4, b 2 ? 2 . ∴椭圆 M 的方程为 4 2 a 2 ⑵当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y ? kx ? m . ? y ? kx ? m ? 则由 ? x 2 y 2 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m2 ? 4 ? 0 . ?1 ? ? 2 ?4 ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 .① 设点 A, B, P 的坐标分别是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x0 , y0 ) . 4km ∵四边形 OAPB 为平行四边形,∴ x0 ? x1 ? x2 ? ? . 1 ? 2k 2 2m y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? .??6 分 1 ? 2k 2 2 2 x y 由于点 P 在椭圆 M 上,∴ 0 ? 0 ? 1 . 4 2
⑴由已知设椭圆 M 的方程为

10

从而

4k 2 m 2 2m 2 ? ? 1 ,化简得 2m 2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式.???8 分 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
|m| 1? k 2 ? 1 ? k2 1 1 2 2 .?10 分 ? 1? ? 1? ? 2 2 2 2 2(1 ? k ) 1? k

又点 O 到直线 l 的距离为 d ? 当且仅 当 k ? 0 时等号成立.

当直线 l 斜率不存在时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上. 从而点 P 的坐标为 (?2,0) 或 ( 2,0) ,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,∴点 O 到直线 l 的距离为1 . ∴点 O 到直线 l 的距离的最小值为 21. (本小题满分 12 分) (1)当 k ? 0 时, f ? x ? ? e 令 f ? ? x ? ? 0 ,则 2e 令 f ? ? x ? ? 0 ,则 2e
2x
2x

2 .????????????12 分 2
???1 分

? 1 ? 2 x , f ? ? x ? ? 2e 2 x ? 2 ,

? 2 ? 0 ,解得: x ? 0 , ? 2 ? 0 ,解得: x ? 0 ,
? 1 ? 2 x 的单调增区间为 ? 0, ?? ? ,
??.4 分 ??3 分

2x

所以,函数 f ? x ? ? e

2x

单调减区间为 ? ??, 0 ? . (2)由函数 f ? x ? ? e 则 f ? ? x ? ? 2e 令 g ? x? ? e
2x 2x

? 1 ? 2 x ? kx 2 ,

2x

? 2kx ? 2 ? 2 ? e 2 x ? kx ? 1? ,
??6 分

? kx ? 1 ,则 g ? ? x ? ? 2e 2 x ? k .

由 x ? 0 ,所以, ①当 k ? 2 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 为增函数,而 g ? 0 ? ? 0 , 所以 g ? x ? ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, 而 f ? 0 ? ? 0 ,所以 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立. ②当 k ? 2 时,令 g ? ? x ? ? 0 ,即 2e
2x

????9 分

1 k ? k ? 0 ,则 0 ? x ? ln . 2 2

即 g ? x ? 在 ? 0,

? 1 k? ? 1 k? ln ? 上为减函数,而 g ? 0 ? ? 0 ,所以, g ? x ? 在 ?0, ln ? 上小于 0. ? 2 2? ? 2 2?
? 1 k? ln 上为减函数,而 f ? 0 ? ? 0 ,故此时 f ? x ? ? 0 ,不合题 ? 2 2? ?
? ??12 分

即 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, 意. 综上, k ? 2 .

22(或 23 或 24)(本小题满分 10 分)

11

22.解析: (Ⅰ)连接 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC ,

OD // AE

..............3 分

又 AE ? DE ,∴ OD ? DE ,又 OD 为半径,∴ DE 是圆 O 的切线; ........5 分 (Ⅱ)过 D 作 AB ? DH 于点 H ,连接 BC ,则有 ?HOD ? ?CAB ,
cos ?HOD ? OH AC 2 ? cos ?CAB ? ? OD AB 5

...............7 分

设 OD ? 5x ,则 AB ? 10 x, OH ? 2 x , ∴ AH ? 7 x 由 ?AED ? ?AHD 可 得 A E ?
A F ? D F A E7 ? . D O 5

...............8 分

A? H 7

, x又

由 ?AEF ~ ?DOF , ...............10 分 ..........1 分

可 得

23.解析: (Ⅰ)由 ? ? 2sin ? , ? ? ? 0, 2? ? ,可得 ? 2 ? 2? sin ? , 所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (或 x2 ? ? y ? 1? ? 1 ) ,
2

.........3 分

? ? x ? 3t ? 3, 因为直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, t ? R ) , ? ? y ? ?3t ? 2
消去 t 得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 0 ; ..........5 分

(Ⅱ)因为曲线 C x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 是以 G (0,1) 为圆心,1 为半径的圆, 因为点 D 在曲线 C 上,所以可设点 D ? cos ? ,1 ? sin ? ? ?? ? ?0, 2?? ? , .......7 分

所以点 D 到直线 l 的距离为 d ? 因为 ? ? ?0, 2? ? ,所以当 ? ?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? , ........8 分 3? ?

? 时, d min ? 1 , 6

.........9 分 ........10 分

? 3 3? 此时 D 点的坐标为 ? ? 2 ,2? ?. ? ?

24.解析: (Ⅰ)因为 f ( x) ? f ( x ? 5) ? x ? 3 - x ? 2 ≤ ( x ? 3) ? ( x ? 2) ? 5 , 当且仅当 x≤ ? 2 时等号成立, 所以 m ? 1 ≤5 ,解得 ?4≤ m≤6 ; ...........5 分

12

(Ⅱ)证明:要证

f ? ab ?

| ab ? 3 | b ?b? ? f ? ? ,即证 ? ?3 , |a| ?a? |a| a

只需证 | ab ? 3 |?| b ? 3a | , 即证 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 , 又 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 ? a2b2 ? 9a2 ? b2 ? 9 ? (a2 ? 1)(b2 ? 9) , | a |? 1, | b |? 3 , 所以 (a 2 ? 1)(b2 ? 9) ? 0 , 所以 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 , 故原不等式成立. ....... ...10 分

13


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