2019年人教版 高中数学选修2-3 优化练习第一章 排列与组合(习题课)

2019 年编·人教版高中数学

[课时作业]
[A 组 基础巩固]

1.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程

中各至少选一门,则不同的选法共有( )

A.30 种

B.35 种

C.42 种

D.48 种

解析:分两类,A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,或者 A 类选修课选 2 门,B 类选修

课选 1 门,因此,共有 C13×C24+C23×C14=30 种选法.

答案:A

2.5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少 1 本,不同的分法种数有( )

A.480

B.240

C.120

D.96

解析:先把 5 本书中的两本捆起来,再分成 4 份即可,∴分法种数为 C25A44=240. 答案:B

3.12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,

若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 ( )

A.C28A32

B.C28A66

C.C28A26

D.C28A52

解析:从后排 8 人中选 2 人安排到前排 6 个位置中的任意两个位置即可,所以选法种数是

C82A26,故选 C. 答案:C

4.北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三

班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( )

A.C1124C412C84

B.C1142A412A48

C.C1124AC41332C48

D.C1124C412C84A33

解析:首先从 14 人中选出 12 人共 C1124种,然后将 12 人平均分为 3 组共C412·AC3348·C44种,然后

这两步相乘,得C1124·AC41332·C48.将三组分配下去共 C1124·C412·C84种.故选 A.

答案:A

5.按 ABO 血型系统学说,每个人的血型为 A,B,O,AB 四种之一,依血型遗传学,当

且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时,子女一定不是 O 型,若某人的血型为 O 型,

则父母血型所有可能情况有________种.

解析:父母应为 A 或 B 或 O,C31·C13=9(种). 答案:9 6.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人, 每人 2 张,不同的获奖情况有________种(用数字作答). 解析:不同的获奖情况可分为以下两类: (1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 C23A24=36 种获奖情 况. (2)有三个人各获得一张有奖奖券,有 A34=24 种获奖情况. 故不同的获奖情况有 36+24=60 种. 答案:60 7.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员,现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号参加 团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员,且 1,2 号中至少有 1 名新队员的排法有 ________种. 解析:两老一新时,有 C13×C12A22=12 种排法;两新一老时,有 C21×C32A33=36 种排法,故 共有 48 种排法. 答案:48 8.将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有 ________种(用数字作答) 解析:按 C 的位置分类计算. ①当 C 在第一或第六位时,有 A55=120(种)排法; ②当 C 在第二或第五位时,有 A24A33=72(种)排法; ③当 C 在第三或第四位时,有 A22A33+A32A33=48(种)排法. 所以共有 2×(120+72+48)=480(种)排法. 答案:480 9.四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种? 解析:恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为 1,1,2,实际上可转化为先将四个不 同的小球分为三组,两组各 1 个,另一组 2 个,分组方法有C14AC1322C22种,然后将这三组再加上 一个空盒进行全排列,共有C14AC1322C22·A44=144 种放法. 10.有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3, 4 的蓝色卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的 排法共有多少种? 解析:分三类: 第 1 类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时,不同的排法有 C12·C12·C12·C12·A44种.

第 2 类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时,不同的排法有 C22·C22·A44种. 第 3 类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时,不同的排法有 C22·C22·A44种. 故满足题意的所有不同的排法种数共有 C12·C21·C12·C12·A44+2C22·C22·A44=432.
[B 组 能力提升]

1.已知圆上有 9 个点,每两点连一线段,则所有线段在圆内的交点有( )

A.36 个

B.72 个

C.63 个

D.126 个

解析:此题可归为圆上 9 个点可组成多少个四边形,每个四边形的对角线的交点即为所求,

所以,交点有 C49=126(个). 答案:D

2.将红、黑、蓝、黄 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少放一个球,且红

球和蓝球不能放在同一个盒子,则不同的放法有 ( )

A.18 种

B.24 种

C.30 种

D.36 种

解析:将 4 个小球放入 3 个不同的盒子,先在 4 个小球中任取 2 个作为 1 组,再将其与其他

2 个小球对应 3 个盒子,共有 C24A33=36 种情况,若红球和蓝球放到同一个盒子,则黑、黄 球放进其余的盒子里,有 A33=6 种情况,则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为 36

-6=30 种.

答案:C

3.直角坐标系 xOy 平面上,平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线各有 6 条,则由这 12 条直线组

成的图形中,矩形共有________个.

解析:从 6 条水平直线和 6 条竖直直线中各取 2 条,每一种取法对应一个矩形,因此矩形共

有 C26C26=225 个. 答案:225

4.两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输

赢局次的不同视为不同情形)________种.

解析:分三种情况:恰好打 3 局,有 2 种情形;恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局、输 1 局,

第 4 局赢),共有 2C23=6 种情形;恰好打 5 局(一人前 4 局中赢 2 局、输 2 局,第 5 局赢), 共有 2C24=12 种情形.所有可能出现的情形共有 2+6+12=20 种. 答案:20

5.某区有 7 条南北向街道,5 条东西向街道.(如图)

(1)图中有多少个矩形?

(2)从 A 点走向 B 点最短的走法有多少种?

解析:(1)在 7 条竖线中任选 2 条,5 条横线中任选 2 条,这样 4 条线可组成一个矩形,故可

组成的矩形有 C27·C25=210 个. (2)每条东西向的街道被分成 6 段,每条南北向的街道被分成 4 段,从 A 到 B 最短的走法,

无论怎样走,一定至少包括 10 段,其中 6 段方向相同,另 4 段方向也相同,每种走法,即

是从 10 段中选出 6 段,这 6 段是走东西方向的(剩下 4 段即是走南北方向的),共有 C610=C410 =210 种走法.

6.若对任意的

x∈

A





1 x

∈A

,就



A

是“具有伙伴关系”的集合.求集合

M=

???-1,0,13,12,1,2,3,4???的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数.

解析:具有伙伴关系的元素组成-1;1; 12,2;13,3;共 4 组,所以集合 M 的所有非空子

集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、

三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为 C14+C24+C34+C44=15.


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