2017高考数学一轮复习数学(文)第二章 基本初等函数(全章训练)

第 1 课时

函数及其表示

【A 级】 基础训练 1.(2013· 高考江西卷)函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1] )

? ?x≥0 解析:由? ,解得 0≤x<1,故选 B. ?1-x>0 ?

答案:B 2x ,x<0, ? ? 2.已知函数 f(x)=? π -tan x,0≤x< , ? 2 ?
3

?π?? 则 f? ?f?4??=(
A.-1 π C. 4

) B.1 D.-2

解析:分步求函数值,先内后外. π π 0, ?, ∵ ∈? 4 ? 2? π? π ∴f? ?4?=-tan 4=-1,
3 ?π?? ∴f? ?f?4??=f(-1)=2×(-1) =-2.

答案:D
?x2+bx+c x≤0, ? 3.(2015· 吉林模拟)设函数 f(x)=? 若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,则关于 ? x>0, ?2

x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 C.3

) B.2 D.4

??-2?2-2b+c=c, ? 解析:由已知得? 2 ??-1? -b+c=-3, ? ?b=2, ? 解得? ? ?c=-2,
2 ? ?x +2x-2,x≤0, ? ∴f(x)= ?2, x>0, ?

1

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+2x-2=x,得 x=-2 或 x=1,又 x≤0,故 x=1 舍去, 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2, 所以方程 f(x)=x 有两个解. 答案:B 2 ? 4.已知 f? ?x+1?=lg x,则 f(21)=________. 2 2 解析:令 +1=t(t>1),则 x= , x t-1 ∴f(t)=lg 2 2 ,f(x)=lg (x>1),∴f(21)=-1. t-1 x-1

答案:-1 3x -4?x>0?, ? ? 5.(2015· 西宁模拟)若函数 f(x)=?π?x=0?, ? ?0?x<0?, 解析:∵f(0)=π,f(π)=3π2-4, ∴f(f(0))=f(π)=3π2-4. 答案:3π2-4 6.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=________. 解析:∵f(x)是一次函数, ∴设 f(x)=ax+b(a≠0), 又∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 即 ax+5a+b=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7. 答案:2x+7 7.已知函数 y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.
2

则 f(f(0))=________.

解:根据图像,设左侧的射线对应的解析式为 y=kx+b(x≤1). ∵点(1,1),(0,2)在射线上,
?k+b=1, ?k=-1, ? ? ∴? 解得? ?b=2, ?b=2. ? ?

∴左侧射线对应函数的解析式为 y=-x+2(x≤1); 同理,x≥3 时,函数的解析式为 y=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为 y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0),
2

∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,a=-1, ∴1≤x≤3 时,函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3),

?-x+2,x<1 综上,函数的解析式为 y=?-x +4x-2,1≤x≤3 ?x-2,x>3
2

.

? ?x-1,x>0 8.(2015· 深圳模拟)已知 f(x)=x2-1,g(x)=? . ?2-x,x<0 ?

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f(g(x))=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f(g(x))=(2-x)2-1=x2-4x+3;
2 ? ?x -2x,x>0, ? ∴f(g(x))= 2 ?x -4x+3,x<0, ?

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g(f(x))=f(x)-1=x2-2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g(f(x))=2-f(x)=3-x2,
?x2-2,x>1或x<-1, ? ∴g(f(x))=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1.

【B 级】 能力提升 1.(2014· 高考安徽卷)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 C.-1 或-4 B.-1 或 5 D.-4 或 8 )

解析:利用绝对值的几何意义分类讨论,根据解析式特征确定函数最小值点进而求 a. a (1)当-1≤- ,即 a≤2 时, 2

3

? ?-x-a+1,-1<x<-a, 2 f(x)=? a ? ?3x+a+1,x≥-2.
a a 易知函数 f(x)在 x=- 处取最小值,即 1- =3. 2 2 所以 a=-4. a (2)当-1>- ,即 a>2 时, 2

-3x-a-1,x≤-1,

?-3x-a-1,x≤-2, ? a f(x)=? x+a-1,- <x<-1, 2 ? ?3x+a+1,x≥-1.
a a 易知函数 f(x)在 x=- 处取最小值,即 -1=3, 2 2 故 a=8.综上 a=-4 或 8. 答案:D 2. (2015· 衡水模拟)函数 f(x)的定义域为 D, 若对于任意 x1, x2∈D, 当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2), 则称函数 f(x)在 D 上为非减函数.设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: x? 1 ?1? ?1? ①f(0)=0;②f? ?3?=2f(x);③f(1-x)=1-f(x),则 f?3?+f?8?等于( 3 A. 4 1 B. 2 )

a

2 C.1 D. 3 解析:∵f(0)=0,f(1-x)=1-f(x), 1? 1 ∴f(1)=1,又 f? ?3?=2f(1), 1? 1 ∴f? ?3?=2, 又∵f(1-x)+f(x)=1, 1? ?1? ?1? 1 ∴f? ?2?+f?2?=1,∴f?2?=2, 1? ?1? ?1? f? ?9?≤f?8?≤f?6?, 1? 1 ?1? 1 f? ?9?=2f?3?=4, 1? 1 ?1? 1 f? ?6?=2f?2?=4.
4

1? 1 1? 1 1 ∴ ≤f? ≤ ,∴f? ?8?=4. 4 ?8? 4 1? ?1? 1 1 3 ∴f? ?3?+f?8?=2+4=4. 答案:A
?-x-1?-1≤x<0? ? 3.(2015· 武汉模拟)已知函数 f(x)=? ,则 f(x)-f(-x)>-1 的解集为( ?-x+1?0<x≤1? ?

)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)

1 -1,- ?∪(0,1] B.? 2? ? 1 -1,- ?∪(0,1) D.? 2? ?

解析:①当-1≤x<0 时,0<-x≤1,此时 f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1, ∴f(x)-f(-x)>-1 化为-2x-2>-1, 1 1 得 x<- ,则-1≤x<- . 2 2 ②当 0<x≤1 时,-1≤-x<0, 此时,f(x)=-x+1, f(-x)=-(-x)-1=x-1, ∴f(x)-f(-x)>-1 化为-x+1-(x-1)>-1, 3 解得 x< ,则 0<x≤1. 2 1? 故所求不等式的解集为? ?-1,-2?∪(0,1]. 答案:B
?x2+x,x<0, ? 4.(2014· 高考浙江卷)设函数 f(x)=? 2 ?-x ,x≥0. ?

若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围是________. 解析:利用分段函数的图像,先求出 f(a)的范围,再求 a 的范围. f(x)的图像如图, 由图像知, 满足 f(f(a))≤2 时, 得 f(a)≥-2, 而满足 f(a)≥-2 时, 得 a≤ 2.

5

答案:a≤ 2 5.(2013· 高考陕西卷)设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有( A. [-x]=-[x] C.[x+y]≤[x]+[y] 解析:结合特殊值利用排除法求解. A,取 x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x]; B,取 x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x]; C,取 x=y=1.6,则[x+y]=[3.2]=3,[x]+[y]=[1.6]+[1.6]=2,显然[x+y]>[x]+[y]. 排除 A,B,C,选 D. 答案:D
?ax+y?xy>0? ? 6.对于实数 x,y,定义运算 x*y=? ,已知 1]2)的序号为________.(填写所有 ?x+by?xy<0? ?

)

B.[2x]=2[x] D.[x-y]≤[x]-[y]

正确结果的序号) ① 2* 2 ②- 2* 2 ④3 2*(-2 2)

③-3 2*2 2

?2x+y?xy>0? ? 解析:∵1]∴x*y=? , ? ?x+3y?xy<0?

∴① 2* 2=2 2+ 2=3 2, ②- 2* 2=- 2+3 2=2 2, ③-3 2*2 2=-3 2+3×2 2=3 2, ④3 2*(-2 2)=3 2+3×(-2 2)=-3 2. 答案:①③ 7.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液 中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示曲线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次 服药的时间为 7∶00,问之后的 10 小时中应怎样安排服药时间?

6

? ?12t ? ?0≤t≤2? 解:(1)由题意知 y=? 4 32 1 ? ?-5t+ 5 ? ?2<t≤8?

1

.

1 ? (2)设第二次服药是在第一次服药后 t1? ?2<t1<8?小时, 4 32 则- t1+ =4,解得 t1=3(小时).因而第二次服药应在 10:00.设第三次服药在第一次服 5 5 药后 t2(3<t2<8)小时,则此时血液中含药量应为两次服药后的含药量的和. 4 32 4 32 - t2+ - (t2-3)+ =4, 5 5 5 5 解得 t2=7(小时),即第三次服药应在 14:00. 设第四次服药应在第一次服药后 t3 小时(t3>8), 则此时第一次服进的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次的和. 4 32 4 32 - ?t -7?+ ?=4, - (t3-3)+ +? 5? 5 5 ? 5 3 解得 t3=10.5(小时)>10 小时故舍去.

第 2 课时

函数的定义域和值域
【A 级】 基础训练

1.(2015· 济南质检)函数 y= x?x-1?+ x的定义域为( A.{x|x≥0} C.{x|x≥1}∪{0} B.{x|x≥1}

)

D.{x|0≤x≤1}

?x?x-1?≥0 ?x≤0或x≥1 ? ? 解析:由题意得? ,即? , ? ? ?x≥0 ?x≥0

所以{x|x≥1}∪{0}. 答案:C f?2x? 2.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4]
? ?0≤2x≤2 解析:由已知有? ,得 0≤x<1, ?x-1≠0 ?

)

B.[0,1) D.(0,1)

∴定义域为[0,1).
7

答案:B
2 ? ?3-x ,x∈[-1,2], 3.已知函数 f(x)=? 则方程 f(x)=1 的解是( ?x-3,x∈?2,5], ?

)

A. 2或 2 C. 2或 4

B. 2或 3 D.± 2或 4

解析:当 x∈[-1,2]时,由 3-x2=1?x= 2; 当 x∈(2,5]时,由 x-3=1?x=4. 综上所述,f(x)=1 的解为 2或 4. 答案:C 4.函数 y= 1 +ln(x+1)的定义域为________. -x -3x+4
2

? ?x+1>0, 解析:由? 2 得-1<x<1. ?-x -3x+4>0, ?

答案:(-1,1) 5.函数 y= x-x(x≥0)的值域为________. 1?2 1 解析:y= x-x=-( x)2+ x=-? ? x-2? +4, 1? 1 ∴ymax= .故值域为? ?-∞,4?. 4 1? 答案:? ?-∞,4? 6.函数 y=f(x)的图像如图所示,那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只 与 x 的一个值对应的 y 值的范围是________.

解析:由图像知,函数 y=f(x)的图像包括两部分,一部分是以点(-3,2)和(0,4)为两个端点的 一条曲线段,一部分是以(2,1)为起点,到(3,5)结束的曲线段,故其定义域是[-3,0]∪[2,3], 值域为[1,5],只与 x 的一个值对应的 y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]. 答案:[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 7.求下列函数的定义域和值域: (1)y= 1-x- x; (2)y=log2(x2-2x+1); (3)

8

x y

0 2

1 3

2 4

3 5

4 6

5 7

?1-x≥0, ? 解:(1)要使函数有意义,则? ? ?x≥0.

∴0≤x≤1,函数的定义域为[0,1]. ∵函数 y= 1-x- x为减函数, ∴函数的值域为[-1,1]. (2)要使函数有意义, 则 x2-2x+1>0,∴x≠1, 函数的定义域为{x|x≠1,x∈R}, ∵x2-2x+1∈(0,+∞), ∴函数的值域为 R. (3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}, 函数的值域为{2,3,4,5,6,7}. 8.某公司招聘员工,连续招聘三天,应聘人数和录用人数符合函数关系 y= 4x,1≤x≤10 ? ? ?2x+10,10<x≤100, ? ?1.5x,x>100

其中,x 是录用人数,y 是应聘人数.若第一天录用 9 人,第二天

的应聘人数为 60,第三天未被录用的人数为 120.求这三天参加应聘的总人数和录用的总人 数. 解:由 1<9<10, 得第一天应聘人数为 4×9=36. 由 4x=60,得 x=15?[1,10]; 由 2x+10=60,得 x=25∈(10,100]; 由 1.5x=60,得 x=40<100. 所以第二天录用人数为 25. 设第三天录用 x 人,则第三天的应聘人数为 120+x. 由 4x=120+x,得 x=40?[1,10]; 由 2x+10=120+x,得 x=110?(10,100]; 由 1.5x=120+x,得 x=240>100. 所以第三天录用 240 人,应聘人数为 360. 综上,这三天参加应聘的总人数为 36+60+360=456, 录用的总人数为 9+25+240=274. 【B 级】
9

能力提升

1.函数 y= 16-4x的值域是( A.[0,+∞) C.[0,4)

) B.[0,4] D.(0,4)

解析:∵16-4x≥0 且 4x>0,∴0≤16-4x<16, ∴0≤ 16-4x<4,故选 C. 答案:C ?x-a? ,x≤0, ? ? 2.(2014· 高考上海卷)设 f(x)=? 1 若 f(0)是 f(x)的最小值, 则 a 的取值范围为 x+ +a,x>0. ? ? x ( ) B.[-1,0] D.[0,2]
2

A.[-1,2] C.[1,2]

1 解析:∵当 x≤0 时,f(x)=(x-a)2,又 f(0)是 f(x)的最小值,∴a≥0.当 x>0 时,f(x)=x+ + x a≥2+a,当且仅当 x=1 时取“=”.要满足 f(0)是 f(x)的最小值,需 2+a≥f(0)=a2,即 a2-a-2≤0,解之,得-1≤a≤2,∴a 的取值范围是 0≤a≤2.选 D. 答案:D 1 + 3.(2015· 龙岩质检)已知函数 f(x)=log (4x-2x 1+1)的值域是[0,+∞),则它的定义域可以 2 是( ) B.(0,1) D.(-∞,0]
x x+1

A.(0,1] C.(-∞,1] 解析: 依题意得 0<4 -2
x

+1≤1, 即 0<(2 -1)2≤1, ∴-1<2x-1≤1 且 2x-1≠0, 即 0<2x≤2

且 2x≠1,∴x≤1 且 x≠0,可排除 C、D;对于 B,当 x∈(0,1)时,f(x)∈(0,+∞),故选 A. 答案:A 4 4.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b 为整数),值域是[0,1],则满足条件的整 |x|+2 数数对(a,b)共有________个. 4 解析: 由 0≤ -1≤1, 得 0≤|x|≤2.满足条件的整数数对有(-2,0)、 (-2,1)、 (-2,2)、 (0,2)、 |x|+2 (-1,2),共 5 个. 答案:5 5. (2015· 北京东城综合测试)已知定义域为 D 的函数 y=f(x), 若对于任意 x∈D, 存在正数 K, 都有|f(x)|≤K|x|成立,那么称函数 y=f(x)是 D 上的“倍约束函数”.已知下列函数:①f(x)

10

π x2 x+ ?;③f(x)=x3-2x2+x;④f(x)= 2 =2x;②f(x)=2sin? (x>0). ? 4? x +x+1 其中是“倍约束函数”的是________.(将你认为正确的函数序号都填上) 解析:对于①,f(x)=2x,|2x|≤K|x|?K≥2,故存在正数 K,对任意 x∈R,都有|f(x)|≤K|x|

? π?? 成立,故①满足;对于②,如图,由函数 y=? ?2sin?x+4??和 y=K|x|的图像可知,无论 K 取
|f?x?| 何正值, 总存在 x∈(0, x0)不满足不等式成立, 故②不满足; 对于③, 若 =|x2-2x+1|≤K |x| |f?x?| 恒成立, 需 K≥|x2-2x+1|max, 但|x2-2x+1|无最大值, 故 K 不存在, ③不满足; 对于④, |x|

?2 x ? 1 ?x +x+1? ? x ? ? 1 ? 1 1 = = x2+x+1 =? ≤ ,只需 K≥ 即可,故④满足.综上,满足题意 ? |x| 3 ? ? ?x+x+1? 3
的为①④.

2

答案:①④ 6. 设 g(x)是定义在 R 上, 以 1 为周期的函数, 若函数 f(x)=x+g(x)在[0,1]上的值域为[-2,5], 则 f(x)在[0,3]上的值域为________. 解析:设 x1∈[0,1],f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5].∵函数 g(x)是以 1 为周期的函数, ∴当 x2∈[1,2]时,f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1)∈[-1,6], 当 x3∈[2,3]时,f(x3)=f(x1+2)=x1+2+g(x1)∈[0,7]. 综上可知,当 x∈[0,3]时,f(x)∈[-2,7]. 答案:[-2,7] 7.(创新题)已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). (1)若函数的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数的值域为非负数,求函数 g(a)=2-a|a+3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0, ∴2a2-a-3=0, 3 ∴a=-1 或 a= . 2 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, ∴Δ=16a2-4(2a+6)=8(2a2-a-3)≤0. 3 ∴-1≤a≤ .∴a+3>0, 2

11

∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 3?2 17? ? 3?? =-? ?a+2? + 4 ?a∈?-1,2??. 3? ∵二次函数 g(a)在? ?-1,2?上单调递减, 3? ∴g? ?2?≤g(a)≤g(-1), 19 即- ≤g(a)≤4. 4 19 ? ∴g(a)的值域为? ?- 4 ,4?.

第 3 课时

函数的单调性及最值
【A 级】 基础训练

1 1 + 1.给定函数①y=x ,②y=log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单调递 2 2 减的函数的序号是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

解析:画出 4 个图像,可知②③正确.故选 B.

答案:B 2.(2015· 辽宁六校联考)已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,则实 数 a 的取值范围是( )

A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪(4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞) a 解析:命题 p 等价于 Δ=a2-16≥0,即 a≤-4 或 a≥4;命题 q 等价于- ≤3,即 a≥-12. 4 由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假.若 p 真 q 假,则 a<-12; 若 p 假 q 真,则-4<a<4,故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4). 答案:C

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? ?-x+3-3a,?x<0? 3.(2015· 济宁一中模拟)已知函数 f(x)=? x (a>0,且 a≠1)是(-∞,+ ?a , ?x≥0? ?

∞)上的减函数,则 a 的取值范围是( 2? A.? ?0,3? 1 ? B.? ?3,1?

)

1 2? C.(2,3) D.? ?2,3?
?0<a<1 ? 2 解析:由 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,可得? ,化简得 0<a≤ . 0 3 ? ?f?0?=a ≤3-3a

答案:A 1 ? 1 1 4 .已知函数 f(x) = + (a>0 , x>0) ,则 f(x) 在 ? ?2,2? 上的最大值为 ________ ,最小值为 a x ________. 1 1 1 ? ,2 上为减函数, 解析:∵f(x)= + 在? a x ?2 ? 1 1 ∴f(x)min=f(2)= + , a 2 1? 1 f(x)max=f? ?2?=a+2. 1 1 1 答案: +2 + a a 2 5.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________.

?2x+a,x≥-2; 解析:f(x)=|2x+a|=? a ?-2x-a,x<-2.
a 由图像可知,单调增区间为[- ,+∞). 2 a ∴- =3,a=-6. 2 答案:-6 6.(2015· 徐州模拟)已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的 取值范围是________. 解析:①当 a=0 时,f(x)=0-12x+5 在(-∞,3)上为减函数. 3-a ②当 a>0 时, 要使 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞, 3)上为减函数,则对称轴 x= a 3-a 3 必在 x=3 的右边,即 ≥3.故 0<a≤ ; a 4 ③当 a<0 时,不可能在(-∞,3)上恒为减函数.

a

13

3? 综上可知,a 的取值范围为? ?0,4?. 3? 答案:? ?0,4? 7.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解:(1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2). ∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0, 3?x a 当 a<0,b>0 时,? ?2? >-2b, a? 则 x>log1.5? ?-2b?; 3?x a 当 a>0,b<0 时,? ?2? <-2b, a? 则 x<log1.5? ?-2b?. 1 8.函数 f(x)=x2+x- . 4 (1)若定义域为[0,3],求 f(x)的值域; 1 1? (2)若 f(x)的值域为? ?-2,16?,且定义域为[a,b],求 b-a 的最大值. 1?2 1 1 解:∵f(x)=? ?x+2? -2,∴对称轴为 x=-2. 1 (1)∵3≥x≥0>- , 2 1 47? ∴f(x)的值域为[f(0),f(3)],即? ?-4, 4 ?. 1 1 (2)∵x=- 时,f(x)=- 是 f(x)的最小值, 2 2 1 1 1 ∴x=- ∈[a,b],令 x2+x- = , 2 4 16 5 1 得 x1=- ,x2= , 4 4

14

5 3 1 - ?= . 根据 f(x)的图像知 b-a 的最大值是 -? 4 ? 4? 2

【B 级】 能力提升 1.(2015· 孝感模拟)已知函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增, 1? 则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围是( 1 2? A.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 2x-1≥0, ? ? 1 2 解析:由已知,得? 得 ≤x< . 1 2 3 ?2x-1<3, ? 答案:D 2.(2014· 高考山东卷)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( 1 1 A. 2 > 2 x +1 y + 1 B.ln(x2+1)>ln(y2+1) C.sin x>sin y D.x3>y3 解析:先依据指数函数的性质确定出 x,y 的大小,再逐一对选项进行判断.因为 0<a<1, 1 ax<ay,所以 x>y.采用赋值法判断,A 中,当 x=1,y=0 时, <1,A 不成立.B 中,当 x= 2 0, y=-1 时, ln 1<ln 2, B 不成立. C 中, 当 x=0, y=-π 时, sin x=sin y=0, C 不成立. D 中,因为函数 y=x3 在 R 上是增函数,故选 D. 答案:D 3.(2015· 咸宁模拟)定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且 f(x+2)的图像关 于 x=0 对称,则( A.f(-1)<f(3) C.f(-1)=f(3) ) B.f(0)>f(3) D.f(0)=f(3) ) ) 1 2? B.? ?3,3? 1 2? D.? ?2,3?

解析:因为 f(x+2)的图像关于 x=0 对称,所以 f(x)的图像关于 x=2 对称,又 f(x)在区间(- ∞,2)上是增函数,则其在(2,+∞)上为减函数,作出其图像大致形状如图所示.

15

由图像知,f(-1)<f(3),故选 A. 答案:A 4.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析:y=-(x-3)|x|
?-x2+3x,x>0, ? =? 2 ?x -3x,x≤0. ?

3? 作出该函数的图像,观察图像知递增区间为? ?0,2?.

3? 答案:? ?0,2?
?ax ?x<0? ? f?x1?-f?x2? 5.已知函数 f(x)=? ,满足对任意 x1≠x2,都有 <0 成立,则 x1-x2 ??a-3?x+4a ?x≥0? ?

a 的取值范围是________. 解析:由已知 f(x)在 R 上为减函数, 0<a<1, ? ? ∴应有?a-3<0, ? 0+4a≤1, ??a-3?· 1 解得 0<a≤ . 4 1? 答案:? ?0,4?
2 ? ?x +1,x≥0, ? 6.(2015· 鄂州模拟)已知函数 f(x)= 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值 ?1,x<0, ?

范围是________.
?x2+1,x≥0 ? 解析:法一:画出 f(x)=? 的图像, ?1,x<0 ?

16

由图像可知, 若 f(1-x2)>f(2x),
2 ? ?1-x >0 则? , 2 ?1-x >2x ?

?-1<x<1 即? , ?-1- 2<x<-1+ 2
得 x∈(-1, 2-1). 法二:当 x=-1 时,1-x2=0,则 f(0)=1, f(-2)=1,无解; 当-1<x≤0 时,1-x2>0,f(1-x2)>f(2x)化为(1-x2)2+1>1,恒成立, 当 0<x≤1 时,1-x2≥0,2x>0, 原不等式化为(1-x2)2+1>(2x)2+1,即(x+1)2<2, ∴0<x< 2-1. 当 1-x2<0 时无解. 综上知:-1<x< 2-1. 答案:(-1, 2-1) 1-x 7.(2015· 郑州市高三质检)已知函数 f(x)= +ln x. ax 1 (1)当 a= 时,求 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 1 (2)若函数 g(x)=f(x)- x 在[1,e]上为增函数,求正实数 a 的取值范围. 4 1 解:(1)当 a= 时, 2 2?1-x? f(x)= +ln x, x x-2 f′(x)= 2 ,令 f′(x)=0,得 x=2, x ∴当 x∈[1,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在[1,2)上单调递减; 当 x∈(2,e]时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,e]上单调递增, ∴f(x)在区间[1,e]上有唯一的极小值点, 故 f(x)min=f(x)极小值=f(2)=ln 2-1. 2-e 又∵f(1)=0,f(e)= <0. e
17

∴f(x)在区间[1,e]上的最大值 f(x)max=f(1)=0. 综上可知,函数 f(x)在[1,e]上的最大值是 0,最小值是 ln 2-1. 1 1-x 1 (2)∵g(x)=f(x)- x= +ln x- x, 4 ax 4 -ax2+4ax-4 ∴g′(x)= (a>0), 4ax2 设 φ(x)=-ax2+4ax-4,由题意知,只需 φ(x)≥0 在[1,e]上恒成立即可满足题意. ∵a>0,函数 φ(x)的图像的对称轴为 x=2, 4 4 ? ∴只需 φ(1)=3a-4≥0,即 a≥ 即可.故正实数 a 的取值范围为? ?3,+∞?. 3

第 4 课时

函数的奇偶性与周期性
【A 级】 基础训练

1.对任意实数 x,下列函数为奇函数的是( A.y=2x-3 C.y=ln 5x

)

B.y=-3x2 D.y=-|x|cos x

解析:A 为非奇非偶函数,B、D 为偶函数,C 为奇函数. 设 y=f(x)=ln 5x=xln 5, ∴f(-x)=-xln 5=-f(x). 答案:C f?x2?-f?x1? 2.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 >0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2), f?x2?-f?x1? 又∵ >0(x1, x2∈[0, +∞)), ∴f(x)是[0, +∞)上的增函数, ∴f(1)<f(2)=f(-2)<f(3). x2-x1 答案:B 3.(2014· 高考湖南卷)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)= x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 C.1 ) B.-1 D.3 B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) )

解析:根据奇、偶函数的性质,求出 f(x)+g(x)的解析式. ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,
18

∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1. ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1. ∴f(1)+g(1)=-1+1+1=1. 答案:C 4.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


解析: 因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x),即-x(e x+aex)=x(ex+ae x),化简得 x(e
- - -x

+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数 x 都成立,所以 a=-1.

答案:-1 5.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 解析:∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( -x+1), 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 答案:- -x-1 6.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=________. 解析:由 g(x)=f(x)+9,故 g(-2)=f(-2)+9=3, ∴f(-2)=-6. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-2)=-f(2)=-6,∴f(2)=6. 答案:6 7.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围. 解:由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1), 即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上单调递减且 f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数, -2≤1-m≤2, ? ? ∴?-2≤m≤2, ? ?1-m>m, -1≤m≤3, ? ?-2≤m≤2, 即? 1 ? ?m<2,

19

1 解得-1≤m< . 2 1 8.已知函数 f(x)对任意的实数 x 满足:f(x+1)=- ,且当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2. f?x? (1)求 f(2 015); (2)确定函数 y=f(x)的图像与函数 y=|lg x|的图像的交点个数. 1 解:(1)∵对任意 x∈R,都有 f(x+1)=- , f?x? ∴f(x+2)=f((x+1)+1)=- 1 1 =- =f(x). 1 f?x+1? - f?x?

∴f(x)是以 2 为周期的函数, ∴f(2 015)=f(2×1 007+1)=f(1)=12=1. (2)根据 f(x)的周期性及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下

可验证当 x=10 时,y=|lg 10|=1; x>10 时,|lg x|>1,因此结合图像及数据特点 y=f(x)与 y=|lg x|的图像交点共有 10 个. 【B 级】 能力提升 1.(2014· 高考安徽卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x)=0, 23π? 则 f? ? 6 ?=( 1 A. 2 C.0 ) B. 3 2

1 D.- 2

解析:根据已知条件判断出 f(x)是以 2π 为周期的周期函数,然后进行求解. ∵f(x+π)=f(x)+sin x, ∴f(x+2π)=f(x+π)-sin x. ∴f(x+2π)=f(x)+sin x-sin x=f(x). ∴f(x)是以 2π 为周期的周期函数. 23π? ? π π 4π- ?=f?- ?, 又 f? = f 6 6 ? ? ? ? ? 6? π ? ? π? ? π? f? ?-6+π?=f?-6?+sin?-6?, 5π? ? π? 1 ∴f? ? 6 ?=f ?-6?-2. 5π? ∵当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f? ? 6 ?=0,

20

23π? ? π? 1 ∴f? ? 6 ?=f?-6?=2.故选 A. 答案:A 2.(2013· 高考浙江卷)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数” π 是“φ= ”的( 2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

π π 解析:先判断由 f(x)是奇函数能否推出 φ= ,再判断由 φ= 能否推出 f(x)是奇函数. 2 2 π π 若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,所以 cos φ=0,所以 φ= +kπ(k∈Z),故 φ= 不成立; 2 2 π π π ωx+ ?=-Asin(ωx),f(x)是奇函数.所以 f(x)是奇函数是 φ= 的必 若 φ= ,则 f(x)=Acos? 2 ? ? 2 2 要不充分条件. 答案:B 3.(2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶 函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 解析:利用函数奇偶性的定义求解. A:令 h(x)=f(x)· g(x),则 h(-x)=f(-x)· g(-x)=-f(x)· g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,A 错. B:令 h(x)=|f(x)|g(x),则 h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函 数,B 错. C:令 h(x)=f(x)|g(x)|,则 h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,∴h(x)是奇函数,C 正确. D:令 h(x)=|f(x)· g(x)|,则 h(-x)=|f(-x)· g(-x)|=|-f(x)· g(x)|=|f(x)· g(x)|=h(x),∴h(x)是偶 函数,D 错. 答案:C 4.若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a 为偶函数,则 a-4=0, ∴a=4. 答案:4 5.(2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0, 则 x 的取值范围是________. 解析:利用数形结合,通过图像解不等式. ∵f(x)是偶函数,∴图像关于 y 轴对称.又 f(2)=0,且 f(x)在[0,+∞)单调递减,则 f(x)的大
21

) B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

致图像如图所示,由 f(x-1)>0,得-2<x-1<2, 即-1<x<3.

答案:(-1,3) 6.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),下面关于 f(x)的判定:其中正确命 题的序号为________. ①f(4)=0; ②f(x)是以 4 为周期的函数; ③f(x)的图像关于 x=1 对称; ④f(x)的图像关于 x=2 对称. 解析:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4), 即 f(x)的周期为 4,②正确. ∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数),即①正确, 又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x), ∴f(x)的图像关于 x=1 对称,∴③正确, 又∵f(1)=-f(3),当 f(1)≠0 时, 显然 f(x)的图像不关于 x=2 对称,∴④错误. 答案:①②③ 7.设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D),有 x+l∈D, 且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数. (1)如果定义域为[-1,+∞)的函数 f(x)=x2 为[-1,+∞)上的 m 高调函数,求实数 m 的取 值范围; (2)如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x-a2|-a2,且 f(x)为 R 上的 4 高调函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)=x2(x≥-1)的图像如图(1)所示,要使得 f(-1+m)≥f(-1),有 m≥2;x≥-1 时, 恒有 f(x+m)≥f(x),故 m≥2 即可.所以实数 m 的取值范围为[2,+∞);

(2)由 f(x)为奇函数及 x≥0 时的解析式知 f(x)的图像如图(2)所示,∵f(3a2)=a2=f(-a2),
22

由 f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2), 故-a2+4≥3a2,从而 a2≤1, 又 a2≤1 时,恒有 f(x+4)≥f(x),故 a2≤1 即可. 所以实数 a 的取值范围为[-1,1].

第 5 课时

指数与指数函数

【A 级】 基础训练 1.(2013· 高考北京卷)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度,所得图像与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.ex C.e
+1

) B.ex D .e
-1

-x+1

-x-1

解析:利用两曲线关于 y 轴对称的性质,逆用函数图像的平移变换规则求解. 曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e x,将 y=e x 向左平移 1 个单位长度得到 y=e
- - -(x+1)



即 f(x)=e 答案:D

-x-1

.

? 1 ? x ? 2.(2013· 高考安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x? ?x<-1或x>2 ,则 f(10 )> ? ?

0 的解集为(

)

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 1? ? ? 解析:由题意知,一元二次不等式 f(x)>0 的解集为?x? ?-1<x<2 .
? ?

1 而 f(10x)>0,∴-1<10x< , 2 1 解得 x<lg ,即 x<-lg 2. 2 答案:D
?a ? 3.(2015· 上饶质检)定义运算:a*b=? ?b ?

?a≤b? ?a>b?

,如 1](

)

A.R C.(0,1]

B.(0,+∞) D.[1,+∞)

23

x ? ?x≤0?, ?2 解析:f(x)=2 *2 =? -x ?2 ?x>0?, ? x
-x

∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是减函数, ∴0<f(x)≤1. 答案:C 4. 已知 a= 解析:∵a= 5-1 , 函数 f(x)=ax, 若实数 m、 n 满足 f(m)>f(n), 则 m、 n 的大小关系为________. 2 5-1 <1,∴f(x)=ax 是 R 上的减函数, 2

∵f(m)>f(n),∴m<n. 答案:m<n a 5.函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 ,则 a 的值为________. 2 a 解析:当 0<a<1 时,a-a2= , 2 1 ∴a= 或 a=0(舍去). 2 a 当 a>1 时,a2-a= , 2 3 ∴a= 或 a=0(舍去). 2 1 3 综上所述:a= 或 . 2 2 1 3 答案: 或 2 2 6.已知函数 f(x)=ax+b(a>0 且 a≠1)的图像如图所示,则 a+b 的值是________.

?a2+b=0, ?a=2, ? ? 解析:∵? 0 ∴? ∴a+b=-2. ?a +b=-3, ? ? ?b=-4,

答案:-2 7.(2015· 宿州质检)计算下列各式的值: 1 7?0 4 3 3 0.25 6 (1)1.5 ×? ?-6? +8 × 2+( 2× 3) - 2 2 ? ?3; ?3?

24

(2)

4 1 3 3 a -8a b

2 3 3 3 a +2 ab+4b 1

? 2 ?

÷ ?1-2

3 b? 3 ?× a(a>0,b>0). a? 1 1 1

2?3 4 ? 1 1?6 ?2?3 3 4 解:(1)原式=? × 1 + (2 ) × 2 +? 3 =2+4×27=110. 2? - ?3? ?2 ×3 ? ?3? 1 1 3 3 (2)令 a =m,b =n, m4-8mn3 ? 2n?· 则原式= 2 2÷ 1- m? m m +2mn+4n ? = m?m3-8n3? m2 2 2· m +2mn+4n m-2n

m3?m-2n??m2+2mn+4n2? = =m3=a. ?m2+2mn+4n2??m-2n? -2x+b 8.(2015· 佛山模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, -1+b 所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1, 2+a -2x+1 从而有 f(x)= x+1 . 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 从而 Δ=4+12k<0, 1 解得 k<- . 3 【B 级】 能力提升

25

xax 1.函数 y= (0<a<1)的图像的大致形状是( |x|

)

?ax,x>0 xax ? 解析:函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且 y= =? x .当 x>0 时,函数是一个指数 |x| ? ?-a ,x<0

函数,其底数 0<a<1,所以函数递减,排除 A、B 项;当 x<0 时,函数图像与指数函数 y= ax 的图像关于 x 轴对称,函数递增,故选 D. 答案:D 1 2.(2015· 鄂州模拟)若存在负实数使得方程 2x-a= 成立,则实数 a 的取值范围是( x-1 A.(2,+∞) C.(0,2) B.(0,+∞) D.(0,1) )

1 解析: 在同一坐标系内分别作出函数 y= 和 y=2x-a 的图像知, 当 a∈(0,2)时符合要求. x-1

答案:C 2x 1 3.设函数 f(x)= - ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]+[f(-x)]的值域为 1+2x 2 ( ) B.{-1,0} D.{-2,0}

A.{0} C.{-1,0,1}

1 1? ? 1 ? ? 1? 解析:易知 f(x)为 R 上的奇函数且值域为? ?-2,2?,当 f(x)∈?-2,0?时,f(-x)∈?0,2?, 1 ? 1 ∴y=-1+0=-1;当 f(x)∈(0, )时,f(-x)∈? ?-2,0?,∴y=0+(-1)=-1;当 f(x)=0 2 时,f(-x)=0,∴y=0.故选 B. 答案:B 1?x x 4.函数 y=? ?3? -3 在区间[-1,1]上的最大值为________. 1?x x ?1?x x 解析:由 y=? ?3? 是减函数,y=3 是增函数,知 y=?3? -3 是减函数,∴在[-1,1]上,当 x

26

8 =-1 时函数取得最大值为 . 3 8 答案: 3 5.函数 f(x)=ax2+2x-3+m(a>1)恒过点(1,10),则 m=________. 解析:f(x)=ax2+2x-3+m,在 x2+2x-3=0 时,过定点(1,1+m)或(-3,1+m),∴1+m= 10,解得 m=9. 答案:9 2 1 3 2 6.(2014· 高考上海卷)若 f(x)=x -x ,则满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 2 1 2 1 3 2 3 2 解析:令 y1=x ,y2=x ,f(x)<0 即为 y1<y2,函数 y1=x ,y2=x 的图像如图所示,由图 像知:当 0<x<1 时,y1<y2,所以满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是(0,1).

答案:(0,1) 1? 7.讨论函数 f(x)=? ?3? 的单调性,并求其值域.

解:法一:函数 f(x)的定义域为 R, 设 x1,x2∈R 且 x1<x2,Δx=x2-x1>0,则 1? f(x1)=? ?3? 1? ,f(x2)=? ?3? 1? =? ?3? ,

?1? f?x2? ?3? ∴ = f?x1? 1 ? ? ?3?

1? =? ?3?

1? =? ?3?

①当 x1<x2≤1 时,x1+x2<2,则有 x2+x1-2<0, 又∵Δx=x2-x1>0, ∴(x2-x1)· (x2+x1-2)<0, 1? ∴? ?3? >1.

又∵对于 x∈R,f(x)>0 恒成立,∴f(x2)>f(x1),
27

1? ∴函数 f(x)=? ?3?

在(-∞,1]上单调递增.

②当 1≤x1<x2 时,x1+x2>2, 则有 x2+x1-2>0, 又∵Δx=x2-x1>0, ∴(x2-x1)(x2+x1-2)>0, 1? ∴0<? ?3? ∴f(x2)<f(x1). ∴函数 f(x)在[1,+∞)上单调递减. 综上所述,函数 f(x)在(-∞,1]上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数. ∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1, 1 又 0< <1, 3 1? ∴0<? ?3? 1?-1 ≤? ?3? =3, <1,

∴函数 f(x)的值域是(0,3]. 法二:函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞), 令 t=x2-2x, 1?t 则 f(t)=? ?3? , 又∵t=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上是减函数, 1?t 而 f(t)=? ?3? 在其定义域内是减函数, ∴函数 f(x)在(-∞,1]上是增函数. 1?t 又∵函数 f(t)=? ?3? 在其定义域内为减函数, t=x2-2x=(x-1)2-1 在[1,+∞)上是增函数. ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数. ∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1, 1 又 0< <1, 3 1? ∴0<? ?3? 1?-1 ≤? ?3? =3.

∴函数 f(x)的值域是(0,3].

28

第 6 课时

对数与对数函数

【A 级】 基础训练 1.(2013· 高考新课标全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a 解析:利用对数函数的性质求解. a=log32<log33=1;c=log23>log22=1, 由对数函数的性质可知 log52<log32,∴b<a<c,故选 D. 答案:D 1 2.(2013· 高考重庆卷)函数 y= 的定义域是( log2?x-2? A.(-∞,2) C.(2,3)∪(3,+∞) B.(2,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) ) B.b>c>a D.c>a>b )

解析:利用函数有意义的条件直接运算求解.
? ?log2?x-2?≠0, 由? 得 x>2 且 x≠3,故选 C. ?x-2>0, ?

答案:C

?lgx,x≥2 3. 已知函数 f(x)=? 3 ?lg?3-x?,x<2
A.(-∞,0) 3? C.? ?-∞,lg2?

3

, 若方程 f(x)=k 无实数根, 则实数 k 的取值范围是(

)

B.(-∞,1) 3 ? D.? ?lg2,+∞?

解析:在同一坐标系内作出函数 y=f(x)与 y=k 的图像,如图所示,若两函数图像无交点, 3 则 k<lg . 2

答案:C
2 3 4 2 4.lg -lg8 +lg7 5=________. 7

1 2 1 1 1 解析:原式=lg4+ lg2-lg7- lg8+lg7+ lg5=2lg2+ (lg2+lg5)-2lg2= . 2 3 2 2 2
29

1 答案: 2 5.(2014· 高考陕西卷)已知 4a=2,lg x=a,则 x=________. 解析:利用指数、对数的运算法则求解. 1 4a=2,a= ,lg x=a,x=10a= 10. 2 答案: 10
?3x 1,x≤0, ? 6.已知函数 f(x)=? 则使函数 f(x)的图像位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围 ? ?log2x,x>0,


是________. 解析:当 x≤0 时,3x 1>1?x+1>0,∴-1<x≤0;


当 x>0 时,log2x>1?x>2,∴x>2. 综上所述,x 的取值范围为-1<x≤0 或 x>2. 答案:{x|-1<x≤0 或 x>2} 4 7.(1)计算:log3
2 27 ? 1 ? 3 · log5? 2log210 ?. 3 -?3 3? -7log72? ?4

(2)计算:(log32+log92)· (log43+log83). 4 解:(1)log3
2 27 ? 1 ? 3 · log5? 2log210 log72? 3 -?3 3? -7 ? ?4

2 ? ? 3 ? ? ? =log3 · log5 (2log 10-? ?3-2)? 3 ? 2 ? ? ? ?32?
=?

3 4 3

3 ? log5(10-3-2) ?· 4 ?log 3 -log 3? ?
3 3

3 ? 1 =? log55=- . ?4-1?· 4 lg 2 lg 2? ?lg 3 lg 3? (2)原式=? ?lg 3+lg 9?· ?lg 4+lg 8? lg 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? =? ?lg 3+2lg 3?· ?2lg 2+3lg 2? 3lg 2 5lg 3 5 = · = . 2lg 3 6lg 2 4 8.已知函数 f(x)=lg(x+1). (1)若 0<f(2-2x)-f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0≤x≤1 时,有 g(x)=f(x),求函数 y=g(x)(x∈[1,2]) 的反函数.

30

? ?2-2x>0, 解:(1)由? 得-1<x<1. ?x+1>0 ?

由 0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg

2-2x <1 x+1

2-2x 2 1 得 1< <10.因为 x+1>0,所以 x+1<2-2x<10x+10,- <x< . 3 3 x+1 -1<x<1, ? ? 2 1 由? 2 得- <x< . 1 3 3 - < x < ? 3 ? 3 (2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],因此 y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x). 由单调性可得 y∈[0,lg 2]. 因为 x=3-10y,所以所求反函数是 y=3-10x,x∈[0,lg 2]. 【B 级】 能力提升 1 1.(2014· 高考天津卷)函数 f(x)=log (x2-4)的单调递增区域间为( 2 A.(0,+∞) C.(2,+∞) 解析:根据复合函数的单调性判断. 1 因为 y=log t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数 t=x2-4 的 2 单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2). 答案:D 2.(2015· 洛阳市高三考试)已知 x1,x2 是函数 f(x)=e x-|ln x|的两个零点,则(


)

B.(-∞,0) D.(-∞,-2)

)

1 A. <x1x2<1 e C.1<x1x2<10

B.1<x1x2<e D.e<x1x2<10


解析:法一:在同一坐标系下画出函数 y=e x 与 y=|ln x|的图像,结合图像不难看出,它们 的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+ ∞),即在 x1,x2 中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设 x1∈(0,1), x2∈(1,+∞),则有 e-x1=|ln x1|=-ln x1∈(e
-1,

1),e-x2=|ln x2|=ln x2∈(0,e 1),e-x2


1 - -e-x1=ln x2+ln x1=ln x1x2∈(-1,0),于是有 e 1<x1x2<e0,即 <x1x2<1,选 A. e 法二:假设 x1x2>1,∴ln x1x2>0,∴ln x1+ln x2>0. 若 x2∈(1,+∞),则 x1∈(0,1),x2>x1,即 e-x2=ln x2,e-x1=-ln x1,∴e-x2>e-x1 与 e-x2<e-x1 矛盾.
31

同理,x2∈(0,1),则 x1∈(1,+∞),x1>x2,∴e-x1>e-x2 与 e-x1<e-x2 矛盾,∴只有 x1x2<1,故选 A. 答案:A |lgx| 0<x≤10, ? ? 3.(2015· 武汉模拟)已知函数 f(x)=? 1 ?-2x+6 x>10, ? 若 a、b、c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( A.(1,10) C.(10,12) B.(5,6) D.(20,24) )

解析:作出 f(x)的大致图像.不妨设 a<b<c,因为 a、b、c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),由 函数的图像可知 10<c<12,且|lga|=|lgb|,因为 a≠b,所以 lga=-lgb,可得 ab=1,所以 abc=c∈(10,12),故选 C. 答案:C 4.(2014· 高考重庆卷)函数 f(x)=log2 x· log
2(2x)的最小值为________.

解析: 利用对数的运算法则及性质对函数解析式进行化简, 通过换元化归为二次函数求最值. f(x)=log2 x· log
2(2x)=

1 log x· 2log2(2x)=log2x(1+log2x).设 t=log2x(t∈R),则原函数可以 2 2

1?2 1 1 1 化为 y=t(t+1)=? ?t+2? -4(t∈R),故该函数的最小值为-4.故 f(x)的最小值为-4. 1 答案:- 4 1+a2 5.(2015· 南京月考)若 log2a <0,则 a 的取值范围是________. 1+a 解析: 当 2a>1 时,∵log2a ∵1+a>0,∴1+a2<1+a, 1 ∴a2-a<0,∴0<a<1,∴ <a<1. 2 1+a2 当 0<2a<1 时,∵log2a <0=log2a1, 1+a 1+a2 ∴ >1. 1+a ∵1+a>0,∴1+a2>1+a,
32

1+a2 1+a2 <0=log2a1,∴ <1. 1+a 1+a

∴a2-a>0, ∴a<0 或 a>1,此时不合题意. 1 ? 综上所述,a∈? ?2,1?. 1 ? 答案:? ?2,1? 6.(2015· 黄石模拟)设 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=alg(x2 7)>0 的解集为________. 解析:∵函数 y=lg(x2-2x+3)有最小值,f(x)=alg(x2
2 2
-2x+3) -2x+3)

有最大值,则不等式 loga(x2-5x+

有最大值,∴0<a<1.

∴由 loga(x -5x+7)>0,得 0<x -5x+7<1,解得 2<x<3.∴不等式 loga(x2-5x+7)>0 的解集 为(2,3). 答案:(2,3) 7.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果存 在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)由题设,3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立,设 g(x)=3-ax, ∵a>0 且 a≠1, ∴g(x)=3-ax 在[0,2]上为减函数. 3 从而 g(2)=3-2a>0,∴a< . 2 3 1, ?. ∴a 的取值范围为(0,1)∪? ? 2? (2)假设存在这样的实数 a,由题设知 f(1)=1, 3 即 loga(3-a)=1,∴a= . 2

?3-3x?, 此时 f(x)=log3 2? 2 ?
当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样的实数 a 不存在.

第 7 课时

二次函数、幂函数

【A 级】 基础训练 1.(2015· 哈尔滨模拟)幂函数 f(x)=x3m 5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且 f(-x)=f(x),则


m 可能等于( A.0

) B.1
33

C.2 解析:逐个验证知 m=1,故选 B. 答案:B

D.3

2. (2015· 长沙模拟)设 b>0, 二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图像为下列之一, 则 a 的值为(

)

A.1 -1- 5 C. 2

B.-1 -1+ 5 D. 2

b 解析:结合图像可知是③,由- >0,f(0)=a2-1=0,解得 a=-1 或 1(舍). 2a 答案:B 3.(2015· 松原模拟)设函数 f(x)=x2+x+a(a>0),已知 f(m)<0,则( A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 1 解析:∵f(x)的对称轴为 x=- ,f(0)=a>0, 2 ∴f(x)的大致图像如图所示. )

由 f(m)<0,得-1<m<0, ∴m+1>0, ∴f(m+1)>f(0)>0. 答案:C 4.已知函数 f(x)=4x2+kx-8 在[-1,2]上具有单调性,则实数 k 的取值范围是________. k k k 解析:函数 f(x)=4x2+kx-8 的对称轴为 x=- ,依题意有:- ≤-1 或- ≥2,解得 k≥8 8 8 8 或 k≤-16. 答案:k≥8 或 k≤-16 5.当 0<x<1 时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x
-2

的大小关系是________.

解析:画出三个函数的图像易判断 f(x)<g(x)<h(x).

34

答案:f(x)<g(x)<h(x) 6.(2015· 武汉模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则函数 y =f(x)的最小值为________. 解析:由条件可知,f(x)为偶函数,∴b=0, 1 1 又定义域为[a-1,2a],根据偶函数的定义,知 2a=1-a,即 a= ,∴f(x)= x2+1. 3 3 2 2 31 又 x∈[- , ],∴ ≥f(x)≥1. 3 3 27 答案:1 7.(2015· 徐州二模)已知幂函数 f(x)=x(m2+m) 1(m∈N+).


(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取 值范围. 解:(1)∵m2+m=m(m+1)(m∈N+),而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,∴m2+m 为偶数, ∴函数 f(x)=x(m2+m) 1(m∈N+)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数;


(2)∵函数还经过点(2, 2), 1 - - ∴ 2=2(m2+m) 1,即 2 =2(m2+m) 1, 2 ∴m2+m=2,解得:m=1 或 m=-2. 1 又∵m∈N+,∴m=1,f(x)=x . 2 又∵f(2-a)>f(a-1), 2-a≥0, ? ? 3 ∴?a-1≥0, 解得:1≤a< , 2 ? ?2-a>a-1,
? 3 ? 1≤a< ?. 故 m 的值为 1.满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围为?a? 2 ? ? ?

8.设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集. 解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即 a<0.

35

由 a2≥1 知 a≤-1.因此,a 的取值范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).我们有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2a ? x- ?2+ ,x>a, ① ?3? 3 ? ? 3 =? 2 2 ? ② ??x+a? -2a ,x≤a, ①当 a≥0 时,f(-a)=-2a2,由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. a? 2 2 ②当 a<0 时,f? ?3?=3a . 2 2 2 若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2;若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2> a2.此时 g(a)= a2. 3 3 3 -2a ,a≥0, ? ? 综上得 g(a)=?2 2 ?3a ,a<0. ? (3)①当 a∈?-∞,-
2 2

?

6? ? 2 ? ∪ ,+∞ 时,解集为(a,+∞); 2? ?2 ? 3-2a2 ? ,+∞?; 3 ?

②当 a∈?-

? ?

2 2? ? a+ 时,解集为? , 2 2? ? 6 2? 时, ,- 2 2? 3-2a2? ?a+ ?∪? 3 ? ?

③当 a∈?-

? a- 解集为?a, ?

3-2a2 ? ,+∞?. 3 ? 【B 级】 能力提升

1.(2015· 天津模拟)若定义在 R 上的二次函数 f(x)=ax2-4ax+b 在区间[0,2]上是增函数,且 f(m)≥f(0),则实数 m 的取值范围是( A.0≤m≤4 B.0≤m≤2 C.m≤0 D.m≤0 或 m≥4 解析:∵f(x)=a(x-2)2+b-4a,对称轴为 x=2, ∴由已知得 a<0,结合二次函数图像知, )

要使 f(m)≥f(0),需满足 0≤m≤4. 答案:A 2.(2013· 高考重庆卷) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为( )

36

9 A.9 B. 2 3 2 C.3 D. 2 解析:利用配方法结合函数的定义域求解. ?3-a??a+6?= -a2-3a+18 = 9 81 a2+3a+ ?+ = -? 4? 4 ? 3 81 a+ ?2+ , -? ? 2? 4

由于-6≤a≤3, 3 9 ∴当 a=- 时, ?3-a??a+6?有最大值 . 2 2 答案:B 3.(2014· 高考浙江卷)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图像可能是 ( )

解析:法一:分类讨论,再结合函数图像的特点用排除法求解. 分 a>1,0<a<1 两种情形讨论. 当 a>1 时,y=xa 与 y=logax 均为增函数,但 y=xa 递增较快,排除 C; 当 0<a<1 时,y=xa 为增函数,y=logax 为减函数,排除 A,由于 y=xa 递增较慢,所以选 D. 法二:利用基本初等函数的图像的性质进行排除. 幂函数 f(x)=xa 的图像不过(0,1)点,排除 A;B 项中由对数函数 f(x)=logax 的图像知 0<a<1, 而此时幂函数 f(x)=xa 的图像应是增长越来越慢的变化趋势,故 B 错,D 对;C 项中由对数 函数 f(x)=logax 的图像知 a>1, 而此时幂函数 f(x)=xa 的图像应是增长越来越快的变化趋势, 故 C 错. 答案:D 4.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小 值为________.
37

解析:∵函数 f(x)=x2+(a+2)x+b 的对称轴为 a+2 a+2 x=- ,又∵函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于 x=1 对称,∴- =1 2 2 a+b 且 =1,∴a=-4,b=6,f(x)=x2-2x+6(x∈[-4,6]),因此,该函数当 x=1 时取最小 2 值 5. 答案:5 5.(2015· 咸宁模拟)已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)的图像与 x 轴、y 轴都无公共点,且 关于 y 轴对称,则 m 的值为________,幂函数的解析式为________. 解析:因为幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)的图像与 x 轴、y 轴都无公共点. 所以 m2-2m-3≤0,解得-1≤m≤3. 又 m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3,而 y=xm2-2m-3 的图像又关于 y 轴对称,∴m2-2m-3 为偶 数. 当 m=-1 时,m2-2m-3=0,为偶数; 当 m=0 时,m2-2m-3=-3,为奇数; 当 m=1 时,m2-2m-3=-4,为偶数; 当 m=2 时,m2-2m-3=-3,为奇数; 当 m=3 时,m2-2m-3=0,为偶数. 综上 m=-1,1,3. 故幂函数的解析式为 y=x 4 或 y=1(x≠0).


答案:-1 或 1 或 3 y=x

-4

或 y=1(x≠0)

π π? 6.(2014· 高考大纲全国卷)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? ?6,2?是减函数,则 a 的取值 范围是________. π π? π π , 为减函数转化为导数 f′(x)≤0 在? , ?恒成立, 解析:利用导数将 f(x)在? ?6 2 ? ?6 2? f′(x)=-2sin 2x+acos x=-4sin xcos x+acos x. π π? ∵x∈? ?6,2?,∴cos x>0. π π? ?π π? ∵f′(x)≤0 在? ?6,2?恒成立,即-4sin x+a≤0 在?6,2?恒成立,∴a≤(4sin x)min. π π? 又 y=4sin x 在? ?6,2?的最小值接近 2,故 a≤2. 答案:(-∞,2] 7.已知函数 f(x)=ax2-2x+1. (1)试讨论函数 f(x)的单调性;

38

1 (2)若 ≤a≤1,且 f(x)在[1,3]上的最大值为 M(a),最小值为 N(a),令 g(a)=M(a)-N(a),求 3 g(a)的表达式; 1 (3)在(2)的条件下,求证:g(a)≥ . 2 解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-2x+1 在(-∞,+∞)上为减函数; 1? 1 当 a>0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向上,对称轴为 x= ,∴函数 f(x)在? ?-∞,a?上为 a 1 ? 减函数,在? ?a,+∞?上为增函数; 1? 1 当 a<0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向下,对称轴为 x= ,∴函数 f(x)在? ?-∞,a?上为 a 1 ? 增函数,在? ?a,+∞?上为减函数. 1?2 1 (2)∵f(x)=a? ?x-a? +1-a, 1 1 由 ≤a≤1 得 1≤ ≤3, 3 a 1? 1 ∴N(a)=f? ?a?=1-a. 1 1 当 1≤ <2,即 <a≤1 时,M(a)=f(3)=9a-5, a 2 1 故 g(a)=9a+ -6; a 1 1 1 当 2≤ ≤3,即 ≤a≤ 时,M(a)=f(1)=a-1, a 3 2 1 故 g(a)=a+ -2. a

? ?a+a-2,a∈? ?3,2?, ∴g(a)=? 1 ? 1 ?9a+a-6,a∈? ?2,1?.
1 1? 1 (3)证明:当 a∈? ?3,2?时,g′(a)=1-a2<0, 1 1? ?1 ? ∴函数 g(a)在? ?3,2?上为减函数,当 a∈?2,1?时, 1 g′(a)=9- 2>0, a 1 ? ∴函数 g(a)在? ?2,1?上为增函数, 1? 1 1 ∴当 a= 时,g(a)取最小值,g(a)min=g? ?2?=2. 2

1

1 1

39

1 故 g(a)≥ . 2

第 8 课时

函数的图像

【A 级】 基础训练 1.函数 y=1- 1 的图像是( x-1 )

-1 1 解析: 将 y= 的图像向右平移 1 个单位, 再向上平移一个单位, 即可得到函数 y=1- x x-1 的图像. 答案:B 2.(2013· 高考福建卷)函数 f(x)=ln(x2+1)的图像大致是( )

解析:f(x)=ln(x2+1),x∈R,当 x=0 时,f(0)=ln 1=0,即 f(x)过点(0,0),排除 B,D. ∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x), ∴f(x)是偶函数,其图像关于 y 轴对称,故选 A. 答案:A 3.(2015· 江南十校联考)已知函数 f1(x)=|x-1|, f1?x?+f2?x? |f1?x?-f2?x?| 1 f2(x)= x+1,g(x)= + ,若 a,b∈[-1,5],且当 x1,x2∈[a,b]时, 3 2 2 g?x1?-g?x2? >0 恒成立,则 b-a 的最大值为( x1-x2 A.2 B.3 C.4 D.5 )

40

解析:当 f1(x)≥f2(x)时, f1?x?+f2?x? f1?x?-f2?x? g(x)= + =f1(x); 2 2 当 f1(x)<f2(x)时, f1?x?+f2?x? f2?x?-f1?x? g(x)= + =f2(x). 2 2
? ?f1?x?,f1?x?≥f2?x? 综上,g(x)=? . ?f2?x?,f1?x?<f2?x? ?

即 g(x)是 f1(x), f2(x)两者中的较大者. 在同一坐标系中, 画出函数 f1(x)与 f2(x)的图像, 则 g(x) 的图像如图中实线部分所示.由图可知 g(x)在[0,+∞)上单调递增,又 g(x)在[a,b]上单调 递增,∴a,b∈[0,5],故 b-a 的最大值为 5.

答案:D 4.函数 f(x)=|4x-x2|-a 有四个零点,则 a 的取值范围是________.

解析:令 y1=|4x-x2|,y2=a,则当 a=4 时,函数图像恰有三个不同的交点,如图所示,当 a∈(0,4)时,有四个不同的交点. 答案:(0,4) 5.已知下列曲线:

以下是编号为①②③④的四个方程: ① x- y=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序,依次写出与之对应的方程的编号为________. 解析:按图像逐个分析,注意 x,y 的取值范围. 答案:④②①③ 6.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根;
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②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有正确命题的序号为________.
?x2+c ?x≥0? ? 解析:①f(x)=x|x|+c=? 2 , ?-x +c ?x<0? ?

如图①,曲线与 x 轴只有一个交点,所以方程 f(x)=0 只有一个实数根,正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数. ③当 c=0,b<0 时,
2 ? ?x +bx f(x)=x|x|+bx=? 2 ?-x +bx ?

?x≥0? ?x<0?

.

如图②,方程 f(x)=0 可以有三个实数根.

综上所述,正确命题的序号为①②. 答案:①②
?3-x2,x∈[-1,2], ? 7.已知函数 f(x)=? ?x-3,x∈?2,5]. ?

(1)在如图给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像; (2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图像如图所示:

(2)函数的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. 8.(2015· 郑州模拟)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2- x). (1)证明:函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称;
42

(2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时的 f(x)的表达式. 解:(1)证明:设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图像上任一点, 则 y0=f(x0), 点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). 因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0, 所以 P′也在 y=f(x)的图像上. 所以函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 所以 f(-x)=-2x-1. 又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
?2x+7,x∈[-4,-2], ? 所以 f(x)=? ? ?-2x-1,x∈[-2,0].

【B 级】 能力提升 1.(2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直 线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图像大致为( )

解析:利用单位圆及三角函数的定义,求出 f(x)的解析式. π? 如图所示,当 x∈? ?0,2?时,则 P(cos x,sin x),M(cos x,0),作 MM′⊥OP,M′为垂足,

43

|MM′| f?x? 1 π 1 则 =sin x,∴ =sin x,∴f(x)=sin xcos x= sin 2x,则当 x= 时,f(x)max= ;当 x |OM| cos x 2 4 2 π ? f?x? 1 3π 1 ∈? ?2,π?时,有|cos x|=sin(π-x),f(x)=-sin xcos x=-2sin 2x,当 x= 4 时,f(x)max=2.只 有 B 选项的图像符合. 答案: B 2.(2015· 孝感模拟)函数 y= lg|x| 的图像大致是( x )

lg|x| 解析:∵函数的定义域为{x|x≠0},且 f(-x)=- =-f(x), x lg|x| ∴f(x)为奇函数,故排除 A、B,又由 y= =0 得 x=± 1,故排除 C,所以选 D. x 答案:D 3.(2015· 福州 5 月模拟)函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图像如图

则函数 y=f(x)· g(x)的图像可能是(

)

解析: 从 f(x)、 g(x)的图像可知它们分别为偶函数、 奇函数, 故 f(x)· g(x)是奇函数, 排除 B 项. 又 g(x)在 x=0 处无意义,故 f(x)· g(x)在 x=0 处无意义,排除 C、D 两项.
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答案:A 1?x 4.已知函数 f(x)=? ?2? 的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 y=x 对称,令 h(x)=g(1-|x|), 则关于 h(x)有下列命题: ①h(x)的图像关于原点对称; ②h(x)为偶函数; ③h(x)的最小值为 0; ④h(x)在(0,1)上为减函数. 其中正确命题的序号为________.(将你认为正确的命题序号都填上) 1 解析:g(x)=log x, 2 1 ∴h(x)=log (1-|x|), 2

?log2?1+x?,-1<x≤0, ∴h(x)=? 1 ?log2?1-x?,0<x<1,
得函数 h(x)的大致图像如图,故正确命题序号为②③.

1

答案:②③ 5.若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则 a 的取值范围为________. 解析:在同一坐标系中分别作出当 0<a<1,a=1,a>1 时,y=|ax|=a|x|(a>0)与 y=x+a(a>0) 的图像如图示,由图像得出 a>1 时符合要求.

答案:(1,+∞)
?a2-ab,a≤b, ? 6.对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=? 2 设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 ? ?b -ab,a>b.

x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根,则 m 的取值范围是________.

45

解析:根据新定义写出 f(x)的解析式,数形结合求出 m 的取值,再根据函数的图像和方程的 根等条件求解. 由定义可知,
??2x-1?x,x≤0, ? f(x)=? ?-?x-1?x,x>0. ?

作出函数 f(x)的图像,如图所示. 1 由图可知,当 0<m< 时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根. 4 1 0, ? 答案:? ? 4? 7.已知函数 y=f(x)同时满足以下五个条件: (1)f(x+1)的定义域是[-3,1]; (2)f(x)是奇函数; (3)在[-2,0)上,f′(x)>0; (4)f(-1)=0; (5)f(x)既有最大值又有最小值. 请画出函数 y=f(x)的一个图像,并写出相应于这个图像的函数解析式. 解:由(1)知,-3≤x≤1,-2≤x+1≤2,故 f(x)的定义域是[-2,2]. 由(3)知,f(x)在[-2,0)上是增函数. 综合(2)和(4)知,f(x)在(0,2]上也是增函数,且 f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0. x+1 -2≤x<0 ? ? 故函数 y=f(x)的一个图像如图所示,与之相应的函数解析式是 f(x)=?0 x=0 ? ?x-1 0<x≤2

.

46

第 9 课时

函数与方程

【A 级】 基础训练 1. (2015· 山东淄博模拟)若方程 xlg(x+2)=1 的实根在区间(k, k+1)(k∈Z)上, 则 k 等于( A.-2 C.-2 或 1 B.1 D.0 )

1 解析:由题意知,x≠0,则原方程即为 lg(x+2)= ,在同一直角坐标系中作出函数 y=lg(x x 1 +2)与 y= 的图像,如图所示,由图像可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上, x 一个在区间(1,2)上,所以 k=-2 或 k=1.故选 C.

答案:C 1 2.(2015· 北京海淀模拟)函数 f(x)=log2x- 的零点所在区间为( x 1 A.(0, ) 2 C.(1,2) 1 1 解析:∵f( )=log2 -2=-3<0, 2 2 1 1 f(1)=log21-1=-1<0,f(2)=log22- = >0, 2 2
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)

1 B.( ,1) 2 D.(2,3)

1 ∴函数 f(x)=log2x- 的零点所在区间为(1,2), x 故应选 C. 答案:C 3.(2013· 高考湖南卷)函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为 ( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:作出两个函数的图像,利用数形结合思想求解. g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数 f(x)=ln x 与 g(x)=(x-2)2 的 图像(如图).由图可得两个函数的图像有 2 个交点.

答案:C 1 ? ?x2-2|x|+2,x≤0 4.函数 f(x)=? 的零点个数为________. ? ?|lgx|-1,x>0 解析:作出函数 f(x)的图像,从图像中可知函数 f(x)的零点有 4 个.

答案:4 5.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n +1),n∈N+,则 n=________. 解析:∵2<a<3<b<4,当 x=2 时,f(2)=loga2+2-b<0; 当 x=3 时,f(3)=loga3+3-b>0,∴f(x)的零点 x0 在区间(2,3)内,∴n=2. 答案:2 6.(2014· 高考天津卷)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的 实数根,则实数 a 的取值范围为________. 解析:在同一坐标系中,分别作出 y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图像,将方程根的个数问题转 化为两图像交点的个数问题求解.
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设 y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出 y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图像如图所示.

由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x2+3x|与 y2=a|x-1|的图像有 4 个不同的交点,且 4 个交点的横坐标都小于 1,
2 ? ?y=-x -3x, 所以? 有两组不同解. ?y=a?1-x? ?

消去 y 得 x2+(3-a)x+a=0 有两个不等实根, 所以 Δ=(3-a)2-4a>0,即 a2-10a+9>0, 解得 a<1 或 a>9. 又由图像得 a>0,∴0<a<1 或 a>9. 答案:(0,1)∪(9,+∞) 7.(2015· 岳阳模拟)已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求 出该零点. 解:∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 8.(2015· 海淀区高三期末)已知函数 f(x)=ex(x2+ax-a),其中 a 是常数. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若存在实数 k,使得关于 x 的方程 f(x)=k 在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求 k 的 取值范围. 解:(1)由 f(x)=ex(x2+ax-a)可得

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f′(x)=ex[x2+(a+2)x]. 当 a=1 时,f(1)=e,f′(1)=4e. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e=4e(x-1),即 y=4ex-3e. (2)令 f′(x)=ex[x2+(a+2)x]=0, 解得 x=-(a+2)或 x=0. 当-(a+2)≤0,即 a≥-2 时,在区间[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以 f(x)是[0,+∞)上的增 函数, 所以方程 f(x)=k 在[0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根. 当-(a+2)>0,即 a<-2 时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 0 0 -a (0,-(a+2)) - ? -(a+2) 0 a+4 + ea 2 (-(a+2),+∞) + ?

a+4 由上表可知函数 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(-(a+2))= a+2 . e 因为函数 f(x)是(0,-(a+2))上的减函数,是(-(a+2),+∞)上的增函数,且当 x≥-a 时, 有 f(x)≥e a· (-a)>-a,又 f(0)=-a.


所以要使方程 f(x)=k 在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,k 的取值范围是? 【B 级】 能力提升

4 ? a+ ? a+2 ,-a?. ?e ?

1.(2015· 沈阳四校联考)已知函数 f(x)=ax+x-b 的零点 x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数 a, b 满足 2a=3,3b=2,则 n 的值是( A.-2 C.0 ) B.-1 D.1

1 解析:依题意得,a>1,0<b<1,则 f(x)为 R 上的单调递增函数,又 f(-1)= -1-b<0, a f(0)=1-b>0,f(-1)· f(0)<0,因此 x0∈(-1,0),n=-1,选 B. 答案:B 1,x>0 ? ? 2.(2015· 豫西五校联考)已知符号函数 sgn(x)=?0,x=0 ? ?-1,x<0 的零点个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

,则函数 f(x)=sgn(ln x)-ln2x

解析:依题意得,当 x>1 时,ln x>0,sgn(ln x)=1,f(x)=sgn(ln x)-ln2x=1-ln2x,令 1-
50

1 ln2x=0,得 x=e 或 x= ,结合 x>1,得 x=e;当 x=1 时,ln x=0,sgn(ln x)=0,f(x)=- e ln2x,令-ln2x=0,得 x=1,符合;当 0<x<1 时,ln x<0,sgn(ln x)=-1,f(x)=-1-ln2x, 令-1-ln2x=0,得 ln2x=-1,此时无解.因此,函数 f(x)=sgn(ln x)-ln2x 的零点个数为 2. 答案:B 3. (2014· 高考山东卷)已知函数 f(x)=|x-2|+1, g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实 根,则实数 k 的取值范围是( 1? A.? ?0,2? C.(1,2) ) 1 ? B.? ?2,1? D.(2,+∞)

解析:作出函数的图像,用数形结合思想求解.先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图像,如图所 1 示,当直线 g(x)=kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直线 g(x)=kx 过 A 点时斜率为 ,故 f(x) 2 1 ? =g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为? ?2,1?.

答案:B 4 .若函数 f(x) 的图像是连续不断的,根据下面的表格,可断定 f(x) 的零点所在的区间为 ________(只填序号). ①(-∞,1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6,+∞) x f(x) 1 136.123 2 15.542 3 -3.930 4 10.678 5 -50.667 6 -305.678

解析:用二分法解题时要注意,根据区间两个端点函数值符号的异同,确定零点所在区间. 答案:③④⑤ 5.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是________. 解析:∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根, 由根与系数的关系知?
?-2+3=-a, ? ? ?-2×3=b,

51

? ?a=-1, ∴? ?b=-6, ?

∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0,
? ? 3 - <x<1?. 解集为?x? ? ? 2 ? ? ? 3 - <x<1? 答案:?x? ? ? 2 ?

6.(2014· 高考江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=

?x2-2x+1?.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范 2? ?
围是________. 解析:作出函数 y=f(x)与 y=a 的图像,根据图像交点个数得出 a 的取值范围. 1 作出函数 y=f(x)在[-3,4]上的图像,f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)= , 2 1 观察图像可得 0<a< . 2

1? 答案:? ?0,2? |x| 7.已知函数 f(x)= ,如果关于 x 的方程 f(x)=kx2 有四个不同的实数解,求实数 k 的取值 x+2 范围. |x| 解:∵f(x)= , x+2 |x| ∴原方程即 =kx2.(*) x+2 ①x=0 恒为方程(*)的一个解. -x ②当 x<0 且 x≠-2 时,若方程(*)有解,则 =kx2,kx2+2kx+1=0. x+2 当 k=0 时,方程 kx2+2kx+1=0 无解;
52

当 k≠0 时,Δ=4k2-4k≥0,即 k<0 或 k≥1 时, 方程 kx2+2kx+1=0 有解. 设方程 kx2+2kx+1=0 的两个根分别是 x1、x2, 1 则 x2+x2=-2,x1x2= . k 当 k>1 时,方程 kx2+2kx+1=0 有两个不等的负根; 当 k=1 时,方程 kx2+2kx+1=0 有两个相等的负根; 当 k<0 时,方程 kx2+2kx+1=0 有一个负根. ③当 x>0 时,若方程(*)有解, 则 x =kx2,kx2+2kx-1=0. x+2

当 k=0 时,方程 kx2+2kx-1=0 无解; 当 k≠0 时,Δ=4k2+4k≥0,即 k≤-1 或 k>0 时, 方程 kx2+2kx-1=0 有解. 设方程 kx2+2kx-1=0 的两个根分别是 x3、x4, 1 则 x3+x4=-2,x3x4=- . k 当 k>0 时,方程 kx2+2kx-1=0 有一个正根; 当 k≤-1 时,方程 kx2+2kx-1=0 没有正根. 综上可得,当 k∈(1,+∞)时,方程 f(x)=kx2 有四个不同的实数解.

第 10 课时

函数模型及其应用

【A 级】 基础训练 1. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240, x∈N),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产 量是( ) B.120 台 D.180 台

A.100 台 C.150 台 解析:∵要使生产者不亏本, 则有 3 000+20x-0.1x2≤25x, 解上式得:x≤-200 或 x≥150, 又∵0<x<240,x∈N,

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∴x 的最小值为 150. 答案:C 2.(2014· 高考湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p,第二年的增 长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( p+q A. 2 C. pq 解析:根据增长率列出关系式求解. 设年平均增长率为 x,则(1+x)2=(1+p)(1+q), ∴x= ?1+p??1+q?-1. 答案:D 3.(2013· 高考湖北卷)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后, 为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( ) )

?p+1??q+1?-1 B. 2 D. ?p+1??q+1?-1

解析:距学校的距离应逐渐减小,由于小明先匀速运动,故前段是直线段,途中停留距离不 变,后段加速,直线段比前段下降的快,故应选 C. 答案:C 4.某种电热水器的水箱盛满水是 200 L,加热到一定温度,即可用来洗浴.洗浴时,已知 每分钟放水 34 L,若放水 t 分钟时,同时自动注水总量为 2t2 L.当水箱内的水量达到最少 时,放水程序自动停止,现假定每人洗浴用水量为 65 L,则该热水器一次至多可供________ 人洗浴. 解析:在放水程序自动停止前,水箱中的水量为 y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5,由二 次函数的性质得,经过 8.5 min,放水停止, 共出水 34×8.5=289(L),289÷ 65≈4.45. 故至多可供 4 人洗浴. 答案:4 5.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近 50 年内减少了 5%,如果按此速度,

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设 2014 年的冬季冰雪覆盖面积为 m,从 2014 年起,经过 x 年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数关系式是________. 解析:设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为 a,则由题意得 1-0.05=a50. 1 ∴a=0.95 , 50 1 ?x x ∴y=? m=0.95 m,x∈N+. ?0.9550? · 50 x 答案:y=0.95 m,x∈N+ 50 6.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月 份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值为 ________. 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份至十月份 的销售总额是 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2], 根据题意,有 3860 + 500 + 2[500(1 + x%) + 500(1 + x%)2]≥7000 ,即 25(1 + x%) + 25(1 + x%)2≥66, 6 11 6 令 t=1+x%, 则 25t2+25t-66≥0, 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去), 故 1+x%≥ , 解得 x≥20. 5 5 5 故填 20. 答案:20 7.(2015· 山东高考命题原创卷)随着全球债务危机的深化,中国某陶瓷厂为了适应发展,制 定了以下生产计划,每天生产陶瓷的固定成本为 14 000 元,每生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f(x)( 单位:件 ) 与产量 x( 单位:件 ) 之间的关系式为 f(x) = 1 ? ?625x2?0≤x≤400? ? ,每件产品的售价 g(x)(单位:元)与产量 x 之间的关系式为 g(x)= ? ?x-144?400<x<500? 5 ? ?-8x+750?0≤x≤400? ? . ? ?-x+900?400<x<500? (1)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q(x)(单位:元)与产量 x 之间的关系式; (2)若要使得日销售利润最大,则该陶瓷厂每天应生产多少件产品,并求出最大利润. 解:(1)设总成本为 c(x)(单位:元),则 c(x)=14 000+210x, 所以日销售利润 Q(x)=f(x)g(x)-c(x) 1 6 ? ?-1 000x3+5x2-210x-14 000?0≤x≤400? =? . 2 ? ?-x +834x-143 600?400<x<500?
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(2)由(1)知,当 0≤x≤400 时, 3 2 12 Q′(x)=- x + x-210. 1 000 5 令 Q′(x)=0,解得 x=100 或 x=700(舍去). 易知当 x∈[0,100)时,Q′(x)<0; 当 x∈(100,400]时,Q′(x)>0. 所以 Q(x)在区间[0,100)上单调递减, 在区间(100,400]上单调递增. 因为 Q(0)=-14 000,Q(400)=30 000, 所以 Q(x)在 x=400 时取到最大值,且最大值为 30 000. 当 400<x<500 时,Q(x)=-x2+834x-143 600. 834 当 x=- =417 时,Q(x)取得最大值,最大值为 2×?-1? Q(x)max=-4172+834×417-143 600=30 289. 综上所述,若要使得日销售利润最大,则该陶瓷厂每天应生产 417 件产品,其最大利润为 30 289 元. 8.(2015· 聊城模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策,提高了西部的经济 和社会发展水平.西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在当地销售,当地政府对该 1 项特产的销售投资收益为:每年投入 x 万元,可获得利润 P=- (x-40)2+100 万元.当 160 地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在规划 后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资,在未来 10 年的前 5 年中,每年都从 60 万元中 拨出 30 万元用于修建一条公路,5 年修成,通车前该特产只能在当地销售,公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每年投入 x 万元, 159 119 可获利润 Q=- (60-x)2+ (60-x)万元. 问从 10 年的总利润看, 该规划方案是否具有 160 2 实施价值? 1 解:在实施规划前,由题设 P=- (x-40)2+100(万元)知,每年只需投入 40 万,即可获 160 得最大利润 100 万元. 则 10 年的总利润为: W1=100×10=1 000(万元). 实施规划后的前 5 年中, 修建公路的费用为 30×5=150(万元), 1 795 又由题设 P=- (x-40)2+100 知,每年投入 30 万元时,利润 P= (万元). 160 8 前 5 年的利润和为
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795 2 775 ×5-150= (万元). 8 8 设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本地的销售,而用剩下的(60-x)万元投资 于外地的销售,则其总利润为 1 2 2 ? ? 159 2 119 ? W2=? ?-160?x-40? +100?×5+?-160x + 2 x?×5=-5(x-30) +4 950. 当 x=30 时,(W2)max=4 950(万元). 2 775 从而 10 年的总利润为 +4 950(万元). 8 2 775 ∵ +4 950>1 000, 8 故该规划方案有极大实施价值. 【B 级】 能力提升 1.(2013· 高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300 m2 的内 接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位:m)的取值范围是( )

A.[15,20] C.[10,30]

B.[12,25] D.[20,30]

解析:利用三角形相似求出矩形的边长,再利用面积关系求解自变量的取值范围. 设矩形的另一边长为 y m, x 40-y 则由三角形相似知, = , 40 40 ∴y=40-x. ∵xy≥300, ∴x(40-x)≥300, ∴x2-40x+300≤0, ∴10≤x≤30. 答案:C 2.(2015· 黄冈模拟)某种产品市场产销量情况如图所示,其中 l1 表示产品各年年产量的变化 规律;l2 表示产品各年的销售情况,下列叙述:

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(1)产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原生产计划进行下去; (2)产品已经出现了供大于求的情况,价格将趋跌; (3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销量. 你认为较合理的叙述是( A.(1)(2)(3) C.(2) ) B.(1)(3) D.(2)(3)

解析:由图像知产品产量、销售量均以直线上升,但产品产量比销售量上升速度快得多,由 此必然产生供大于求的情况, 从而导致价格下降, 库存积压也越来越严重, 由此分析得(2)(3) 较为合理. 答案:D 3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事,领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一 觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终 点??,用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的 是( )

解析:对于乌龟,其运动过程可分为两段,从起点到终点乌龟没有停歇,其路程不断增加, 到终点后等待兔子这段时间路程不变,此时图像为水平直线,对于兔子,其运动过程可分为 三段;开始跑得快,所以路程增加快;中间睡觉时路程不变;醒来时追赶乌龟路程增加快, 分析图可知,选 B. 答案:B 4. 某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每 千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元, 则此次出租车行驶了________ km. 解析:由已知条件

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8,0<x≤3 ? ? y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8 ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8 由 y=22.6 解得 x=9. 答案:9 5.如图所示,向高为 H 的容器 A,B,C,D 中同时以等速注水,注满为止:

(1)若水深 h 与注水时间 t 的函数图像是下图中的(a),则容器的形状是________; (2)若水量 v 与水深 h 的函数图像是下图中的(b),则容器的形状是________; (3)若水深 h 与注水时间 t 的函数图像是下图中的(c),则容器的形状是________; (4)若注水时间 t 与水深 h 的函数图像是下图中的(d),则容器的形状是________.

解析:(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的,只有 C 中的容器能做到,所以 应填 C; (2)该题图中的(b)说明了水量 v 增长的速度随着水深 h 的增长越来越快,在已知的四个容器 中,只有 A 中的容器能做到,所以应填 A; (3)该题图中的(c)说明水深 h 与注水时间 t 之间的对应关系,且反映出来的是升高的速度是 由快到慢再到快,在已知的四个容器中,只有 D 中的容器能做到,所以应填 D; (4)该题图中的(d)说明水深 h 与注水时间 t 之间的对应关系,且反映出来的是水深升高的速 度是先慢后快,在已知的四个容器中,只有 B 中的容器能做到,所以应填 B. 答案:(1)C (2)A (3)D (4)B 6.(2015· 郑州市高三质检)如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时 的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点 O 点 的距离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个人骑摩托车出发想 把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望, 此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?

解:作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3,
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∵OM=5,∴OI=4, 4 ∴cos∠MOI= . 5 设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为 t 小时, 4 由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t× , 5 25 400 1 即 v2= 2 - +2 500=25( -8)2+900≥900, t t t 1 ∴当 t= 时,v 取得最小值为 30, 8 30 15 ∴其行驶距离为 vt= = 公里. 8 4 故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望, 此时他驾驶摩托车行驶 15 了 公里. 4 7. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.5 千美元~8 千美元的地区 销售该公司 A 饮料的情况的调查中发现: 人均 GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多, 然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中(x 表示人均 GDP,单位:千美元,y 表示年人均 A 饮料的销量,单 位: 升), 用哪个模拟函数来描述年人均 A 饮料销量与地区的人均 GDP 关系更合适?说明理 由.①y=ax2+bx,②y=kx+b,③y=logax+b,④y=ax+b. (2)若人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 A 饮料的销量为 2 升,人均 GDP 为 4 千美元时,年 人均 A 饮料的销量为 5 升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出在各个地区中,年人 均 A 饮料的销量最多是多少? 解:(1)用函数 y=ax2+bx 来描述年人均 A 饮料销量与地区的人均 GDP 的关系更合适. 因为函数 y=kx+b,y=logax+b,y=ax+b 在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后 递减的特征. (2)依题意知,函数图像过点(1,2)和(4,5),
? ?a+b=2, 则有? 解得 ?16a+4b=5, ?

?a=-4, ? 9 ?b=4,

1

1 9 ∴y=- x2+ x(0.5≤x≤8). 4 4 9 1 9 1 81 81 x- ?2+ ≤ , ∵y=- x2+ x=- ? 4 4 4? 2? 16 16 9 81 ∴在各个地区中,当 x= 时,年人均 A 饮料销量最多是 升. 2 16

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