学业分层测评12 圆、椭圆的参数方程的应用

学业分层测评(十二)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 1.当 x2+y2=4 时,求 u=x2+2 3xy-y2 的最值. 【解】 ?x=2cos θ, 设? (0≤θ<2π),于是 ?y=2sin θ

u=x2+2 3xy-y2 =4cos2θ+8 3cos θsin θ-4sin2θ =4cos 2θ+4 3sin 2θ π =8sin(2θ+6). π 7π 所以,当 θ=6,x= 3,y=1 时,或 θ= 6 ,x=- 3,y=-1 时,umax=8; 2π 5π 当 θ= 3 ,x=-1,y= 3时,或 θ= 3 ,x=1, y=- 3时,umin=-8. 2.若 x,y 满足(x-1)2+(y+2)2=4,求 2x+y 的最值. 【解】 令 x-1=2cos θ,y+2=2sin θ,则有

x=2cos θ+1,y=2sin θ-2, 故 2x+y=4cos θ+2+2sin θ-2 =4cos θ+2sin θ=2 5sin(θ+φ)(tan φ=2). ∴-2 5≤2x+y≤2 5. 即 2x+y 的最大值为 2 5,最小值为-2 5. 1 x = t + ? ? t, 3.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30° 的直线和曲线? 1 ? ?y=t- t 于 A、B 两点.求线段 AB 的长. 【导学号:98990037】

(t 为参数)相交

1

【解】

3 ? ?x=-3+ 2 s, 直线的参数方程为? 1 ? ?y=2s

(s 为参数),

1 x = t + ? ? t, 曲线? 1 ? ?y=t- t x2-y2=4.

(t 为参数)可以化为

将直线的参数方程代入上式,得 s2-6 3s+10=0. 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2, ∴s1+s2=6 3,s1s2=10. AB=|s1-s2|= ?s1+s2?2-4s1s2=2 17. 4.已知 A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点 P, 使∠OPA=90° ,求椭圆离心率的取值范围. 【解】 x2 y2 设椭圆的方程为a2+b2=1,A(a,0),设 P(acos θ,bsin θ)是椭圆上

→ =(acos θ-a,bsin θ),OP → =(acos θ,bsin θ),由于∠OPA=90° 一点,则AP ,所 →· → =0,即(acos θ-a)acos θ+b2sin2θ=0, 以AP OP a2(cos2θ-cos θ)+b2sin2θ=0, a2cos θ(cos θ-1)+b2(1+cos θ)(1-cos θ)=0. 因为 P 与 A 不重合, 所以 cos θ-1≠0, 则 a2cos θ=b2(1+cos θ), b2 cos θ 2= a 1+cos θ, c2 b2 cos θ 1 = . 2=1- 2=1- a a 1+cos θ 1+cos θ π 3 因为 θ∈(0,2)∪(2π,2π),

2

c2 1 2 所以a2∈(2,1),e∈( 2 ,1). x2 2 5.已知椭圆 4 +y =1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1、B2 的连 线分别交 x 轴于 P、Q 两点,求证:OP· OQ 为定值. 【证明】 B2(0,1). sin φ+1 则 MB1 的方程:y+1= 2cos φ · x, 令 y=0, 则 x= 2cos φ , sin φ+1 设 M(2cos φ,sin φ),φ 为参数,B1(0,-1),

2cos φ 即 OP=| |. 1+sin φ sin φ-1 MB2 的方程:y-1= 2cos φ x, 令 y=0,则 x= 2cos φ . 1-sin φ

2cos φ ∴OQ=| |. 1-sin φ 2cos φ 2cos φ ∴OP· OQ=| |×| |=4. 1+sin φ 1-sin φ 即 OP· OQ=4 为定值. ?x=1+tcos α, ?x=cos θ, 6.已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参 ?y=tsin α ?y=sin θ 数), π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时, 求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. 【解】 +y2=1. π (1)当 α=3时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2

3

?y= 3?x-1?, 1 3 联立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),(2,- 2 ). ?x +y =1. (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2α,-cos αsin α),故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 2 ? ?x=2sin α, ? 1 ? ?y=-2sin αcos α

(α 为参数),

1 1 P 点轨迹的普通方程为(x-4)2+y2=16, 1 1 故 P 点的轨迹是圆心为(4,0),半径为4的圆. x2 y2 7.求椭圆 C:16+ 9 =1 上的点 P 到直线 l:3x+4y+18=0 的距离的最小 值. 【解】 设点 P 的坐标为(4cos θ,3sin θ),其中 θ∈[0,2π),

则点 P 到直线 l 的距离 d= |12cos θ+12sin θ+18| 5



π |12 2sin?θ+4?+18| 5 π 12 2sin?θ+4?+18 5 -12 2+18 , 5





π 5π 当 sin(θ+4)=-1 时,等号成立.因为 θ∈[0,2π),所以 θ= 4 . 所以当 θ= 18-12 2 5π 时,d 取得最小值 . 4 5 [能力提升] ?x= 3cos θ 8.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为? ,其中 θ ?y=sin θ 为参数.以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 π 2ρcos(θ+3)=3 6.求椭圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值和最小值.
4

【解】 直线 l 的普通方程为:x- 3y-3 6=0,设椭圆 C 上的点到直线 l 距离为 d. d= | 3cos θ- 3sin θ-3 6| 2 π 6sin?θ-4?+3 6 2



π ∴当 sin(θ-4)=1 时,dmax=2 6, π 当 sin(θ- )=-1 时,dmin= 6. 4

5


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