《金版新学案》高三数学一轮复习 第1课时 相似三角形的判定及有关性质_图文

选修4-1 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及 有关性质 1.平行线等分线段定理 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的 线段______ 相等 ,那么在其他直线上截得的线段 也______ 相等 . 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行 的直线必____________ 平分第三边 . 推论2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行 平分另一腰 . 的直线_____________ 2.平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线,所得的 ___________ 对应线段 成比例. 推论 平行于三角形一边的直线截其他 对应线段 两边(或两边的延长线)所得的__________ 成比例. 【思考探究】 使用平行截割定理时要注意 什么? 提示: 要注意对应线段、对应边对应成 比例,不要乱对应顺序. 3.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定 对应角相等 ,对应边成比例的两个 定义 ____________ 三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边 的比值叫做相似比(或相似系数). 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他 两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似. 判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的________ 两个角 对应相等,那 么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两 三角形相似. 判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形 的两边和另一个三角形的两边对应_______ 成比例 ,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对 应_______ 成比例 且夹角相等,两三角形相似. 判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条边对应_______ 成比例 ,那 么这两个三角形相似.简述为:三边对应_______ 成比例 , 两三角形相似. (2)两个直角三角形相似的判定 定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对 应_____ 相等 ,那么它们相似. ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 ________ 成比例 ,那么它们相似. ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 成比例 ,那么这两个直角三角形相似. 应________ (3)相似三角形的性质 性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中 线的比和对应角平分线的比都等于_______ 相似比 ; ②相似三角形周长的比等于________ 相似比 ; ③相似三角形面积的比等于_______________ 相似比的平方 ; ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长 比等于相似比,外接圆(或内切圆)的面积比等于 _______________ 相似比的平方 . 4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的__________ 比例中项 ;两直角边分别是它们在 比例中项 . 斜边上射影与斜边的___________ 平行线分线段成比例定理的应用 1.充分利用已知条件的比例作出相应的平行线段 是关键. 2.有关两线段的比值的问题,除了应用平行线分 线段成比例定理外,也可利用相似三角形的判定 和性质求解. 3.注意观察图形特点,巧添辅助线. 如图,△ ABC 中, D 为 BC 中点,E 在 AC 上且 AE=2CE,AD、BE 相交 AF BF 于点 F,求 , . FD FE 解析: 过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G, 因为点 D 为 BC 的中点, 所以 EC=2DG.因为 AE=2CE, AE 4 AF AE 4 所以 = .从而 = = , 1 DG FD DG 1 GF 1 所以 = .因为 BG= GE, FE 4 BF 3 所以 = . FE 2 【变式训练】 1.如图,已知 D 为△ABC 中 AC 边的中点,AE∥BC,ED 交 AB 于 G,交 BC 延长线于 F, 若 BG∶GA=3∶1, BC=8, 求 AE 的长. 解析: ∵AE∥ BC,D 为 AC 的中点, ∴AE= CF. 设 AE=x, AE AG 1 ∵AE∥ BC,∴ = = . BF BG 3 x 1 又 BC=8,∴ = , 3x=x+ 8, x+ 8 3 ∴x=4.∴ AE=4. 相似三角形的性质与判定定理 1.相似三角形的判定主要是依据三个判定定 理,结合定理创造条件建立对应边或对应角 的关系. 2.相似三角形的性质应用可用来考查与相似 三角形相关的元素,如两个三角形的高、周 长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径 、内切圆的面积等. 如图,已知? ABCD 中,G 是 DC 延长线上一点,AG 分别交 BD 和 BC 于 E、F 两 点 , 证 明 : AF· AD = AG· BF. 证明: 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 AB∥ DC,AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF,△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. AF BF 从而有 = , AG AD 即 AF· AD= AG· BF. 【变式训练】 2.已知△ABC 中,BF⊥AC 于 点 F, CE⊥AB 于点 E, BF 和 CE 相交于点 P, 求证: (1)△BPE∽△CPF; (2)△EFP∽△BCP. 证明: (1)∵ BF⊥AC 于点 F,CE⊥ AB 于点 E, ∴∠BFC=∠CEB. 又∵∠CPF=∠BPE, ∴△CPF∽△BPE. EP FP (2)由 (1)得△ CPF∽△BPE,∴ = . BP CP 又∵∠EPF=∠BPC, ∴△EFP∽△BCP. 直角三角形射影定理的应用 1.在使用直角三角形射影定理时,要学会 将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例 式”. 2.证题时,要注意作垂线构造直角三角形 是解直角三角形时常用的方法. 如图所示,在△ABC 中,∠CAB

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