广西桂林阳朔中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

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绝密

阳朔中学 2017 年秋季学期段考高二数学试卷(理 科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟,满分 150 分。考生务必在答题卷上作答,在本试卷上答题无效。交卷时 只交答题卷。

第I卷
一.选择题: 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合要求.
1.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ y ? cos ax 的最小正周期为 2? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2.在△ ABC 中, c ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 , b ? 1, A ?
3 4

?
3

,则△ ABC 的面积为

A.

3 2

B.

C.

3 2

D.

3 4

3.下列说法正确的是 A.若 a ? b ,则 ac 2 ? bc2 C.若 ac ? bc ,则 a ? b
2 2 2

B.若 a ? ?b ,则 ? a ? b D.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c

4.在不等边△ ABC 中, b ? a ? c ,则 B 的取值范围是
o o A. 45 ? B ? 90 o o B. 60 ? B ? 90 o o D. 90 ? B ? 180

o o C. 0 ? B ? 90

5.命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 B. ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0

? y?2 ? 6.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?

A.12

B.11

C.3

D.-1

7.已知不等式 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 P ,不等式 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 的解集为 Q ,不等式

x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是 P ? Q ,那么 a ? b 等于
A.-3 B.1 C.-1 D.3 8.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? 1) 则 a8 ? A. 3 ? 46 B. 3 ? 46 ? 1 C. 4
7

D. 4 ? 1
7

9.“若 a、b ? R 且 a 2 ? b2 =0, 则 a、 b 全为 0”的否命题是 A. 若 a、b ? R 且 a2 ? b2 ? 0, 则 a、 b 全不为 0 B. 若 a、b ? R 且 a2 ? b2 ? 0, 则

a、 b 不全为 0
2 2 C. 若 a、b ? R 且 a、 b 全 为 0 则 a ? b ? 0

D. 若 a、b ? R 且 ab ? 0 , 则

a 2 ? b2 ? 0
10.若实数 a, b, c, d 满足 a 2 ? b2 ? m , c2 ? d 2 ? n , (m ? n) ,则 ac ? bd 的最大值为

A.

m?n 2

B. mn

C.

m2 ? n 2 2

D.

mn m?n

11.对任意 t ?[1, 2] ,函数 f ( x) ? x2 ? (t ? 1) x ? 4 ? 2t 的值恒大于零,则 x 的取值范围是 A. ?1 ? x ? 0 B. x ? ?1或x ? 0 C. 1 ? x ? 2 D. x ? 1或x ? 2

12.已知函数 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调函数,且对任意的正数 x , y 都有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足

f (Sn ? 3) ? f (an ) ? f (2)(n ? N * ) 则 Sn 为
A. 3(2 ? 1)
n
n B. 2 ? 1

C. 2 ? 3
n

?3? D. ? ? ?2?

n ?1

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中相 应题的横线上.
13.已知数列 ?an ? 为等比数列, a1 ? 2, a4 ? 16 ,则 S8 = .

14.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 45°的方向, 两船相距 a 海里, 乙船正在向北行驶, 若甲船的速度是乙船的 2 倍,则甲船应取北偏东θ 方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ

=________. 15.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 2 ,若 bn ? (n ? 1)(1 ? an ) , bn 的前 n 项和记为 Sn , 则 Sn =____. 16.设 0 ? ? ? ? ,不等式 2 x2 ? (4sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 ? 的取值范围 为____________.

三、本题共 6 题,17 题 10 分,18、19、20、21、22 题各 12 分,共 70 分。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解不等式: (1)

3x ? 1 ?2 x ?1

(2)

? x2 ? 4 x ? 5 ? 0

18.已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 3

? ? 的前 n 项和 S
an

n

.

2 19.命题 P :关于 x 的方程 x ? ax ? 1 ? 0 无实根;命题 q :函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 在 R

上单调递增.若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

20.设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a , b , c ,且 b ? 3 , a ? 1 , C ? 2 B . (1)求 c 的值;(2)求 cos( B ?

?
6

) 的值.

21.设命题 P :实数 x 满足 x ?1 ? m,(m ? 0) ;命题 q :实数 x 满足

x?5 ? 2 ;命题 r :实数 x?2

x 满足 x 2 ? 2ax ? a ? 1<0 的集合为 M , ( M ? ? ) .
(1) 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. (2) 若 ?r 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

22.设数列 ?an ? ( n ? 1, 2,3 ?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数 列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)记 b n ?

1 ,求证: b1 +b2 +b3 + ? +bn ? 2 an ? 1

阳朔中学 2017 年秋季学期段考高二数学试卷(理科)参考 答案
一.选择题:
题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 D 5 C 6 B 7 C 8 A 9 B 10 B 11 B 12 A

二.填空题:
13. 29 ? 2 . 14. 15o 15. ( ? )3n ?1 ?

n 2

1 4

3 4

16.

[0,

?
6

] ?[

5? ,? ] 6

三、本题共 6 题,17 题 10 分,18、19、20、21、22 题各 12 分,共 70 分。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解: (1)原不等式可以化为:

3x ? 1 ? 2 ? 0 (1’ ) x ?1

?

3 x ? 1 ? 2( x ? 1) ?0 x ?1

(2’ )

?

x ?3 ?0 x ?1

(3’ )

?( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ?? x ?1 ? 0 ?
(6’ )

(4’ )

??1 ? x ? 3

(5’ )

? 原不等式的解集是 ? x ?1 ? x ? 3?
2

(2)原不等式可以化为: x ? 4 x ? 5 ? 0 (7’ ) ? ( x ? 5)( x ? 1) ? 0 (8’ )

? x ? 5或x ? ?1 (9’ )

? 原不等式的解集是 ? x x ? 5或x ? ?1? (10’ )
18.解 (1)由题设知公差 d≠0,

1+2d 1+8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 1 = , 1+2d 解得 d=1,d=0(舍去), (4’ ) 故{an}的通项公式 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 3 an=3n, (7’ ) ∴Sn=3+32+33+?+3n = =
3 ?1-3n ? 1? 3
3 ? 3n ? 1? 2
(10’ ) (8’ ) (6’ )

(2’ )

(12’ )

2 2 2 19.解:∵ x ? ax ? 1 ? 0 无实根 ? 方程 x ? ax ? 1 ? 0 的判别式 ?=a ? 4 ? 0 (1’ )

? ?2 ? a ? 2 (2’ )
∵函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 在 R 上单调递增 ∵ p ? q 为假命题, p ? q 为真命题 当 p 为真命题, q 为假命题时,则 ?

? a ? 1 (3’ )

? 命题 p, q 中有一是真命题,一个是假命题(5’ )
??2 ? a ? 2 ? 0 ? a ?1
(7’ )

?0 ? a ? 1

(8’ )

当 p 为假命题, q 为真命题时,则 ?

?a ? 2或a ? ?2 (10’ ) a ?1 ?
(12’ )

?a ? 2

(11’ )

综上,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 或 a ? 2

20. 解 (1)∵C=2B,∴sinC=sin2B=2sinBcosB, (1’ ) a2+c2-b2 由正、余弦定理得 c=2b· , (3’ ) 2ac ∵b=3,a=1,∴c2=12,c=2 3.(5’ ) (2)由余弦定理得 b2+c2-a2 9+1-12 1 cosC= = =- . (7’ ) 2bc 6 3

? C 是钝角,B 是锐角。 (8’ )

? cos 2 B ? ?
(10’ )

1 3

由 1 ? cos 2B ? 2cos2 B 解得 co sB ? 3 ? sin B ? 6
3 3

? cos( B ?

?
6

) ? cos

?
6

cos B ? sin

?
6

sin B
(12’ )

3 3 1 6 3? 6 ? ? ? ? ? 2 3 2 3 6
21.解:由 x ?1 ? m,(m ? 0) 由

解得: 1 ? m ? x ? 1 ? m

(1’ )

x?5 ?2 x?2

解得: -1 ? x ? 2 (2’ )

记实数 x 满足 x ?1 ? m,(m ? 0) 的集合为 P, 实数 x 满足 (1)

x?5 ? 2 的集合为 Q x?2



p 是 q 的充分不必要条件

∴ P?Q
?

(3’ )

?1 ? m ? ?1 ?? (5’ ) ? 1? m ? 2
(2)

? 0 ? m ? 1 (6’ )

∵ ?r 是 ? q 的必要不充分条件

∴ r 是 q 的充分不必要条件 (7’ )

∴M?Q
?

(8’ )

? ? 2 ?? ? (?2a) ? 4(a ? 1) ? 0 ∴? ?1 ? a ? 2 ? ? (?1) 2 ? 2a ? a ? 1 ? 0 ? 2 ? ? 2 ? 4a ? a ? 1 ? 0

(11’ )

? 0 ? a ? 1 (12’ )

22. 解 (1)由已知 Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), (1’ ) 即 an=2an-1(n≥2). (2’ ) 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列,即 a1+a3=2(a2+1). 所以 a1+4a1=2(2a1+1), (4’ )解得 a1=2. (5’ ) 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an=2n. (6’ ) (2)证明:∵ 2 ? 1 ? 2
n n ?1

(7’ )

?

1 1 ? n ?1 2 ?1 2
n

(8’ )

∵ bn ?

1 1 ? n an ? 1 2 ? 1

? bn ?
2

1 2n ?1
n ?1

(9’ )

1 ?1? ?1? ?b1 +b2 +b3 + ? +bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? 2?

1 1 ? ( )n 2 ? 2 ?1 ? ( 1 ) n ? ? 2 ? ? 1 2 ? ? ? 1? 2

(12’ )


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