二次函数与几何图形综合 专题练习题 教师版含答案

二次函数与几何图形综合 专题练习题 1.如图,直线 l 过 A(3,0)和 B(0,3)两点,它与二次函数 y=ax2 的图象在第一 象限内交于点 P,若△AOP 的面积为 3,求二次函数的解析式. 答案:解:易求直线 AB 的解析式为 y=-x+3, 设 P(t,-t+3)(0<t<3),∵△AOP 的面积为 3, 1 ∴ ·3·(-t+3)=3,解得 t=1,∴P 点坐标为(1,2), 2 把 P(1,2)代入 y=ax2 得 a=2,∴二次函数解析式为 y=2x2 2.如图,在直角坐标系中,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0), 1 B(0,2),抛物线 y= x2+bx-2 的图象过 C 点.求抛物线的解析式. 2 答案:解:过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,则∠CAD+∠ACD=90°. ∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OAB+∠CAD=90°, ∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD,由 ASA 可证△AOB≌△CDA, ∴CD=OA=1,AD=OB=2,∴OD=OA+AD=3,∴C(3,1). 1 1 ∵点 C(3,1)在抛物线上,∴1= ×9+3b-2,解得 b=- , 2 2 1 1 ∴抛物线的解析式为 y= x2- x-2 2 2 3.如图,已知抛物线 y=-x2+mx+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C, 点 B 的坐标为(3,0). (1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标; (2)点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点,当 PA+PC 的值最小时,求点 P 的坐标. 答案:解:(1)把点 B 的坐标(3,0)代入 y=-x2+mx+3 得 0=-32+3m+3,解 得 m=2,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点坐标为(1,4) (2)连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P,则此时 PA+PC 的值最小,由点 C(0,3),B(3,0),可 求直线 BC 的解析式为 y=-x+3,当 x=1 时,y=-1+3=2,∴当 PA+PC 的值 最小时,点 P 的坐标为(1,2) 4.二次函数 y=-x2+mx+n 的图象经过点 A(-1,4),B(1,0), 直线 y=-x+ b 经过点 B,且与二次函数 y=-x2+mx+n 交于点 D,过点 D 作 DC⊥x 轴于点 C. (1)求二次函数的解析式; (2)点 N 是二次函数图象上一点(点 N 在 BD 上方),过 N 作 NP⊥x 轴,垂足为 P, 交 BD 于点 M,求 MN 的最大值. 答案:解:(1)y=-x2-2x+3 1 1 1 (2)∵y=- x+b 经过点 B,∴- ×1+b=0,解得 b= , 2 2 2 1 1 1 1 ∴y=- x+ ,设 M(m,- m+ ),则 N(m,-m2-2m+3), 2 2 2 2 1 1 3 5 3 49 ∴MN=-m2-2m+3-(- m+ )=-m2- m+ =-(m+ )2+ , 2 2 2 2 4 16 49 ∴MN 的最大值为 16 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+bx+c 经过点(-1,8)并与 x 轴 交于 A,B 两点,且点 B 坐标为(3,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为点 P,求△CPB 的面积. 答案:解:(1)y=x2-4x+3 (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴P 点坐标为(2,-1), C 点坐标为(0,3),设对称轴与 BC 交于点 E, 易知直线 BC 的解析式为 y=-x+3,点 E 的横坐标为 2, 则 E 点的坐标为(2,1),∴PE=1-(-1)=2, 1 ∴S△CPB=S△CPE+S△PBE= ×2×3=3 2 6.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 D(0,3),其对称 轴为直线 x=4,点 C 为对称轴上一点,四边形 ABCD 为平行四边形,求抛物线的 解析式. 答案:解:∵四边形 ABCD 为平行四边形,点 D 坐标为(0,3), 点 C 为对称轴 x=4 上一点,∴AB=CD=4, 点 A 和 B 的坐标分别为(2,0),(6,0),设 y=a(x-2)(x-6), 1 1 由抛物线过(0,3)得 a= ,∴y= x2-2x+3 4 4 2 7.如图是函数 y= x2 的图象,点 A0 位于坐标原点,点 A1,A2,A3,…,An 在 y 轴 3 的正半轴上,点 B1,B2,B3,…,Bn 在二次函数位于第一象限的图象上,点 C1,C2, C3,…,Cn 在二次函数位于第二象限的图象上,四边形 A0B1A1C1,四边形 A1B2A2C2, 四边形 A2B3A3C3,…,四边形 An-1BnAnCn 都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=… =∠An-1BnAn=60°,则菱形 An-1BnAnCn 的周长为____. 答案:4n 8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A,B,C,则 ac 的值是____. 答案: -2 9.如图,四边形 ABCD 是菱形,点 D 的坐标是(0, 3),以点 C 为顶点的抛物线 y =ax2+bx+c 恰好经过 x 轴上 A,B 两点. (1)求 A,B,C 三点的坐标; (2)求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式. 答案:解:(1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,由抛物线的对称性可知 AE=BE,由 AAS 可证△AOD≌△BEC,∴OA=EB=EA.设菱形的边长为 2m, 在 Rt△AOD 中,m2+( 3)2=(2m)2,解得 m=1,∴DC=2,OA=1,OB=3,∴ A,B,C 三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2, 3) (2)设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+ 3, 代入 A 的坐标(1

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