河北省衡水中学2013届高三下学期第八次模拟考试数学(理)试卷

河北省衡水中学 2013 届高三下学期第八次模拟考试 数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 150 分。 共 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时, 每小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确 答案的序号填涂在答题卡上) 1. 已知全集是 U ,集合 M 和 N 满足 M ? N ,则下列结论中不成立的是( ) A. M ? N ? M B. M ? N ? N C. M ? C UN ? ? M ? ?U N ?

?

?

?U M D. CU M ? N ? ?


?

?

2 2. 设 x ? R 则“ x ? 1 ”是“复数 z ? x ? 1 ? ? x ? 1? i 为纯虚数”的(

?

?

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 3. 右图是一个算法的流程图,最后输出的 W=( ) 开始 A.18 B.16 C.14 D.12 4. 二 项 式 ( ax ?

3 3 3 ,则 ) 的展开式的第二项的系数为 ? 6 2


S=0

?

a

T=0

?2

x d x的值为(
7 B. 3

2

A. 3

7 C. 3 或 3

10 D. 3 或 ? 3

S=T-S

T=T+2 否

5. 10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,每人 1 张,至少有 1 人中奖的概率是( )
3 10 1 C. 2 A. 1 12 11 D. 12 B.

S≥6

是 W=S+T 输出 W

6. 将函数

? f ?x? ? 2 sin?2x ? ? ? ? 3 的图象 F 向右平移 ,再向
6

(第 3 题图)
结束

上平移 3 个单位,得到图象 F′,若 F′的一条对称轴方程是 x ? 值是( A. ? ) B. ?

?
4

,则 ? 的一个可能取

?
6

?
3
x

C.

? 2

D.

? 3

7. 已 知 函 数 f ( x) ? e ? x, g( x) ? ln x? x, h( x) ln x 的 零 点 依 次 为 a , b , c , 则 ? ? 1 ( )
1

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c

8. 已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1 , 直径为 4 的球的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? ( A. 1: 4 C. 1:1 B. 1: 2 D. 2 :1 )

9. 在直角梯形 ABCD 中, AB//CD, AD ? 则 MA ? MD ? ( A.4 10. 点 P 在 双 曲 线

AB, ?B ? 45 °,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中点,

???? ???? ?

) B.3 C.2 D.1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 , F1、F2 是 这 条 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , a 2 b2

?F1PF2 ? 90? ,
且 ? F1 PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( A . 2 11. 已 知 f ? x ? ? ( ) B . 3 C. 2 D .5 )

1 2 ?? ? x ? s i n ? x ? , f ? ? x? 为 f ? x ? 的 导 函 数 , 则 f ? ? x? 的 图 像 是 ? 4 ?2 ?

12. 已



x ? R, 符号 ? x ? 表示不超过 x
个零点,则 a 的取值范围是(

的最大整数, 若函数 f ? x ? ?

? x? ? a
x

? x ? 0? 有且仅有 3


2

3 4 3 4 C. ? , ? D. ? , ? ? ? ?4 5? ? 4 5? ? ? 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

1 2 A. ? , ? ? ? ? 2 3?

1 2 B. ? , ? ?2 3? ? ?

13.

? x+y-1≥ 0, ? 已知点 P(x, )在不等式组 ? x- y ≥ 0, 表示的平面区域内运动, z ? 3x ? 4 y 的 y 则 ? x≤3 ?
最小值为________

14. 已知数列{ an )满足 a1 ?

aa 1 , an?1 ? an ? n n?1 (n ? 2) ,则该数列的通项公式 an = 2 n(n ? 1)

15. 在四面体 ABCD 中,AB ? CD ? 6, AC ? BD ? 4, AD ? BC ? 5 , 则四面体 ABCD 的 外接球的表面积为
2 2 16. 圆 C1 的方程为 ( x ? 3) ? y ?



4 ,圆 C2 的方程 25 1 ( x ? 3 ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? (? ? R) ,过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 25

PM、PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 最大值为_____________.

3

17. (本小题满分 12 分)为了响应学校“学科文化节”活动,数学组举办了一场数学知识 比赛,共分为甲、乙两组.其中甲组得满分的有 1 个女生和 3 个男生,乙组得满分的有 2 个女生和 4 个男生.现从得满分的学生中,每组各任选 2 个学生,作为数学组的活动 代言人. (1) 求选出的 4 个学生中恰有 1 个女生的概率; 设 X 为选出的 4 个学生中女生的人数, (2) 求 X 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分)平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD= 2 2 ,且 ?BAD ? 45 ,以 BD
0

为折线,把 ?ABD 折起,使平面 ABD ? 平面CBD ,连 AC. (Ⅰ)求证: AB ? DC ; (Ⅱ)求二面角 B-AC-D 的大小; (Ⅲ)求四面体 ABCD 外接球的体积.

19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均 为原点 O , 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

0
?2 2

?1
1 16

2

4
1

?2

(1)求 C1 , C2 的标准方程; (2)设斜率不为 0 的动直线 l 与 C1 有且只有一个公共点 P , 且与 C2 的准线相交于点 Q , 试 探究: 在坐标平面内是否存在定点 M , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? kx2 ( k ? R ). (1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求 k 的值;
4

?x ? 0 (2) x ?[0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的区域内,求 k 的取值范围; ?y ? x ? 0
(3)证明:

? 2i ?1 ? ln(2n ? 1) ? 2 , n ? N
i ?1

n

2

*

.

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分.

21. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于 A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、 BE 分别交于点 C、D.求证: (Ⅰ) CE

? DE ;

(Ⅱ)

CA PE ? . CE PB

22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x = cos ? 已知圆 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴 ? y = sin ?

为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 3 (Ⅰ)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1 、 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

?

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3| . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.
5

6

2012~2013 学年度高三年级八模考试 数学试卷(理)答案

10.解析:不妨设点 P 在双曲线的左支上,设 解得 r 1
2 1

PF1 ? r1, PF2 ? r2 ,则 r1 ? r2 ? 2a, 2r1 ? r2 ? 2c

? 2c ? 2a, r2 ? 2c ? 4a ,又 r ? r22 ? 4c2 代入两边同除以 a 2 得 e2 ? 6e ? 5 ? 0 解得 e ? 1或e ? 5 ,? e ? 1 ,故选 D。 1 1 、13 解析:可行域是以 A( , ), B (3,3), C (3, ?2) 三点为顶点的三角形,当过点 B 时, z 取 2 2 最小值是 ?3 。 n 14. an ? 3n ? 1
15.解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为 4、5、6,设长方体的三条边
2 2 2 分别为 x, y, z ,则 x ? y ? z ?

77 ,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 2

77 ?. 2 2 2 16.解析:圆 C2 的圆心的轨迹方程是 ( x ? 3) ? y ? 1,当∠MPN 取最大值时,是 P 点距离圆 C1 上 4 2 ? 的点的距离最小的时候,此时 d ? , r ? ,所以 ?MPN ? . 1 5 5 3 S ? 4? R 2 ?
三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余每个小题 12 分,共 70 分) 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 cos?x ? sin ?x

? cos2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
6

) ? ? ? 0 ?函数 f ( x)的周期 T ?

2? ? ? , 由题 2? ?

意可知

T ? ? ? ? ,即 ? , 2 2 2? 2

7

解得 0 ? ? ? 1,即?的取值范围是 ? | 0 ? ? ? 1} { 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,

????????????6

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? f ( A) ? 1 ? sin( 2 A ?

?
6

)?

1 ,而 2

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 ? 5 ? ? ?2A ? ? ? ? A ? 6 6 6 3
b2 ? c2 ? a2 2 2 ?b ? c ? bc ? 3, 又b ? c ? 3 2bc
? S ?ABC ? 1 3 bc sin A ? 2 2
???????12

由余弦定理知 cos A ?

联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 或? ?c ? 1 ?c ? 2

分 18.解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的 2 个同学中,1 个 是男同学,1 个为女同学”为事件 A , “从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组内选 出的 2 个同学中 1 个是男同学,1 个为女同学”为事件 B ,由于事件 A ? B 互斥,且

P( A) ?

1 1 C32C2C4 4 C1C 2 1 ? ,P ( B ) ? 3 42 ? 2 2 C4 C62 15 C4 C6 5

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为

P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

4 1 7 ????????5 分 ? ? 15 5 15

(2) X 可能的取值为 0,1,2,3,
1 7 3 1 P( X ? 0) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 5 15 10 30

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 5

7 15

3 10

1 30
????10 分

∴ X 的数学期望 EX ?

7 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 15 10 30 6

??????????12 分

19.解: (Ⅰ)在 ?ABD 中,

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos 450 ? 4, ? BD ? 2 ,

易得 AB ? BD ,

? 面 ABD ? 面 BDC

?4 分 ? AB ? 面 BDC ? AB ? DC (Ⅱ)在四面体 ABCD 中,以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 垂直于平面 BDC 的射线 为 z 轴,建立如图空间直角坐标系.

8

A

z

D C x B

y

则 D(0, 0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,A(2,0,2) 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,而 BA ? (0,0, 2), BC ? (?2, 2,0) ,

?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ?n ? BA ? 0 ?2 z ? 0 ? 由 ? ? ??? 得: ? ,取 n ? (1,1,0) . ? ??2 x ? 2 y ? 0 ?n ? BC ? 0 ? ?? ??? ? ???? 再设平面 DAC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,而 DA ? (2,0, 2), DC ? (0, 2,0) , ?? ??? ? ?? ?m ? DA ? 0 ?2 x ? 2 z ? 0 ? 由 ? ?? ???? 得: ? ,取 m ? (1,0, ?1) , ?2 y ? 0 ?m ? DC ? 0 ?

? ?? ? ?? n?m 1 ?? ? ,所以二面角 B-AC-D 的大小是 60 0 所以 cos ? n, m ?? ? | n |?| m| 2
8分

???????

(Ⅲ)由于 ?ABC , ?ADC 均为直角三角形,故四面体 ABCD 的外接球球心在 AD 中点, 又 AC ? 2 3 ,所以球半径 R ? 3 ,得 VABCD ? 分 20.解析: (1)设 C1 , C2 的标准方程分别为:

4 3 ? R ? 4 3? . 3

???????12

y 2 x2 1? ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0), x 2 ? 2 py,? ? ?1, ? 2 a b ? 16 ?

和 ? 4,1? 代入抛物线方程中得到的解相同,? 2 p ? 16, ??????????2 分, 且 0, ?2 2 和

?

? ?

2, ?2 在椭圆上,代入椭圆方程得 a ? 2 2, b ? 2, 故 C1 , C2 的标准方程
??????????5 分

?

分别为

y 2 x2 ? ? 1, x 2 ? 16 y. 8 4

(2)设直线 l 的方程为 x ? my ? n, 将其代入

y 2 x2 ? ? 1消去 x 并化简整理得 8 4

?1 ? 2m ? y
2

2

? 4mny ? 2n 2 ? 8 ? 0,?与 C1 相切,

9

?? ? 16m 2 n 2 ? 4 ?1 ? 2m 2 ?? 2n 2 ? 8 ? ? 0,? n 2 ? 4 ?1 ? 2m 2 ? , ??????????7 分,
设切点 P ? x0 , y0 ? , 则 y0 ? ?

2mn 8m n 2 ? 8m2 4 ?? , x0 ? my0 ? n ? ? ; 又直线 l 与 C2 1 ? 2m 2 n n n

的准线 y ? ?4 的交点 Q ? n ? 4m, ?4? ,?以 PQ 为直径的圆的方程为

4? 8m ? ? ? ? x ? ? ? x ? n ? 4m ? ? ? y ? ? ? y ? 4 ? ? 0, n? n ? ? ?
2 化简并整理得 x ?

??????????10 分,

4 8m 2 x ? ? 4m ? n ? x ? 故 ? y ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 0 恒成立, x ? 0, y ? ?2, 即 n n
??????????12

存在定点 M ? 0, ?2? 合题意。 分

1 1 ? 2kx ,由 f ' (1) ? 0得k ? ? 经检验符合题意??3 分 1? x 4 2 2 (2)依题意知,不等式 x ? ln(x ? 1) ? kx ? 0 在 x ? ?0,??? 恒成立.令 g ( x) ? x ? ln(x ? 1) ? kx , 当 k≤0 时,取 x=1,有 g (1) ? 1 ? ln 2 ? k ? 0 ,故 k≤0 不合.
21.解析:(1) f ( x) ?
'

? x[2kx ? 1 ? 2k ] x 当 k>0 时, g′(x)= -2kx= . x+1 x ?1
1-2k 令 g′(x)=0,得 x1=0,x2= >-1. ???????????4 分 2k 1-2k 1 ①当 k≥ 时, ≤0,g′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g(x)在[0,+∞)上单调递减,从而对 2 2k 1 任意的 x∈[0,+∞),总有 g(x)≤g(0)=0,故 k≥ 符合题意. 2 1-2k 1-2k? 1 ②当 0<k< 时, >0, 对于 x∈?0, ,g′(x)>0, 2 2k 2k ? ? 1-2k? 1-2k? 故 g(x)在?0, 内单调递增,因此当取 x0∈?0, 时,g(x0)>g(0)=0,不合. 2k ? 2k ? ? ? 综上, k ?

1 . ??????????8 分 2

(3)证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立. 1 当 n≥2 时,在(2)中取 k= ,得 x ? ln(x ? 1) 2 取 x=
n

?

x2 2

?????9 分

2 2 2 2 2 代入上式得: -ln(1+ )≤ < ???10 分 2i-1 2i-1 2i-1 ?2i-1?2 (2i ? 3)(2i ? 1)
n i=2

i=1 n

2 2 ? ?2i-1-ln?1+2i-1??≤2-ln3+ ? ? ?? ? 2 1

2 (2i ? 3)(2i ? 1)

-ln(2n+1)≤2-ln3+1- <2. ? 2n-1 i=1 2i-1 综上, ? 2 -ln(2n+1)<2, n ? N ? 2i-1 i=1
n

???????????? 12 分

22.(Ⅰ)证明:? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP ? PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,
10

??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

??????5 分
PE PC ? PB PD

(Ⅱ)证明:? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?
? PE CA ? PB DE CA PE ? CE PB

PC CA ? PD DE

? DE ? CE , ?

??????10 分

? x = cos ? 2 2 23.解: (Ⅰ)由 ? 得 x +y =1, y = sin ? ?
π 又∵ρ =2cos(θ + )=cosθ - 3sinθ , 3 ∴ρ 2=ρ cosθ - 3ρ sinθ .

1 3 2 2 2 ) ?1 ∴x +y -x+ 3y=0,即 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2 2

??????5 分

1 3 2 (Ⅱ)圆心距 d ? (0 ? )2 ? (0 ? ) ? 1 ? 2 ,得两圆相交 2 2

?x +y =1 由? 2 ?x +y2-x+ 3y=0

2

2

1 3 得,A(1,0),B ( ? , ? ) , 2 2

1 3 2 ∴ | AB |? (1+ )2 +(0+ ) = 3 2 2

??????10 分

24. 解: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ? 1 ? ?x ? ? ??????3 分 2 ? ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?
解,得 即



3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2
不 等 式 的 解 集 为 ??????5 分 ??????8

{x | ?1 ? x ? 2} ? (Ⅱ) | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4


11

?| a ? 1 |? 4


? a ? ?3或a ? 5 。

??????10

12


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