2016-2017学年湘教版高中数学选修2-1:2.3.2、抛物线的简单几何性质课件2_图文

2.3.2 抛物线的简单几何性质 学习目标 课前自主学案 2.3.2 课堂互动讲练 知能优化训练 学习目标 1.通过图形理解抛物线的对称性、范围、顶点等 简单性质. 2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和 准线方程. 3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线 与抛物线的位置关系等问题. 课前自主学案 温故夯基 p ? 1.焦点为 F?2, 0 ? 的抛物线标准方程是 ? p 2=2px(p>0) y ______________,准线方程为 y=- 的抛物线标 2 2=2py(p>0). x 准方程是 _____________ MF|=dM-l ,其中点 F 是 2.抛物线定义的实质是|__________ 焦点 ,dM-l 是抛物线上的 __________ 点到准线的 抛物线的 ______ _______ 距离. 知新益能 四种标准形式的抛物线几何性质的比较 2 类 y= 型 2px(p>0) y2= -2px(p>0) x= 2py(p>0) 2 x2= - 2py(p>0) 图 象 焦点 准线 性 质 范围 对称 轴 顶点 离心 率 开口 方向 p ( , 0) 2 p x=- 2 x≥ 0 ______ p (- , 0) 2 p x= 2 x≤0 p (0, ) 2 p y=- 2 y≥0 ______ p (0,- ) 2 p y= 2 y≤ 0 x 轴 ______ (0,0) __________ y轴 _______ 1 ______ 向右 _____ 向左 向上 ______ 向下 思考感悟 从几何性质上看,抛物线与双曲线有何区别与 联系? 提示:(1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质 比较起来,差别较大,它的离心率为 1 ,只有 一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准 线.它没有对称中心. (2)抛物线与双曲线的一支,尽管它们都是不封 闭的有开口的光滑曲线,但是它们的图象性质 是完全不同的.事实上,从开口的变化规律来 看,双曲线的开口是越来越阔,而抛物线开口 越来越趋于扁平. 课堂互动讲练 考点突破 抛物线性质的应用 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具 有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视 这些隐含的条件. 例1 已知抛物线 y2= 2px(p>0)的顶点为 O,点 → → → A、 B 在抛物线上,且OA· OB=0,|AB|= 5 13, 直线 OA 的方程为 y=2x,求抛物线的方程. 【思路点拨】 → → 由OA· OB= 0 ― → 得 OA⊥ OB ― → 得直线 OB的方程 ― → 抛物线方程与直线 OA的方程联立 ― → 得点 A坐标 ― → 同理得 B点坐标 ― → 求得 p ― → 得抛物线的方程 【解】 → → 如图所示,由OA· OB= 0,得 OA⊥ OB,直线 OA 1 的方程为 y=2x,则直线 OB 的方程为 y=- x, 2 ? ?y= 2x 由? 2 ,消去 x 并整理得 y2- py=0,解得 ?y = 2px ? y= 0 或 y= p. p ∴点 A 的坐标为( , p), 2 同理可得点 B 的坐标为(8p,- 4p). ∵ |AB|= 5 13, p 2 2 ∴ ?p+ 4p? + ? - 8p? = 5 13. 2 两边平方并整理,得 p2= 4, ∵ p>0,∴p= 2,∴抛物线的方程为 y2=4x. 【名师点评】 本题首先根据两条直线互相垂直 的位置关系,求出了抛物线的内接直角三角形两 条直角边所在的直线的方程,然后分别与抛物线 的方程联立方程组,进一步求出点 A、 B的坐标, 最后由斜边长建立关于参数p的方程而求解. 自我挑战 已知抛物线的焦点F在x轴上,直线 l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点, O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛 物线的标准方程. 解:由题意,抛物线方程为 y2=2mx(m≠ 0), m m ? ? 焦点 F? 2 , 0 ?,直线 l:x= , 2 m m ? ? ? ∴ A、 B 两点坐标为? 2 , m ?,? 2 ,- m? , ? ∴ |AB|= 2|m|. ∵△ OAB 的面积为 4, 1 m ∴ · | |· 2|m|= 4,∴ m= ± 2 2. 2 2 ∴抛物线方程为 y2= ± 4 2x. 焦点弦问题 设 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上一点,F p 是抛物线的焦点,则 |PF|= x0+ ,这就是抛 2 物线的焦半径公式.利用这一公式可以解决 过焦点的弦长问题. 已知抛 物线 y2 = 2px(p>0) 的顶 点为 O,焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 θ 的直线 交抛物线于 A、 B 两点 (称 AB 为抛物线的焦 点弦).求证: p2 (1)x1· x 2 = , y1 · y2=-p2; 4 2p (2)|AB|= 2 . sin θ 【思路点拨】 将直线AB的方程表示出来,再 与抛物线的方程联立,消去 x 后得到关于 y 的一 元二次方程,最后利用根与系数的关系集中条 件进行证明. 例2 p ? 【证明】 (1)∵ y =2px(p>0)的焦点 F?2, 0 ? , ? p? ? 设直线方程为 y=k?x- 2?(k≠0), A、 B 两点的坐 2 标分别为 (x1, y1)、 (x2, y2) p? ? ? ?y= k?x-2 ?, 由? 消去 x,得 ky2- 2py-kp2=0, 2 ? y ? = 2px ① 2 2 ? y · y ? p 1 2 2 ∴ y1 · y2=- p , x1· x2= 2 = . 4 4p p 当 k 不存在时,直线方程为 x= , 2 2 p 这时 y1=p, y2=-p,则 y1· y2=-p , x1· x2= . 4 2 p 因此,总有 y1· y2=-p

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