利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题


?

3 O?  

中学教研 ( 数 学)  

利 用 压 缩 变 换 解 决 竞 赛 与 自主 招 生 中 的椭 圆 问 题 
●张晓 东  ( 桐乡市高级中学 浙江桐乡 3 1 4 5 0 0 )  

椭圆是到 2个定点 F , ,   的距离之和等于定  值2 口 ( 2 a>I  F : I ) 的点 的轨 迹 , 是 到 定 点 与 定 直  线( 定 点不 在定直 线上 ) 的距 离 之 比等于 常数 e   ( 0<e <1 ) 的点 的轨 迹 , 是 到 2个 定 点 的斜 率 之 积  为常数  ( K< 0 ,  ≠ 一1 ) 的点 的轨 迹.   而在压缩 变换 视角下 , 椭 圆是 压扁 了 的圆 , 利用  这 个角 度 , 有时可 以快 捷地解 题并看 到 问题 的本质.   定 义 压缩 变换 : 平 面  0 ~ Y上 的所 有 点 横 坐 
标不 变 , 纵坐标 变 为 原来 的  倍 ( m> 0 , n>0 , m≠  
/ / / . ,  

因为 D P ∥A R , 所以D 户= A   A R   , 即  
(  P , Y P )= A(一   A , Y R ) ,  

所 以   (   ) = A (  ,  ) ,  
即  :A   ,  

从而 0   P   / / A   R   , 于是 A Q , 4 Y o P , A 尺成等 比数列  
铮l A   Ql?I A RI = 2l O PI   I   。 + al ?   I  I = 2 (   I x P I )   ( 1 )  

甘 I x0   al? I   I=2I x PI  

) , 得到平面 x o r .   显然在压缩变换 r 下, 平 面  0 ~ Y上 的圆 C   :  
2  
. 

I A   Q   1.I A   R   l = 2I o   P   I   .   设I o   R   I = d, 由圆幂 定理 得 
I Q   R   l ?l A   R   l = d  一 a   ,  
又 d  +a  =I A   R   I  =  

以+Y “ =m 。就 压 缩 为 平 面 x O y上 的 椭 圆  +  
m  
. .

2  


1 , 于是 我们 可 以利 用 圆 的几 何 性 质 和 压 缩 变 
于是 

n 

I A   Q   I ?I A   I +I Q   R   I?I A   I =   I A   Q   1.1 A   J R   I = d   一a   .   I A   Q   l?I A   R   I = 2 a   ,  

换 的性质来研究椭圆 , 通常研究 3 类 问题.   1 研 究横 坐标 ( 或 纵坐标 ) 之 间的关 系  在 压 缩 变 换  下 , 平面x O y上 点 P 与 原 来  0   Y平 面 上对应 点 P   的横 坐标 相 同 , 即  =   .  
2   2  

即式 ( 1 ) 成 立.  

评注

把椭圆还原成圆后 , 便可利用 圆幂定理  

例2  如图3 , 已 知A ,  是椭圆  + 告= 1  
( a>b >0 ) 的左 、 右顶点 , P, Q是 椭 圆 上 不 同 于 顶 

例1   如图 1 , 已知 椭 圆  +   :1 ( 口>b>  
a  D 

0 ) , 过 椭 圆左 顶 点 A(一a , 0 ) 的直 线 Z 与椭 圆交 于 


点 的 2个点 , 且 直线 A P与 Q B, P  与 A Q分 别 交 于 
M , N.  

点 Q, 与 y轴交 于 点  , 过原 点 与 Z 平 行 的直 线与 椭 

圆交于点 P . 求证 : A Q,  D P, A R成等比数列.   ( 2 0 0 9年 清华 大 学 自主招 生试题 )  

( 1 ) 求证 : MN上A B; ‘   ( 2 ) 若弦 P Q过 椭 圆 的右 焦 点  , 求 直 线 MN  
的方 程.  

/ 罗    
Q  
0  

f 弓    
Q / - - -  

( 2 0 1 2 年全 国高中数 学联赛贵州省预赛试题 )  
,  眦  

I  
图2  

A 

j  

j 

Ⅳ 

图1  

3  

图4  

证明

把 平 面 D y上 所 有 点横 坐 标 不变 , 纵 坐 

分析

把 椭 圆所 在 平 面 

上 所 有 点 横 坐 标 

标 变 为 原 来 的 詈 倍 , 得 到 平 面   0   y   , 于 是 椭 圆  
" -   T+   =1( n>6> 0 )   还 原成 圆   + ) , “=a   ( 如 图2 ) .  

不 变, 纵 坐 标 变 为 原 来的 詈 得 到 平 面  0 ~ Y , 于 是  
椭 圆  +   =1 ( 。>b . > o ) 还 原 成 圆  +Y “ =0  

第 7期 

张晓 东: 利 用 压 缩 变换 解 决 竞 赛 与 自主 招 生 中 的椭 圆 问 题 

? 3 1?  

( 如图 4 ) .  

分析

作 P Q上   轴 交 椭 圆 于另 一 点 Q, 联 结 

( 1 ) 证 明  MN_ 1 _ A B c : , x J I ! f :X N C : * M  N   上A   B   ,   显然, 因为 A   B   是 直径 , 所以  
N   P   LA   M‘   M  Q   LA   N   。   即   是△   Ⅳ  的垂 心 , 从 而  Ⅳ  上A   .  

O Q . 把平面 x O y上所有点横坐标不变 , 纵坐标变为  原来 的 3 倍, 得到平面  0 ~ Y, 如图 6 . 于是椭圆 c :  
+4 =1 还 原成 圆 C   :   + Y   =3 6 .   ( 1 ) 证 明  点 0   的坐 标 为 ( 3   , 一3   ) , 直 

( 2 ) 解

设  』 、 r   与   轴交于点 R   , 并 设A   Q  

为   弧度 , B   P   为 口弧度, 于是 
L P  ,L O~ P  F, 2:   .  

线A ' B   的 斜 率为 ÷× 3 = 1 , 从而k 0  ? k 们 , = 1 , 得  
0   Q   _ L A   B   . 由垂 径 定理 知 点 D   平 分A   B   , P   Q   平  分  4   P   B   , 因为 P   Q   上  轴 , 所以P   A   与P   B   的   斜率 互 为相反 数.  

又点 P   , B   , R   , M  共 圆, 得 
厶P  R  B|= 厶 P  M  B 。   即  0| P| F2 。= / _Pf RI B|   A Ot PI F2 ’   A O  Rl P .  

因为平 面 x o y上直 线 

与P B 的斜 率 也互 为 

从 而 

相反 数 , 即P Q平 分 / _ A P B, 所 以 AP A B 的内切 圆  

得 
即 

0   P   I   =1 0   F2  I?1 0   R  I  
2  

的圆心在定直线  = 3 √   上.  

1   0, R l=一 a
. 

( 2 ) 解  易得△  
评注

的面积为   垒
. 

c  

于 是直 线 M  N, 的方 程 为  =旦 _ , 直 线 MN 的 方 程 
为  =  

把椭 圆还原 成 圆后 , 可利 用垂 径定 理.  

3 研 究 封 闭图形 的面 积 

在压 缩变换  下 , 平面 x O y上 封 闭 图形 的面 积 

评注

把椭圆还原成圆后 , 可利用 圆中的角的 

s是原 来平 面  0   Y对 应 封 闭 图形 面 积 . s   的旦 倍 ,  


关系证明相似.  
2 研 究直 线 的斜 率 
即 J s=旦 .I s  
m  

在压缩变换  下 , 平面 x O y 上直线的斜率 变 
为 原来平 面  O' y   上对应直线斜 率 . 】 }   的旦 倍 , 即 



例4 已 知椭圆 争+ 争= 1 内 接平 行四 边 形的  
组 对边 分别 过椭 圆的焦 点 F ¨,   , 求该 平 行 四边  ( 2 0 1 3年 全 国高 中数 学联 赛 山 东省预 赛试 题 )  

k:旦 .k ,
. 

形面积的最大值.  
解 把平 面 x O y上 所 有 

m  

例 3如 图 5 , 作 斜 率 为 ÷ 的 直 线 z 与 椭 圆 C :  


J  

等= 1 交 于 点 A , B , 且 P ( 3  ,  ) 在 直 线2 的  
( 1 ) 证 明: AP A B 的 内切 圆 的 圆心在 一条 定 直 

点横 坐标不 变 , 纵 坐标 变 为 原 

来的   倍, 得 到- y - 面   0   Y  
√j 

左 上方 .  
线上 ;  

\ \ \  
’  

( 如 图 7 ) . 于 是 椭 圆 等+ 予=  
1 还 原 成 圆  +Y   =4 . 先 求 
0   Y平 面上 相 应平 行 四边 形  B   C   D   面积 的最 大值.  

专 = 

( 2 ) 若L A P B= 6 0 。 , 求Z X P A B的面积.  
~  

图 7  





 

显然 四边 形 A   B   C   D   的 面 积 等 于 4 个 
:  


AO   A   B   的面积 S , 作 A   边 上 的高 0   N   , 设  I   D, Ⅳ, I =d , I s= d  ̄ /   ( 0<d   ≤1 ) . 当 d=1时 , . s  

| \ \ 、  0  
正  / 。  
图5  
A  — 

取 最 大值  , 从 而 四边 形 A   c   D   的最 大 面积 为 4  

图6  

√   , 相应椭圆平行 四边形 A B C D的最大面积为6 .  

?

3 2?  

中学教研 ( 数 学)  

母 函 数 方 法 在 解 竞 赛 题 中 的 运 用 
●蔡 小 雄  ( 杭州第十一中学 浙江杭州 3 1 0 0 5 3 )  



母 函数方法 的实质是将离散数列和幂级数一一对应起来 , 把离散数列间的相互结合关系对应成 为幂  级数间的运算关 系, 最后 由幂级数形式来确定离散数列的构造的一种方法. 具体地说 , 就是将一个有限或  无 限 的数列 { 口   } 和形 如  )=n 。 +口   +t t 2 X  +… +口   +… 的 函数 联 系 起 来 , 构 成 对 应 关 系. 将 其 中 的  厂 (  ) 称为数列 { 0   } 的母 函数或生成 函数 , 意思是这个数列 { 0   } 是 由多项式  ) 生成 的. 母 函数方法一般  在解组合问题中应用较多 , 本文将母 函数方法进行推广 , 通过一些竞赛试题说 明它在解 方程 ( 方程组 ) 、 解  操作性 问题、 解 多元求值问题、 证明组合恒等式等诸多方面的应用.  
1 解 方 程或 方 程组 
+  2 + … + 戈n = / " t,  

例 1 解 方程 组 

+   ; +… +  = 凡 ,  

+  ; +… +  : =n .   解  构造 母 函数  戈 )=(  一  1 ) (  一   2 ) …(  一  ) , 并设  )=   +/ 7 / ' n - 1  一  +… +0 1  +口 , 贝 0  

, (  ) =   : + a n - 1   : 一  + …+ G 1  + 0 0 = 0( k = 1 , 2 , …, 1 7 , ) ,  

从而  
即 

yS < x   )=∑X   k + 0  ∑   n  + …+ o 1 ∑  + 7 1 , 0 , 0 = 0 ,  
+n 口   一 1 +… +  口 1 +n 口 0 =0,  

亦即   故, ( 1 ) =0 .  

1+口   一 1+… +  1+0 0=0 ,  

这说 明   =1 是方程, (  )=0的一个根 , 由对称性, 不妨设  =1 , 代入方程组 中可得 

+  : +… +戈 : 一 1=1 7 . 一1( k=1 , 2 , …, n一1 ) ,  
同理 可 解得 l=   2= … =   2   求数 列 的 通项公 式  :   :1 .  

例2   已知在数列 { 口   }中, a 0=一1 , 口 1=1 , 口  =2 a   + 3 口   一  +3 “ ( n≥2 ) , 求数列的通项 口   .  
评 注  把椭 圆还 原成 圆后 , 可 得 到 以半 径 为  腰 的 等腰 三 角形 .   例5   以原点 0为 圆心 、  
分别以 t l , , 6 ( 口 > b>0 )为直 
J  . y  

解  ( 1 )易得 曲线 E 的方 程为- -   5 - +  
0  D  

=1 .  

( 2 )把平 面 x O y上 所有 点横 坐 标不 变 , 纵 坐标 

径 作 2个 圆. 点 Q是 大 圆 半径  0 P与小 圆 的 交 点 , 过 点 P作 
.  

变 为原 来的 孚倍, 得到平面  0   Y   , 于 是椭圆  +  
0  n 

A N上D   , 垂足为 Ⅳ, 过点 Q作  Q M 上P N, 垂 足 为  , 记 当半  径O P绕点 0 旋转时点 肘 的轨  图 8   迹 为 曲线 E .   ( 1 )求 曲线 E 的方程 ;   ( 2 )设  ,  , C为 曲线 E上 的 3个 点 , 且 满 足 
—A + O  

乡 

手  =1 还原成圆   + Y “=口 。 ( 虫 口 图8 ) .  
因为O A+O B+O C =O , 所 以 △A BC的重心 是  原 点 0, 相 应地 , △A   C   的重 心是 原 点 0   . 由垂 径  定理得 △A   C   是正三角形, 从 而 △A   B   C  的面 

积 为 学口 2   Z  ̄ A B C 的 面 积 为 学 
评 注  把椭 圆还 原 成 圆后 , 便 可 发 现 以原 点  为 重心 的三 角形 就 是 圆 内接正 三 角形 .  

o , 求 △A  c的面积.   ( 2 0 1 1年 全 国 高中数 学联赛 河 南省 预 赛试题 )  


+  


相关文档

利用压缩变换解决椭圆的有关问题
利用压缩变换研究椭圆
利用压缩变换解决椭圆中三类问题
自主招生 有竞赛经验者在自主招生考试中有优势
竞赛和自主招生中的平面几何问题
高校自主招生拟压缩笔试规模
利用“压缩变换”研究椭圆中三类问题
2011年上海高校自主招生中与竞赛相关的申请条件
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
利用压缩变换解决椭圆中三类问题-浙江嘉兴第一中学
电脑版