泉州五中2013届高考(文科数学)模拟考试卷(最后一卷)

2013 届高三文科数学模拟考试卷 2013.5.11
一选择题: (每小题 5 分,共 60 分)
1 ? 2i ? i ( i 为虚数单位) z 的虚部 1.若复数 z 满足 ,则 z
为( A. 2i ) B.2 C.1 D. ?1 是

命题:赵志毅

开始 输入 x

2.根据右边程序框图,若输出 y 的值是 4,则输入的实
数 x 的值为( A.1 C.1 或 2 ) B. ?2 D.1 或 ?2
y ? x2

x<1? 否 x<10? 否
y ? cos x
y ? 3x ? 1



3.用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视
图如右图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为 ( ) A.9 与 13 B.7 与 10 C.10 与 16 D.10 与 15

输出 y 结束

4.从点 P ?1, 3 ? 向圆 x2 ? y2 ? 1 作两条切线 PA、PB,切点为 A、B。则弦 AB 所在的直线的倾斜
角的大小为( A. ) B.

? 6

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
)

5.若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (?1)n (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ??? a10 等于(
A. ?12 B. ?15 C.12 D.15

6.在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P,则 ?PBC 的面积小于
A.

S 的概率是( ) 4

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2
)

7.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f (1) 对 x?R 恒成立,则(
A.函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 C.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数

B.函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 D.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数

8.若椭圆

10 x2 y 2 ,则 m 的值为( ) ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 m 5 25 A.1 B. 15 或 15 C. 15 D. 3 或 3 3
1

9.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, x1 ,
x 2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数, s1 , s 2 分别

表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有( A. x1 ? x 2 , s1 ? s2 C. x1 ? x 2 , s1 ? s2 B. x1 ? x 2 , s1 ? s2 D x1 ? x2 , s1 ? s2 .

)

10.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,
则点 C1 到平面 B1EF 的距离是( A.
2 3 3

) C.

B.

2 2 3

8 3

D.

4 3


11.若 0 ? a ? 1 ,且函数 f ( x) ?| loga x | ,则下列各式中成立的是(
?1? A. f (2) ? f ? ? ? ? 3? ?1? C. f ? ? ? f (2) ? ?3? ?1? f? ? ?4? ?1? f? ? ?4? ?1? ?1? B. f ? ? ? f (2) ? f ? ? ?4? ? 3? ?1? ?1? D. f ? ? ? f ? ? ? f (2) ?4? ? 3?

12.给定集合 A,若对于任意 a, b ? A ,有 a ? b ? A ,且 a ? b ? A ,则称集合 A 为闭集合,给出如下
四个结论: ①集合 A ? ??4, ?2,0, 2, 4? 为闭集合; ②集合 A ? ??3, ?1,0,1,3? 为闭集合;

③集合 A ? ?n | n ? 3k , k ? Z? 为闭集合; ④若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1 ? A2 为闭集合; 其中正确结论的序号是( .. .. A. ① B. ② ) C. ③ D. ④

二、填空题(每题 4 分,共 16 分)

13.从长度分别为 2,3,4,5 的线段中任取三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率
是 。

14.已知 ? 为钝角,且 cos( ? ? ) ? ? ,则 sin 2? ?
2

?

3 5



15.设 x、y 满足条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? ( x ? 1)2 ? y 2 的最小值
?y ? 0 ?

?x ? y ? 3 ?



16.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 4 , x ??0,1? 与 g ( x) ? x2 ? 2x ? a , x ??0,1? ,若对于任意 x1 ? ?0,1? ,总
存在 x0 ? ?0,1? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围为 。

2

三、解答题

17. (本小题满分 12 分)已知 A、B、C 是△ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3) , n ? (cos A,sin A) 且
?? ? m?n ?1

??

?

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若

1 ? sin 2B ? ?3 ,求 tan C 。 cos2 B ? sin 2 B

18. (本小题满分 12 分)口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,
甲、乙两人玩一种游戏;甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两 个编号和为偶数算甲赢,否则算乙赢。 (Ⅰ)求甲赢且编号的和为 6 的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由。

19. (本小题满分 12 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,E、F 分别在线段 BC 和 AD 上,
EF∥AB, 将矩形 ABCD 沿 EF 折起, 记折起后的矩形为 MNEF (如图)且平面 MNEF⊥平面 ECDF. , (Ⅰ)求证:NC∥平面 MFD; M (Ⅱ)若 EC=3,求证:ND⊥FC; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值. N A D F B E

C

20. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 a1 ? 2 , n ? an?1 ? Sn ? n(n ? 1) ,
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 Tn ? 的取值范围。

Sn ,①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn ?1 ;②若对一切正整数 n,总有 Tn ? m ,求 m 2n

3

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? bx ? c 。
(Ⅰ)若 f ( x) 在 (??, ??) 是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 1 时取得极值,且 x ? [?1, 2] 时, f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围。

1 2

22. (本小题满分 14 分)已知点 F1 (? 3 ,0) 和 F2 ( 3 ,0) 是椭圆 M:
焦点,且椭圆 M 经过点 ( 3 , ) . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 和椭圆 M 交于 A、B 两点,且 PB ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个 a2 b2

1 2

3 PA ,求直线 l 的方程; 5

(Ⅲ)过点 P(0,2)的直线和椭圆 M 交于 A、B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点 C,求证:直线 CB 必过 y 轴上的定点,并求出此定点坐标.

4

参考答案 2013 届高三文科数学模拟试卷 5.11
一、选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 D 5 D 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D 11 A 12 C

二、填空题 13.解析: 基本事件总数为 4,其中只有 2,3,5 一组不能构成三角形,故这个概 率是 1 ?

3 4

1 3 24 ? . 14. ? ; 4 4 25

15.4;

16. ? – 3, 2? ?

三、解答题 17.解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ,∴ (?1 3) ? (cos A, A) ? 1 ????????1 分 , sin 即 3 sin A ? cos A ? 1, 2(sin A ? ∵0<A<π, ? <A ?

5? ? ? ? ,∴ A ? = ,∴ A= ????????????6 分 6 6 6 6 6 3 1 ? 2sin B cos B (Ⅱ)由题知 ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos 2 B ? 0 ????7 分 2 2 cos B ? sin B <
∴cosB≠0,∴ tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 ??????8 分∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 ??9 分 而 tan B ? ?1 使 cos 2 B ? sin 2 B ? 0 ,舍去,∴ tan B ? 2 ???????10 分 又 tan C ? tan[? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) ? ?

?

?

3 1 ? 1 ? cos A ? ) ? 1 ,即 sin( A ? ) ? ???????3 分 2 2 6 2

tan A ? tan B 3 ? 2 8?5 3 ? ? ???12 分 1 ? tan B tan B 2 3 ? 1 11

18.解析: (1)设“甲胜且两数字之和为 6”为事件 A,事件 A 包含的基本事件为(1,5),(2,4), (3,3),(4,2),(5,1),共 5 个.?????2 分 等可能的结果,??4 分 答:编号的和为 6 的概率为 所以 P( A) ? 又甲、乙二人取出数字共有 5×5= 25(个)

5 1 ? .?5 分 25 5

1 .????6 分 5

(2)这种游戏规则不公平.?????7 分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为 13 个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1), (5,3),(5,5),所以甲胜的概率 P( B) ? 从而乙胜 P(C) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

1 13 ,都要写,不可与 相比, 2 25

13 12 .?????????11 分 ? 25 25

由于 P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.?????????????????12 分
5

19 解: (Ⅰ) 证明:因为四边形 MNEF,EFDC 都是矩形所以 MN∥EF∥CD,MN=EF=CD.所以四边形 MNCD 是 平行四边形,???2 分所以 NC∥MD, ???3 分 因为 NC ? 平面 MFD, MD ? 平面 MFD 所以 NC∥下面 MFD ???4 分 (Ⅱ) 证明:连接 ED,设 ED ? FC ? 0 . 因为平面 MNEF⊥平面 ECDF,且 NE⊥EF,由面面垂直的性质 定理得 NE⊥平面 ECDF?5 分因为 FC ? 平面 ECDF, 所以 FC⊥NE??6 分因为 EC=CD=3,所以四边形 ECDF 为正方形, 所以 FC⊥ED 又 ED ? NE ? E ,所以 FC⊥平面 NED ?7 分 因为 ND ? 平面 NED,所以 ND⊥FC (Ⅲ) 解:设 NE=x,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 由(Ⅰ)得 NE⊥平面 FEC,所以四面体 NFEC 的体积为
1 1 VNFEC ? S?EFC ? NE ? x(4 ? x) ???10 分 3 2

M

A

N F D

B

E

C

所以 VNFEC ? ? 2?

1 ? x ? (4 ? x) ? ? ? 2 ???11 分 2 ?
2

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.??12 分 20.解: (1)令 n = 1, 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 ?????????1 分

?n?an?1 ? Sn ? n(n ? 1) 由? ? n?an ?1 ? (n ? 1)an ? an ? 2n ? an ?1 ? an ? 2(n ? 2) ?????5 分 ?(n ? 1)?an ? Sn?1 ? n(n ? 1)
∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an?1 ? an ? 2(n ? N ? ) ,即数列 {an } 是以 2 为首项、2 为公差的等差数列, ∴ an ? 2n ??????????????????????????????6 分

Sn n(n ? 1) ( n ?1)( n ? 2) ? >Tn?1 ? ,n>2 ? N? )??????????8 分 (n n n 2 2 2n?1 S 3 ②∵ T1 ? 1 ? 1 T2 ? T3 ? ,又因为 n>2 时, Tn>Tn?1 , , 2 2 3 3 ∴各项中数值最大为 ,∵对一切正整数 n,总有 Tn ? m 恒等成立,因此 m ? ???12 分 2 2
(2)① Tn ? 21.解; (1) f '( x) ? 3x2 ? x ? b ,∵ f ( x) 在 (??, ??) 是增函数, ∴ f '( x) ? 0 恒成立,∴ ? ? 1 ? 12b ? 0 ,解得 b ? ∵ x ? (??, ??) 时,只有 b ?

1 . 12

1 1 ?1? 时, f ' ? ? ? 0 ,∴b 的取值范围为 [ . ? ?] .??3 分 12 12 ?6?

(2)由题意, x ? 1 是方程 3x2 ? x ? b ? 0 的一个根,设另一根为 x0 ,

6

1 ? ? x0 ? 1 ? 3 , 则? b ? x0 ? 1 ? , 3 ?
列表分析最值: x
f '( x)

2 ? ?x ? ? , ∴? 0 3 ?b ? ?2, ?

∴ f '( x) ? 3x2 ? x ? 2 ,?????????????5 分

?1

2 (?1, ? ) 3


?

2 3

2 (? ,1) 3
- 递减

1 0 极小值 3 ? ?c 2

(1, 2)

2

0 极大值 22 ?c 27

+ 递增
2?c

f ( x)

1 ?c 2

递增

∴当 x ? [?1, 2] 时, f ( x) 的最大值为 f (2) ? 2 ? c ,???????????????9 分 ∵对 x ? [?1, 2] 时, f ( x) ? c 2 恒成立,∴ c 2 ? 2 ? c ,解得 c ? ?1 或 c ? 2 , 故 c 的取值范围为 (??, ?1) ? (2, ??) ??????????????????????12 分 22.解: (1)由条件得:c= 3 ,设椭圆的方程

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ,将 ( 3 , ) 代入得 2 2 a a ?3

x2 3 1 ? y 2 ? 1 . --------4 分 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 4 ,所以椭圆方程为 2 2 4 a 4(a ? 3)
(2)斜率不存在时, PB ?

1 PA 不适合条件;----------------------5 分 3

设直线 l 的方程 y ? kx ? 2 ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), 代入椭圆 M 的方程并整理得: (1 ? 4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0 .
2 2

? ? (16k ) 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,得 k 2 ?
且 x1 ? x 2 ? ?

3 . 4

12 . -------------------7 分 4k 2 ? 1 3 3 3 因为 PB ? PA ,即 ( x1 , y1 ? 2) ? ( x 2 , y 2 ? 2) ,所以 x1 ? x 2 . 5 5 5 10k 20 2 代入上式得 x 2 ? ? ,解得 k ? ?1 , , x2 ? 2 2 4k ? 1 4k ? 1 x1 x 2 ?
所以所求直线 l 的方程: y ? ? x ? 2 . --------------------9 分

16k , 4k 2 ? 1

(3)设过点 P(0,2)的直线 AB 方程为: y ? kx ? 2 ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), C(-x2,y2).

7

x2 将直线 AB 方程代入椭圆 M: ? y 2 ? 1 ,并整理得: 4

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , ? ? (16k ) 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,得 k 2 ?
且 x1 ? x 2 ? ?

3 . 4

16k , 4k 2 ? 1

x1 x 2 ?

12 . 4k 2 ? 1

设直线 CB 的方程为: y ? y 2 ?

y 2 ? y1 ( x ? x2 ) , ? x 2 ? x1

令 x=0 得: y ? y 2 ? 将 x1 ? x 2 ? ?

y 2 x 2 ? x 2 y1 x 2 y1 ? x1 y 2 2kx1 x 2 ? ? ? 2 .----------12 分 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2
x1 x 2 ? 12 代入上式得: 4k 2 ? 1

16k , 4k 2 ? 1

y?

2k

12 4k 2 ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 1 . ? 16k 2 2 2 4k ? 1
1 2
---------13 分

所以直线 CB 必过 y 轴上的定点,且此定点坐标为 (0, ) . 当直线斜率不存在时,也满足过定点的条件。---------14 分

8


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