2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第4讲函数y=Asinωx+φ的图像及应用练习理北师大版

第4讲 一、选择题 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及应用 π 1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图像 12 的对称轴为( A.x= C.x= ) B.x= D.x= kπ 2 2 π - (k∈Z) 6 π - (k∈Z) 12 kπ 2 2 π + (k∈Z) 6 π + (k∈Z) 12 kπ kπ π 解析 由题意将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度后得到函数的解析式为 y 12 π? π π kπ π ? =2sin?2x+ ?,由 2x+ =kπ + 得函数的对称轴为 x= + (k∈Z),故选 B. 6? 6 2 2 6 ? 答案 B π 2.(2017·衡水中学金卷)若函数 y=sin(ω x-φ )(ω >0, |φ |< ) 2 ? π ? 在区间 ?- ,π ? 上的图像如图所示,则 ω , φ 的值分别是 ? 2 ? ( ) 2π B.ω =2,φ =- 3 1 2π D.ω = ,φ =- 2 3 π A.ω =2,φ = 3 1 π C.ω = ,φ = 2 3 解析 由图可知,T=2? 以 ?π -?-π ??=π ,所以 ω =2π =2,又 sin?2×π -φ ?=0,所 ? ?? ? ? 6 T ? ? ? 6 ? 3 ?? π π π π -φ =kπ (k∈Z),即 φ = -kπ (k∈Z),而|φ |< ,所以 φ = ,故 选 A. 3 3 2 3 答案 A 3.(2017·西安模拟)将函数 f(x)= 3sin x-cos x 的图像沿着 x 轴向右平移 a(a>0)个单 位后的图像关于 y 轴对称,则 a 的最小值是( A. C. π 6 π 2 π B. 3 2π D. 3 ) π? ? π? ? 解析 依题意得 f(x)=2sin?x- ?,因为函数 f(x-a)=2sin?x-a- ?的图像关于 y 6? 6? ? ? π? π π π ? 轴对称,所以 sin?-a- ?=±1,a+ =kπ + ,k∈Z,即 a=kπ + ,k∈Z, 6? 6 2 3 ? 1 π 因此正数 a 的最小值是 ,选 B. 3 答案 B π 4.(2016·长沙模拟)函数 f(x)=3sin x-log1x 的零点的个数是( 2 2 A.2 B.3 C.4 D.5 ) π 2π 1 解析 函数 y=3sin x 的周期 T= =4,由 log1x=3,可得 x= .由 log1x=-3,可 2 π 8 2 2 2 π 得 x=8.在同一平面直角坐标系中, 作出函数 y=3sin x 和 y=log1x 的图像(如图所示), 2 2 易知有 5 个交点,故函数 f(x)有 5 个零点. 答案 D 5.(2017·宜春调研)如图是函数 f(x)=sin 2x 和函数 g(x)的部分 图像,则 g(x)的图像可能是由 f(x)的图像( 2π A.向右平移 个单位得到的 3 π B.向右平移 个单位得到的 3 7π C.向右平移 个单位得到的 12 π D.向右平移 个单位得到的 6 解析 由函数 f(x)=sin 2x 和函数 g(x)的部分图像,可得 g(x)的图像位于 y 轴右侧的第 17π π π 7π 一个最高点的横坐标为 m,则有 -m= - ,解得 m= ,故把函数 f(x)=sin 2x 24 4 8 12 7π π π 的图像向右平移 - = 个单位,即可得到函数 g(x)的图像,故选 B. 12 4 3 答案 B 二、填空题 6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y=a ) 2 ?π ? +Acos? (x-6)?(x=1, 2, 3, ?, 12)来表示, 已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ℃, ?6 ? 12 月份的月平均气温最低为 18 ℃,则 10 月份的平均气温为________℃. 解析 因为当 x=6 时,y=a+A=28; 当 x=12 时,y=a-A=18,所以 a=23,A=5, 所以 y=f(x)=23+5cos? ?π (x-6)?, ? ?6 ? ?π ? 所以当 x=10 时,f(10)=23+5cos? ×4? ?6 ? 1 =23-5× =20.5. 2 答案 20.5 7.(2016·全国Ⅲ卷)函数 y=sin x- 3cos x 的图像可由函数 y=sin x+ 3cos x 的图 像至少向右平移________个单位长度得到. 解析 y=sin x- 3cos x=2sin?x- ?,y=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ? ,因此至 3 3 ? ? π? ? ? ? π? ? 2π 少向右平移 个单位长度得到. 3 答案 2π 3 π π? ? 8.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ ≤ ?的图像上的两个相邻的最高点和 2 2? ? 1? ? 最低点的距离为 2 2,且过点?2,- ?,则函数 f(x)的解析式为________. 2? ? 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2,可得 ?T? +(1+1)2=2 2,解得 ?2? ? ? 2 T=4,故 ω = 即 f(x)=sin? 2π π = , T 2 ?π x+φ ?.又函数图像过点?2,-1?, ? ? 2? ? 2 ? ? ? 1 ?π ? 故 f(2)=sin? ×2+φ ?=-sin φ =- , 2 2 ? ? π π 又- ≤φ ≤ , 2 2 π ?π x π ? 解得 φ = ,故 f(x)=sin? + ?. 6? 6 ? 2 答案 f(x)=sin? ?π x+π ? ? 6? ? 2 3 三、解答题 π? ? 9.已知函数 f(x)=sin ω x+cos?ω x+ ?,

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