抛物线及其标准方程_图文

抛物线及其标准

请同学们思考一个问题
想 一 我们对抛物线已有了哪些认识? 想 ?

二次函数是开口向上或向下的抛物线。 y

o

x

抛物线的生活实例

投篮运动

抛物线的生活实例

飞机投弹

生活中的抛物线

桥 梁

生活中的抛物线

隧 道

生活中的抛物线

流星雨

投篮

掷球

乒乓球

请同学们观察这样一个小实验

抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 (注意:F不在I上) 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 N L
M

· F ·

即:

MF ︳ ︳ 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

注意: 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”, 一个动点,设为M;一个定点F即抛物线 的焦点;一条定直线l即抛物线的准线; 一个定值即点M与点F的距离和它到直线l 的距离之比等于1.

抛物线标准方程的推导 l
N 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?
M

· · F

想 一 想 ?

回顾求曲线方程的一般步骤是:
1、建立直角坐标系,设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、(证明)

抛物线标准方程的推导
l N
K

M

· · F

试 一 试 ?

设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢?

抛物线标准方程的推导
解:如图,取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴,线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F( 2 ,0),L:x =2 设动点M的坐标为(x,y) K o 由抛物线的定义可知, F

· ·

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

抛物线的标准方程
2 方程 y

= 2px(p>0)叫做

抛物线的标准方程
其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离
想一想: 椭圆和双曲线依据焦点位置的不同可以得到两 种标准方程,抛物线呢?

y

y

y2=2px
O F

x2=2py
x

F O l
y l O F

x

l

y

y2=-2px

x

F

O

x

x2=-2py

l

y

y

y
y l O F


O F

x

x

F

O

x

F O l


l
l

x

标准方程
焦点坐标 准线方程

y2=2px
p F ( ,0) 2 p x =2

y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2

x2=2py
p F (0, ) 2 p y =2

x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2

一次定焦点,正负定方向
如何由抛物线的标准方程确定焦点位置和开口方向?

抛物线的标准方程
抛 物 线 方 程

左右 型

标准方程为

开口向右:

y2 =+ 2px
(p>0)

y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:

y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:

上下 型

标准方程为

x2 =+ 2py
(p>0)

x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:

x2 = -2py (y≤0)

课堂练习
例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0 (2)y=2x2
注意:求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 (4)x2 +8y =0 标准形式

焦点坐标

准线方程

(1 )
(2) (3) (4)

( 5, 0)
1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8

x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8

(0,-2)

y=2

例2:根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(-2,0) 解:y2 =-8x 1 2 =x (2)准线方程 是x = ? 解: y 4 (3)焦点到准线的距离是2 解:y2 =4x或y2

1.由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中 都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件, 就可以求出抛物线的标准方程

= -4x 或x2 =4y或x2 = -4y

2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后, 它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程 就会有多解.

由例1.和例2.反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位,后定量

课堂练习
例3:求过点A(-3,2)的抛物线的 标准方程。
解:1)设抛物线的标准方程为 x2 =2py,把A(-3,2)代入, A 得p= 9
2)设抛物线的标准方程为 y2 = -2px,把A(-3,2)代入, 得p= 2



y

4

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

3



课堂小结
1。抛物线的定义

2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法

4。注重数形结合的思想 5。注重分类讨论的思想

课后练习
已知抛物线方程为x=ay2(a≠0),讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程? 1 1 2 解:抛物线的方程化为:y = a x 即2p= a
①当a>0时,
p 2

=
1 4a

1 4a

,抛物线的开口向右
1 4a

∴焦点坐标是(

,0),准线方程是: x=
1 4a

②当a<0时,

p 2

=

,抛物线的开口向左 x=
1 4a

∴焦点坐标是(

1 , 0 ),准线方程是: 4a


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