四川省绵阳市高中2019届高三第三次诊断性考试数学(文)

绵阳市高中 2019 级第三次诊断性考试

数学(文科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 l 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。 满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形 码粘贴在答题卡的指定位置。 2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的 黑色签字 笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效。 3. 考试结束后,将答题卡收回。

50 第I卷(选择题,共 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项 是符合题目要求的.

1. 设集合 U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2,3, 4},则 CU (M ? N ) 等于

A. {1, 2}

B. {2, 3}

C.{2, 4}

D. {1, 4}

2.抛物线 x2=-4y 的准线方程是

A. x=-1

B. x=2

C.y=1

D. y=-2

3. 若复数 z 满足 z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数 z=

A. 1+i

B. -1-i

C. 1-i

D. -1+i

4. 设数列{an}是等比数列,则“a1<a2 广是“数列{an}是递增数列”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

5. 平面向量 a 与 b 的夹角为 600,a=(2, 0),b =(cosa, sina),则|a+2b|=

·1·

A. 3

B.2 3

C. 4

D. 12

6. 函数 f(x)= 1 x-sinx 的大致图象可能是 2

7. 执行如图所示的程序框图,若输出结果为 26,则 M 处的条件为

A. k ? 31

B. k ? 15

C. k>3l

D. k>l5

8. 己知函数.

f (x) ? 2sin(2x ? ? )(| ? |? ? ) ,若函数f(x)在区间 (? , 5? ) 上单调递增,则 68
0 的取值范围是

A [ ? , 7? ] 38

B [ ? 5? ,? 3? ] 64

C ( ? ? ,? 2? ] ? [ ? ? ,? )

3

8

D ( ? ? , ? ] ? [ 7? ,? )

3

8

9. 已知椭圆 x2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 与离心率为 2 的双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 的公共

a2 b2

m2 n2

焦点

是 F1

F2,点 P 是两曲线的一个公共点,若 cos ?F1PF2

?

1 ,则椭圆的离心率为 3

A. 2 4

B. 2 2

C. 10 10

D. 10 5

·2·

10. 已知函数 f(x)=ln(ex+a)(e 是自然对数的底数,a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,若 函数

f(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点,则实数 m 的取值范围是

A. (1 , e2 ? 1) ee
C. (e2 ? 1 ,??) e

B. (0, e2 ? 1) e
D. (??, e2 ? 1) e

第 II 卷(非选择题,共100分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. 若直线 x+(a-1)y=4 与直线 x=1 平行,则实数 a 的值是____

12. 如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形,俯视图是一个直径为4的圆,则这个几何体的侧 面积是____
13.
?y ? x 设变量x、y满足约束条件: ??x ? y ? 1 ,则目标函数z=2x+y的最大值
??y ? ?1
是_______

14. 己知 sin(a ? ? ) ? sin a ? ? 4 3 ,且 ? ? ? a ? ? ? 则 cosa=______

3

5

2

3

15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),

f ?(x) 是函数f(x)的导数,如果 ?? ?[a, b] ,使得f(b)-f(a)= f ?(? )(b ? a) ,则称? 为

[a,b]上的“中值点”.下列函数:

① f(x)=2x+l,

② f(x)=x2-x+l,

③ f(x)=lnx+l,

④ f (x) ? (x ? 1)3 , 2

其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序

号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分)

·3·

从高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛,成绩(单位: 分)的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示,已 知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的 学 生人数是 27 人.
(I) 求 n 的值; (II)试估计这 n 名学生的平均成绩; (III)若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的学生中随 机选取 2 人进行成绩分析,求至少有 1 人成绩在[40, 50)内的概率.

17. (本小题满分 12 分)

已知{an}是等差数列,a1=3, Sn 是其前 n 项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且 b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2.
(I )求数列{an}, {bn}的通项公式;

(II)设 cn

?

2 Sn

,数列{cn}的前

n 项和为 Tn,求证Tn

?

3 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED 丄平面 ABCD,ED=1, EF//BD 且EF= BD. (I)求证:BF//平面 ACE
·4·

(II)求证:平面 EAC 丄平面 BDEF; (III)求几何体 ABCDEF 的体积.

19. (本小题满分 12 分)
函数 f (x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图示, 2
将y=f(x)的图象向右平移 ? 个单位后得到函数y=f(x)的 图象. 4
(I )求函数 y=g(x)的解析式;

(II)已知 Δ ABC中三个内角 A,B, C 的对边分别为 a, b,c,且满足

g( A ? ? ) + g( B ? ? ) =2 2 12 2 12

6

sinAsinaB,且

C=

? 3

,c=3,求Δ

ABC的面积.

20. (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C: x2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,以

a2 b2

2

原点为圆心,椭圆 c 的短半轴长为半径的圆与直线

x ? y ? 2 ? 0 相切.A、B 是椭圆的左右顶点,直线 l 过 B 点

且与 x 轴垂直,如图. (I )求椭圆的标准方程;

·5·

(II)设 G 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,GH 丄 x 轴,H 为垂足,延长 HG 到点 Q 使得 HG=GQ,连 接 AQ 并延长交直线 l 于点 M,点 N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系,并 证明你的结论.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ex-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数 f(x)的单调区间;

(II)如果对任意 x ?[2,??] ,都有不等式 f(x)> x + x2 成立,求实数 a 的取值范围;

(III)设 n ? N * ,证明: ( 1 )n + ( 2)n + ( 3)n +…+ ( n )n < e

nnn

n e ?1

绵阳市高中 2019 级第三次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
DCCBB AABDD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.1

12.16π

13.3

14. 3 3 ? 4 10

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.解:(Ⅰ)成绩在区间 ?70,90? 的频率是:

1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54,

∴ n ? 27 ? 50 人. ……………………………………………………………3 分 0.54

(Ⅱ)成绩在区间?80,90? 的频率是:

1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)? 10=0.24,
利用组中值估计这 50 名学生的数学平均成绩是: 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2. ……………3 分
(Ⅲ)成绩在区间 ?40,50? 的学生人数是:50×0.04=2 人,

成绩在区间?50,60? 的学生人数是:50×0.06=3 人,

设成绩在区间 ?40,50? 的学生分别是 A1,A2,成绩在区间?50,60? 的学生分别是 B1,B2,B3,

·6·

从成绩在 ?40,60?的学生中随机选取 2 人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1),

(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种情况.
至少有 1 人成绩在 ?40,50? 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,

B2),(A2,B3)共 7 种情况.

∴ 至少有 1 人成绩在 ?40,50? 内的概率 P= 7 . ……………………………6 分
10

17.解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,

由题意可得:

??b1 ? ? ??5a1

q ? 2a1 ? 5?4
2

? ?

d d

? ?

10, 5b1q2

?

3(a1

?

d ),

解得 q=2 或 q= ? 17 (舍),d=2. 5

∴ 数列{an}的通项公式是 an=2n+1,数列{bn}的通项公式是 bn ? 2n?1 . …7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn

?

n(3 ? 2n ?1) 2

? n2

? 2n ,于是 cn

?

2 Sn

?

1 n

?

1, n?2



Tn

?1?

1 3

?

1 2

?

1 4

?

1 3

?

1 5

?????

1 n

?

n

1 ?2

?1?

1 2

?

1? n ?1

n

1 ?

2

? 3 ? 1 ? 1 < 3 . …………12 分 2 n?1 n? 2 2

18.解:(Ⅰ)如图,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 EO,于是 DO=OB.

∵ EF∥BD 且 EF= 1 BD, 2
∴ EF OB,

E F

∴ 四边形 EFBO 是平行四边形,

∴ BF∥EO. 而 BF ? 平面 ACE,EO ? 平面 ACE,

D

C

∴ BF∥平面 ACE.…………………………4 分

(Ⅱ)∵ ED⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD,

∴ ED⊥AC.

A

O B

∵ ABCD 是正方形,

∴ BD⊥AC,

∴ AC⊥平面 BDEF.

又 AC?平面 EAC,故平面 EAC⊥平面 BDEF. ……………………………8 分

(Ⅲ)连结 FO,∵ EF DO,

∴ 四边形 EFOD 是平行四边形.

由 ED⊥平面 ABCD 可得 ED⊥DO,

∴ 四边形 EFOD 是矩形.

∵ 平面 EAC⊥平面 BDEF.

∴ 点 F 到平面 ACE 的距离等于就是 Rt△EFO 斜边 EO 上的高,

且高 h= EF ? FO = 1? 2 ? 6 .

OE

33

∴几何体 ABCDEF 的体积V ? V三棱锥E? ACD ? V三棱锥F ? ACE ? V三棱锥F ? ABC

= 1 ? 1 ? 2 ? 2 ?1+ 1 ? 1 ? 2 2 ? 3 ? 6 + 1 ? 1 ? 2 ? 2 ?1

32

32

3 32

=2.……………………………………………12 分

·7·

19.解:(Ⅰ)由图知: 2? =(4 ? + ? ),解得 ω=2. ? 12 6

再由 f ( ? ) ? sin(2 ? ? ? ?) ? 1 ,

12

12

得 ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z) ,即? ? 2k? ? ? (k ? Z) .

6

2

3

由 ? ? ? ? ? ? ,得? ? ? .

2

2

3

∴ f (x) ? sin(2x ? ? ) . 3

∴ f (x ? ? ) ? sin[2(x ? ? ) ? ? ] ? sin(2x ? ? ) ,

4

43

6

即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)= sin(2x ? ? ) .………………………………6 分 6

(Ⅱ)由已知化简得: sin A ? sin B ? 2 6 sin Asin B .



a sin

A

?

b sin

B

?

c sin C

?

3 sin ?

? 2R (R 为△ABC 的外接圆半径),

3

∴ 2R ? 2 3 ,

∴ sinA= a ,sinB= b .

2R

2R

∴ a ? b ? 2 6 ? a ? b ,即 a ? b ?

2R 2R

2R 2R

由余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC,

即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab. ②

2ab . ①

联立①②可得:2(ab)2-3ab-9=0,解得:ab=3 或 ab= ? 3 (舍去), 2

故△ABC

的面积

S△ABC=

1 2

ab

sin

C

?

3

3 4

.…………………………………12



20.解:(Ⅰ)由题可得:e= c ? 3 . a2

∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切,

0?0? 2



=b,解得 b=1.

12 ? 12

再由 a2=b2+c2,可解得:a=2.

∴ 椭圆的标准方程: x2 ? y2 ? 1 .……………………………………………5 分 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A(-2,0),B(2,0),直线 l 的方程为:x=2.

设 G(x0,y0)(y0≠0),于是 H(x0,0),Q(x0,2y0),

且有

x02 4

?

y02

? 1,即

4y02=4-x02.

设直线 AQ 与直线 BQ 的斜率分别为:kAQ,kBQ,

·8·



k AQ

? kBQ

?

2 y0 x0 ? 2

?

2 y0 x0 ? 2

?

4 y02 x02 ? 4

?

4? x02

x02 ?4

?

?1 ,即

AQ⊥BQ,

∴ 点 Q 在以 AB 为直径的圆上.

∵ 直线 AQ 的方程为: y ? 2 y0 (x ? 2) , x0 ? 2



? ?

y

?

?

2 y0 x0 ? 2

(x

?

2),

?? x ? 2,

? x ? 2,

解得:

?

? ??

y

?

8 y0 ,即 x0 ? 2

M

(2, 8y0 ) x0 ? 2



∴ N (2, 4 y0 ) . x0 ? 2



直线 QN 的斜率为: kQN

?

4 x0

y0 ?2

?

2

y0

2 ? x0

?

?2x0 y0 4 ? x02

?

?2x0 y0 4 y02

? ?x0 2 y0





kOQ

? kQN

?

2 y0 x0

?

? x0 2 y0

?

?1 ,于是直线

OQ

与直线

QN

垂直,

∴ 直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切. …………………………………13 分

21.解:(Ⅰ)∵ f ?(x) ? ex ? a ,

当 a≤0 时 f ?(x) ? 0 ,得函数 f (x)在(-∞,+∞)上是增函数.

当 a>0 时, 若 x∈(lna,+∞), f ?(x) ? 0 ,得函数 f (x) 在(lna,+∞)上是增函数;

若 x∈(-∞,lna), f ?(x) ? 0 ,得函数 f (x) 在(-∞,lna)上是减函数.
综上所述,当 a≤0 时,函数 f (x)的单调递增区间是(-∞,+∞);当 a>0 时,函数 f (x) 的单调递 增区间是(lna,+∞),单调递减区间是(-∞,lna).…5 分 (Ⅱ)由题知:不等式 ex-ax>x+x2 对任意 x ?[2,? ?) 成立,

即不等式 a ? ex ? x2 ? x 对任意 x ?[2,? ?) 成立. x

设 g(x)

?

ex

?

x2 x

?

x

(x≥2),于是

g ?( x)

?

(x

? 1)e x x2

?

x2



再设 h(x) ? (x ?1)ex ? x2 ,得 h?(x) ? x(ex ? 2) .

由 x≥2,得 h?(x) ? 0 ,即 h(x) 在[2,? ?) 上单调递增,



h(x)≥h(2)=e2-4>0,进而 g?(x) ?

h(x) x2

?0,

∴ g(x)在[2,? ?) 上单调递增,



e2 [g(x)]min ? g(2) ? 2

?3,

∴ a ? e2 ? 3,即实数 a 的取值范围是 (??,e2 ? 3) .………………………10 分

2

2

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,

当 a=1 时,函数 f (x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴ f (x)≥f (0)=1,即 ex-x≥1,整理得 1+x≤ex.

令x??

i

(n∈N*,i=1,2,…,n-1),则 0 ? 1 ?

i



?
e

i n

,即

(1

?

i )n ≤ e?i ,

n

n

n

·9·

∴ ( n ?1)n ≤ e?1 , ( n ? 2)n ≤ e?2 , ( n ? 3)n ≤ e?3 ,…, ( 1 )n ≤ e?(n?1) ,

n

n

n

n

显然 ( n )n ≤ e0 , n

∴ ( n )n ? ( n ?1)n ? ( n ? 2)n ? ( n ? 3)n ? ? ? ? ? ( 1 )n

n

n

n

n

n

≤ e0 ? e?1 ? e?2 ? e?3 ? ? ? ? ? e?(n?1)

?

1 1

? ?

e?n e?1

?

e(1 ? e?n ) e ?1

?

e, e ?1

故不等式 ( 1 )n ? ( 2)n ? ( 3)n ? …+(n)n ? e (n∈N*)成立.……………4 分

nnn

n e ?1

·10·


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