山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试 数学理 Word版含答案_图文

山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试

数学(理)试题
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑龟墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔. 要字迹工整,笔迹清晰,超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知 i 是虚数单位,若 z(i+1)=i,则|z|等于 A.1 B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

2.若集合 M={x∈N*| x<6},N= { x || x ? 1|≤ 2} ,则 M ∩(?R N ) = A. (-∞,-1) B. [1,3 ) C. (3,6) D.{4,5}

3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(

1 2 ) ,则 log 2f(2)的值为 , 2 2
C.2 D.-2

A.

1 2
2

B.?1

1 2

4.已知函数 f(x)=e 2 x A. kπ + k∈Z)

,若 f [cos(

π 4

π + θ )] = 1 ,则 θ 的值为 2 π kπ π B. kπ ? C. + 4 2 4

D. kπ ?

π (其中 4

4 4 2 4 5.下列说法错误的是: A.命题“若 x2 —4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3,则 x2-4x+3≠0” B.“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、g 均为假命题 D.命题 P:″ ?x ∈ R ,使得 x2 +x+1<0”,则 ?P : " ?x ∈ R , x + x + 1 ≥ 0" 6.若函数 f(x)=2sin ωx(ω > 0) 在区间 [ ? A.
2

π π , ] 上单调递增,则 ω 的最大值等于 3 4
C.2 D.3

2 3

B.

3 2

7.若回归直线方程的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线的方程是

- 1 -

^

^ B. y =1.23x+5 C. y =1.23x+0.08 D. y =0.08x+1.

A. y =1.23x+4

23 8.如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形,则该几何体的体积是 A.

5 6

C.1

2 3 1 D. 2
B.

9.若点 P 是以 A ? 10 ,0 、 B 10 ,0 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线 与圆 x2 +y2 =10 的一个交点,则|PA|+ |PB|的值为 A. 2 2 C. 4 3 B. 4 2 D. 6 2

(

) (

)

10.函数 f(x)=-(cosx)1g|x|的部分图像是

?x ≥ 1 ? 11.实数 x,y 满足 ? y ≤ a (a > 1) ,若函数 z=x+y 取得垦大值 4,则实数 a 的值为 ?x ? y ≤ 0 ?
A.2 B.3 C.4 D.

3 2

12.已知函数 f(x)= ?

?2 x ? 1, ( x ≤ 0) ? f ( x ? 1) + 1, ( x > 0)

,把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的

顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A. a n =

n(n ? 1) 2

B. a n = n ? 1 D. a n = 2 n ? 2

C. a n = n( n ? 1)

二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案 填在答题卡的相应位置。 13.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为 14.若(x2- 。

1 n ) 的展弄式中含 x 的项为第 6 项,设(1-3x)n x
- 2 -

=ao+a 1x+a2 x2 +…+a nxn,则 a l +a2 +…+a n 的值为



?13 ?7 ? ?3 3 ? 3 ?15 3 15. 对大于 l 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: ? , 3 ?9 , 4 ? , 2 …, ?5 ?11 ?17 ? ?19 ?
仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为 16.给出下列命题:①函数 y= 。

x 在区间[1,3]上是增函数; x +4
2

②函数 f(x)=2x -x2 的零点有 3 个; ③函数 y= sin x(x∈ [ ?π , π ] )图像与 x 轴围成的图形的面积是 S= ④若 ξ ~N(1, σ 2 ) ,且 P(0≤ ξ ≤1)=0.3,则 P( ξ ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上) : 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推 理步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知平面向量 a =(cos ? ,sin ? ) ,b=(cosx,sinx) ,c=(sin ? ,-cos ? ) ,其中 0< ? < π , 且函数 f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点( (1)求 ? 的值;



π



sin xdx ;

π ,1) 。 6

π 个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐 12 π 标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在[0, ] 2
(2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移 上的最大值和最小值.

18. (本小题满分 12 分) 已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和 Sn ,且满足:a 2·a 4 =65,a 1 +a5 =18。 (1)若 1<i<21,a 1,a i ,a 21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (2)设 bn =

n ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2 +…+bn <m 对于任意的 (2n + 1) S n

正整数 n 均成立,若存在,求出常数 m;若不存在,请说明理由。

- 3 -

19. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,四边形 ACFE 为矩形, 平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1。 (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2) M 在线段 EF 上运动, 点 设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 θ (θ ≤90o) , 试求 cos θ 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 从参加某次高三数学摸底考试的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制) (均为整数) 分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题。 (1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100] 记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 x 的分布列和数学期望。

21. (本小题满分 13 分) 设 A ( x1, y1 ) b ( x2 , y2 ) 是 椭 圆 C : ,

y2 x2 + = 1 ( a>b>0 ) 上 两 点 , 已 知 a 2 b2

? x2 y ? 3 ?x y ? m = ? 1 , 1 ?, n = ? , 2 ? ,若 m·n=0 且椭圆的离心率 e= ,短轴长为 2,O 为坐标 ? b a ? 2 ?b a ? ? ?
原点. (1)求椭圆的方程; (2)试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由。

- 4 -

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 (x) f =axlnx 图像上点 (e, e) 处的切线与直线 y=2x 平行 ( ) f (其中 e= 2. 71828…) , 2 -x2 -tx-2. g(x)=x (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切 x ∈ (0, e] ,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围。

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