2013NG2FX002三角函数与平面向量(复习巩固)教师

2013 暑期新高二数学强化专用讲义

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编码:2013NG2FX002

三角函数与平面向量
基础知识
三角函数 1.同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

sin? . cos?

2.正弦、余弦的诱导公式 k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;

k? ?

?

2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号.

3.和角与差角公式

s i n? ? ? ? s ?n c? ? ( ) i os ? o s ;s i n c ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

4.二倍角公式

sin 2? ? 2sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2
2?

5.三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期

T?

6. 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换 7.辅助角公式

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T ?

? . ?

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan? ?
平面向量 1. a 与 b 的数量积(或内积) a ? b ?| a | ? | b | cos? 2.平面向量的坐标运算

b a

(1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x 2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? 3.两向量的夹角公式

??? ?

??? ??? ? ?

x2 ? y2

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设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 cos? ? 4.向量的平行与垂直

a ?b ab

?

x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2 2

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .
a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
5.如果点在单位圆上,即点 P 在 x ? y ? 1 上,则可假设 P?cos? , sin ? ? .
2 2

典型例题
例 1.已知函数 f ( x) ? (1) 求 f ? ? 解析: (1) f ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ?R . 12 ? ?
(2)若 cos ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

?? 3 ? 3? ? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 f ? 2? ? ? . 3? 5 ? 2 ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

(2) f ? 2? ? 因为 cos ? ?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

24 7 , cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 25 25 ?? 7 ? 24 ? 17 ? 所以 f ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? . ??? ? ? 3? 25 ? 25 ? 25 ?
所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 例 2.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ?R )

? 5? ? ? (1)求函数 y ? f ( x) 的周期和递增区间; (2)若 x ? ? ? , ? ,求 f ( x) 的取值范围. ? 12 3 ?

? 解: (1)由题设 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ……………… 3 分 6 ? ? ? ? ? 由 2k ? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k ? ? ,解得 k ? ? ≤ x ≤ k ? ? , 2 6 2 3 6 ? ?? ? 故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ?Z )……………… 6 分 3 6? ? 5? ? 2? ? ?? (2)由 ? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x ? ≤ ………………………… 8 分 12 3 3 6 6 ? 考察函数 y ? sin x ,易知 -1≤ sin(2 x ? ) ≤1 ………………………… 10 分 6 ? 于是 -3 ≤ 2sin(2 x ? ) ? 1≤1 . 6 故 y ? f ( x) 的取值范围为 [?3,1] ……………………………………………… 12 分
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例 3. (1)函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期是__________________. (2)函数 y ? 3sin ? x ?

? ?

??

? 的递减区间是_______________. 6?

? 个单位,得到函数 的图象;再把所 3 得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,而纵坐标保持不变,得到函数
(3)把 y ? sin x 的图象向左平移

的图象.
解答: (1) ? ; (2) ? ? 2k? , ? 2 k? ? k ? Z 3 ?3 ? 例 4.已知函数 f ? x ? ? a(2 cos
2

??

4?

?

(3) y ? sin? x ?

? ?

??

?? ?1 ? ; y ? sin? x ? ? . 3? 3? ?2

x ? sin x) ? b . 2

(1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调递增区间. (2)当 a ? 0 , x ? ?0, ? ? 时, f ? x ? 的值域是 ?3,4? ,求 a , b 的值. 【分析】 关键是把 f ? x ? 的表达式化成单角的三角函数. 【解】 (1)∵ a ? 1 ,∴= f ?x ? ? 2 cos
2

? 2 sin(x ?

?
4

x ? sin x ? b ? sin x ? cos x ? b ? 1 2

) ?1? b ,

? ] ,k∈Z。 2 2 ? ? ? 3? ? ∴当 2kπ ? ≤x+ ≤2kπ+ ,即 2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z 时 f(x)时是增函数, 2 4 4 2 4 3? 3? ∴f(x)单调递增区间是[2kπ ? , 2kπ+ ] ,k∈Z。 4 4 ? (2)由(1)得 f(x)= 2a sin(x ? ) +a+b, 4
∵y=sinx 的单调递增区间是[2kπ ? , 2kπ+ ∵x∈[0, ? ] ,∴ ∵a<0,

?

2 ? ? 5? ? ≤x+ ≤ ,∴ ? ≤ sin(x ? ) ≤1。 2 4 4 4 4

2 a≤ 2a sin(x ?

?
4

) ≤-a,∴ 2 a0+a+b≤f(x)≤b,

∵f(x)的值域是,∴a=1- 2 ,b=4。 ∴函数 f (x) 的最小正周期 T ?

例 5. (1)若 OA ? (2,8) , OB ? (?7, 2) ,则

??? ?

??? ?

2? ?? 2

函数 f (x) 的最大值为 2。

? 1 ??? AB = 3



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解: (?3, ?2) 提示: AB ? OB ? OA ? (?9, ?6) (2)已知 a ? (?1,3), b ? ( x,?1), 且 a ∥ b ,则 x 等于 答案: .

??? ?

??? ??? ? ?

1 3 (3)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=
解析:a+b=(1,m-1).∵(a+b)∥c, 答案 -1 (4)若向量 a=(1,1),b=(-1,2),则 a· b= 答案: 1 (5)已知向量 a , b ,满足 a ? 1 , b ? 4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 答案: . ∴2-(-1)(m-1)=0,∴m=-1.



?

?

?

?

? ?

?

?



? 3


(6)已知| a |=3,| b |=5,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为 答案: 4 (7)给定两个向量 a ? (3,4), b ? (2,1), 若(a ? xb) ? (a ? b), 则x 的值等于 答案: ? 3 (8)已知向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? ( 3 ,?1) ,则|2 a - b |的最大值为 答案: 4





向量强化:
1.已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2 a ? b ? 10 ,则 b ? 【答案】 3 2 【 解 析 】 因 为 2a ? b ? 10 , 所 以 ( 2a ? b) ? 10 , 即 4 a ? 4a ? b ? b
2
2 2

? ?

?

? ?

?



? 10 , 所 以

4 ? b ? 4 b cos 45 0 ? 10 ,整理得 b ? 2 2 b ? 6 ? 0 ,解得 b ? 3 2 或 b ? - 2 (舍去).
2.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? 10 ,则 AB ? AC ? 【答案】 ? 16 【解析】法一:此题最适合的方法是特例法. 假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= 34 .

2

2

??? ??? ? ?



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cos∠BAC=

34 ? 34 ? 100 8 ?? . 2 ? 34 17 ??? ???? ? ??? ???? ? AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? ?16

2 2 1 1 1 1 BC ? AM ) ? ( BC ? AM ) ? ? BC ? AM ? ? ?10 2 ? 32 ? ?16 . 2 2 4 4 ??? ??? ? ? 3.在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB?BC ? 1 ,则 BC ? .

法二: AB ? AC ? (?

【答案】 3 【解析】由下图知 AB?BC = AB BC cos(? ? B ) ? 2 ? BC ? ( ? cos B ) ? 1 .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? cos B ?

1 . ?2 BC
AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ,解得 BC ? 3 . 2 AB ? BC

A

又由余弦定理知 cos B ?

【点评】 本题考查平面向量的数量积运算、 余弦定理等知识.考查运 算能力, 考查数形结合思想、 等价转化思想等数学思想方法.需要注 意 AB, BC 的夹角为 ?B 的外角.

B

C

??? ??? ? ?

BC 4 . 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , AB ? 2 , ? 2 , 点 E 为 BC 的 中 点 , 点 F 在 边 CD 上 , 若 ???? ???? ??? ??? ? ? A B? A F? 2 ,则 AE ? BF 的值是
【答案】 2 . 【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角 三角函数定义. .

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 【解析】由 AB ? AF ? 2 ,得 AB ? AF ?cos ?FAB ? 2 ,由矩形的性质,
??? ? 得 AF ?cos ?FAB =DF .
∵ AB ? 2 ,∴ 2 ?DF ? 2 ,∴ DF ? 1 。∴ CF ? 2 ? 1 。

??? ??? ? ? 记 AE 和BF 之间的夹角为 ?,?AEB ? ? , ?FBC ? ? ,则 ? ? ? ? ? 。
又∵ BC ? 2 , E 为 BC 的中点,∴ BE ? 1。 点

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AE ? BF = AE ? BF ?cos ? = AE ? BF ?cos ?? ? ? ? = AE ? BF ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? = AE cos ? ? BF ?cos ? ? AE sin ? ? BF sin ? =BE ?BC ? AB?CF ? 1 ? 2 ? 2

?

2 ?1 ? 2 。

?

本题也可建立以 AB, AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。 第 5 页 共 5 页


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