2012—2013学年度佛山三中高二上学期数学期末模拟试题

2012—2013 学年度佛山三中高二上学期期末模拟试题 数 学
班级 姓名 学号 成绩
2013 年 1 月 18 日

A.

17 2

B. 5

C. 2 2

D.

9 2
)

7.过点 (0,1) 与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 只有一个公共点的直线的条数是 ( A. 1 B. 2 C.3 D. 4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.下列描述正确的选项为 ( )

8.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交 2 a b
) D. 3x ? y ? 0 )

A.在平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆。 B.在平面内与两个距离之差等于定长的点的轨迹是双曲线。 C.在平面内到两个定点距离之和等于定长(大于两定点距离)的点的轨迹是椭圆。 D.在平面内与两个定点距离之差(小于两定点距离)等于定长的点的轨迹是双曲线。 2.已知 m,n 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则 ? // ? ; ④若 m,n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则 ? // ? .其中真命题是( A.①和④ B.①和③ C.③和④ D.①和② ) ) ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ;

点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的渐近线方程为( A. x ? 3 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0

C. x ? 2 y ? 0

9.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-l,1,2),以下四点中,在直线 AB 上的是 ( A.(7,5,6) B.(-2,4,5) C.(3,2,1) D.(2,3,4)

10. 已知曲线

x2 y 2 ? ?1 (a>0,b>0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,若 P 为其上一点, | PF |? 2 | PF2 | , 则 且 1 a 2 b2
) C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

双曲线离心率的取值范围为 ( A.(1,3) B. ?1,3?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.一简单组合体的三视图及尺寸 如右图示( 单位:cm) 则该组合体的表面积为 _______
50

3.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系是( A.平行 B.相交且垂直 C. 异面 D.相交成 60° 4.抛物线 y ? 2 x 的准线方程为 (
2

) C. y ? 1 D. y ?

cm 2 .

10
20 20 20 俯视图

主视图

40 侧视图

A. y ? ?

1 8
2

B. y ? ?

1 4

1 2


12. 一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其 底角为 45 ,腰和上底均为 1. 如图,则平面图形的实际面积为 13. 以抛物线 C : y ? 8 x 上的一点 A 为圆心作圆,若该圆经过抛物
2
?

.

5.已知双曲线 x ?

y2 ? 1 的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值为( a
B. 4
2

A. 2

C.

1 2

D.

1 4

线 C 的顶点和焦点,那么该圆的方程为

.

6. 已知点 P 是抛物线 x ? 4 y 上的一个动点, 则点 P 到点 M (2,0) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距 离之和的最小值为( )
1

14.下列有关命题的说法正确有

。(填写序号)

①命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1, 则x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ② “x=1”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

如图所示四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,四边形 ABCD 中, AB ? AD , BC // AD , PA ? AB ? BC ? 2 , AD ? 4 , E 为 PD 的中 点, F 为 PC 中点. (Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求证: BF // 平面 ACE ; (Ⅲ)求直线 PD 与平面 PAC 所成的角的正弦值;

③若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 ④对于命题 p : ?x ? R使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分12分) 已知命题 p :关于 x 的方程 x ? 2 x ? a ? 0 有实数解,命题 q :关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0 的
2 2

解集为 R ,若 (?p) ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

16. (本题满分 12 分)
P 2 F A E

17.(本题满分 14 分)

已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 . ⑴ 证明:不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交; ⑵ 当 k 取何值时,圆 C 被直线 l 截得的弦长最短?并求最短的弦的长度.

已知椭圆 C :

1 x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过坐标原点 O 且斜率为 的直线 l 与 2 2 2 a b

C 相交于 A 、 B , | AB |? 2 10 .
⑴求 a 、 b 的值; ⑵若动圆 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围.

18.(本题满分 14 分)
3

19. (本题满分 14 分) 如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O ,

PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点.
(Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时,求二面 角 M ? EF ? N 的余弦值.

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 以原点为圆心, 椭圆短半轴长为半径的 a b 3 圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上的动点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明: k1 ? 2 为定值; k (Ⅲ) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若 是什么曲线.
第 19 题图

OP OM

? ? ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹

20. (本题满分 14 分)

2012—2013 学年度佛山三中高二上学期期末模拟试题
4

数 学 (理科)答案

2013 年 1 月 18 日

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.C 2.A 3.D 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 7.三条直线: l1 : x ? 0 , l2 : y ? 1 ; l3 : y ? ;

p 2 x ? 1 ,切点 ( , 2) 。∴选 C。 2 p

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11.12800 12. 2 ? 2 13.

GE FH 1 ? ? , ED HD 2 BO BC 1 ? ? , 在底面 ABCD 中, BC // AD ,所以 OD AD 2 FH BO 1 ? ? ,故 BF // OH ,又 OH ? 平面 ACE , BF ? 平面 ACE , 所以 HD OD 2 所以 BF // 平面 ACE . ???8 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知, CD ? 平面 PAC ,所以 ?DPC 为直线 PD 与平面 PAC 所成的角,
在 ?DFG 中, HE // FG ,则 在 Rt ?PCD 中, CD ? 2 2, PD ?

? x ? 1?

2

? y?2 2

?

?

2

?9

14. ①②④

PA2 ? AD2 ? 2 5 , 所以 sin ?DPC ?
10 . 5

CD 2 2 10 , ? ? PD 2 5 5
???12 分

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分12分) 解:因为 (?p) ? q 是真命题, 所以 ?p 和 q 都为真命题,即 p 为假命题且 q 为真命题. ①若 p 为假命题,则 ?1 ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 . ②若 q 为真命题,则 ?2 ? a2 ? 4a ? 0 , 所以 0 ? a ? 4 , 由①②知,实数 a 的取值范围 是 {a | 1 ? a ? 4 } . 16. 【解析】 (Ⅰ)因为 PA ? 底面 ABCD , CD ? 面 ABCD , 所以 PA ? CD ,又因为直角梯形面 ABCD 中, AC ? 2 2, CD ? 2 2 , 所以 ???4 分 ????9分 ????12分 ????3分 ????6分

所以直线 PD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 17.⑴. 【证明】

方法一:圆 C 的方程可化为: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 22 ,圆心为 C (3, 4) ,半径 r ? 2 . 直线 l 的方程可化为: y ? k ( x ? 4) ? 3 ,直线过定点 P(4,3) ,斜率为 k . 定点 P(4,3) 到圆心 C (3, 4) 的距离 d ?

????1 分 ????3 分 ????6 分 ????7 分 ????1 分 ????2 分

(4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? r ,

∴定点 P(4,3) 在圆 C 内部,∴不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交.
2 2 2 方法二:圆 C 的方程可化为: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2 ,圆心为 C (3, 4) ,半径 r ? 2 .

AC 2 ? CD2 ? AD2 ,即 AC ? CD ,又 PA ? AC ? A ,所以 CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)解法一:如图,连接 BD ,交 AC 于 O ,取 PE 中点 G , P 连接 BG, FG, EO ,则在 ?PCE 中, FG // CE ,
又 EC ? 平面 ACE , FG ? 平面 ACE ,所以 FG // 平面 ACE ,

圆心 C (3, 4) 到直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 的距离 d ?

| ?k ? 1| k 2 ?1



G E F

d2 ?
2

2k k 2 ? 1 ? 2k 2k 2 2 2 ? 1? 2 ≥ ,因 ? k ? 1? ? 2k ? ? k ? 1? ≥0 , k ? 1 2k ,1≥ 2 , ???5 分 2 k ?1 k ?1 k ?1
????6 分 ????7 分

BO GE ? 因为 BC // AD ,所以 ,则 OE // BG , OD ED 又 OE ? 平面 ACE , BG ? 平面 ACE ,所以 BG // 平面 ACE , 又 BG ? FG ? G ,所以平面 BFG // 平面 ACE , 因为 BF ? 平面 BFG ,所以 BF // 平面 ACE .
解法二:如图,连接 BD ,交 AC 于 O ,取 PE 中点 G , 连接 FD 交 CE 于 H ,连接 OH ,则 FG // CE ,

A D B P G E F A O C D H 5 O C

2k ≤2 ? 4 ? r 2,d ? r , 2 k ?1 ∴不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交.
故 d ? 1? ⑵. 圆心 C (3, 4) 到直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 的距离 d ?

???8 分

| ?k ? 1| k 2 ?1
????9 分

C 被直线 l 截得的弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? ?1 ?

? ?

2k ? ?, k 2 ?1 ?

B

当 k ? 0 时,弦长 ? 2 3 ;

????10 分

1 当 k ? 0 时,弦长 ? 2 3 ? ,下面考虑先求函数 y ? k ? 的值域. 1 k k? k

2

????11 分

2 ?8 ?a2 ? b2 ? 1 ? 所以 ? 2 2 ?c ? a ? b ? 3 ?a a 2 ?
解得 a ? 4 , b ? 2

??5 分

??6 分

, 1) 由函数知识可以证明:函数在 (??, 1) 上单调递增,在 (?1 0) 上单调递减,在 (0, 上单调递减,在 ? (1, ?) 上单调递增(证明略) ? ,
故当 k ? 0 时,函数在 k ? ?1 处取得最大值-2;当 k ? 0 时,函数在 k ? 1 处取得最小值 2. ??12 分

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 ⑵由 ? 16 消去 y 得 3x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ??7 分,动圆与椭圆没有公共点,当 4 ?( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 ?
且仅当 ? ? (?8m) 2 ? 4 ? 3 ? (4m 2 ? 12) ? 16m 2 ? 144 ? 0 或 | m |? 5 解得 | m |? 3 或 | m |? 5
2 2 动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与直线 y ?

1 1 即 k ? ≥2 或 k ? ≤ ? 2 , k k 1 1 1 1 故0 ? ≤ 或? ≤ ? 0 ,可得 1 2 2 k?1 k? k k 2 2 2 2 ?1≤ ? ? 0或0 ? ≤1,即 ?1≤ ? ≤1 且 ? ?0, 1 1 1 1 k? k? k? k? k k k k 2 2 2≤3 ? ≤4 且 3 ? ? 3, 1 1 k? k? k k

??9 分 ??10 分

x |m| ? 1 ,即 | m |? 5 没有公共点当且仅当 2 5

??12 分

解?

?| m |? 3 ?| m |? 5

或?

?| m |? 5 ?| m |? 5

??13 分

得 m 的取值范围为 m | 5 ? m ? 3或m ? 5或 ? 3 ? m ? ? 5或m ? ?5 19. (本题满分 14 分) 解:法 1: (Ⅰ)连结 BD , ∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴PA ? BD , ????13 分 又∵ BD ? AC , AC ? PA ? A , 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点, ????14 分 ∴BD ? 平面 PAC , ∴EF // BD ,

?

?

???14 分

2 2≤2 3 ?

2 k? 1 k

≤4 且 2 3 ?

2 k? 1 k

?2 3.

综上,当 k ? 1 时,弦长取得最小值 2 2 ;当 k ? ?1 时,弦长取得最大值 4. 18. (本题满分 14 分) ⑴依题意, l : y ?

∴EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴ 平面 PAC ? 平面 NEF ; ---------------------------------------4 分

x 2

??1 分 ??2 分 ??3 分

(Ⅱ )连结 OM , ∵ PC // 平面 MEF ,平面 PAC ? 平面 MEF ? OM , ∴ ∴PC // OM , -------------------------------8 分

不妨设设 A(2t , t ) 、 B(?2t , ? t ) ( t ? 0 ) 由 | AB |? 2 10 得 20t ? 40 , t ?
2

2

PM OC 1 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 PA AC 4

(Ⅲ )∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴NO ? EF , ∴?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ∵点 M 是 PA 的中点,∴AM ? NC ? 2 ,
6

------------------------------------10 分

所以在矩形 MNCA 中,可求得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ?
2 2 2

--------------------12 分

解: )由题意可得圆的方程为 x2 ? y 2 ? b2 , (Ⅰ ∵ 直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切,∴d ?

MO ? ON ? MN 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33
-------------------------------14 分

2 ? b ,即 b ? 2 , 2

-----------------------------------1 分

∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ? 法 2: (Ⅰ)同法 1;

33 . 33

(Ⅱ )建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) , C (4, 4, 0) , E (4, 2, 0) , F (2, 4,0) , ∴PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2, 2,0) , 设点 M 的坐标为 (0,0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) ,

??? ?

??? ?

?

????

? ???? ?n ? ME ? 0 ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 ? 所以 ? ? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? , ? m ??2 x ? 2 y ? 0 ?n ? EF ? 0 ? 6 ? 故 n ? (1,1, ) , m ??? ? ? 24 ? 0 ,解得 m ? 3 , ∵PC // 平面 MEF ,∴PC ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ? m 故 AM ? 3 ,即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点;故 PM : MA ? 1: 3 --------------------------8 分 ??? ? ?? (Ⅲ N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) , ) ?? ???? ?m ? EN ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ?? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 , ? ??2 x ? 2 y ? 0 ?m ? EF ? 0 ? ?? 则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) ,
? 当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) ,

c 3 2 2 2 ,即 a ? 3c , a ? b ? c ,解得 a ? 3 , c ? 1 , ? a 3 x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆方程为 --------------------------3 分 3 2 x2 y 2 2 2 2 (Ⅱ )设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) , A(? 3,0) , B( 3,0) ,则 0 ? 0 ? 1 ,即 y0 ? 2 ? x0 , 3 3 2 y0 y0 则 k1 ? , k2 ? , ---------------------------------------4 分 x0 ? 3 x0 ? 3 2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) 2 y0 2 ? 23 ? 3 2 ?? , 即 k1 ? k2 ? 2 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 3 2 ∴k1 ? 2 为定值 ? . --------------------------------6 分 k 3 (Ⅲ )设 M ( x, y ) ,其中 x ?[? 3, 3] . 2 2 x2 ? 2 ? x2 2 OP 3 ? x ? 6 ? ?2 , ? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得 由已知 2 x2 ? y 2 3( x 2 ? y 2 ) OM
又e ? 整理得 (3? ?1) x ? 3? y ? 6 ,其中 x ?[? 3, 3] .
2 2 2 2

-------------------------------------8 分

3 2 时,化简得 y ? 6 , 3 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 6(? 3 ? x ? 3) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段; ----------------9 分
①当 ? ? ②当 ? ?

3 时,方程变形为 3

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?[? 3, 3] , -----------------------------11 分 6 6 3? 2 ? 1 3? 2

当0 ? ? ? 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ? x ? 3 的部分; 3

?? ? 1?1? 3 33 ∴cos ? m, n ?? , ?? 33 3 ? 11
∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ? x ? 3 的部分; 3 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. ---------------------------------------14 分

33 .-------14 分 33

20. (本题满分 14 分)
7


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